2020北师大版数学九年级下册第一章：专项2 “化斜为直”构造直角三角形的两种方法

方法1 遇三角形，作垂线
1．如图所示，某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( C )
A ．450a 元
B ．225a 元
C ．150a 元
D ．300a 元
第1题图 第2题图 2．(2019·浙江杭州拱墅区模拟)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是
BC 上一点，若tan ∠DAB ＝15，则AD 的长为( C )
A ．2 2 B.13 C ．213 D ．8
3．(2019·河北石家庄新华区期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BF 平分∠ABC ，交CD 于点E ，交AC 于点F .若AB ＝10，BC ＝6，则CE 的长为( A )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，BC ＝3，求sin A 和AB .
解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .
在Rt △BDC 中，∵∠B ＝45°，
∴BD ＝CD ＝BC ·sin 45°＝3×22＝322， ∴sin A ＝CD AC ＝3210.由勾股定理得AD ＝822.
∴AB ＝BD ＋AD ＝32＋822
. 5．(2019·上海金山区二模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，CE ＝
CB ，CD ＝5，sin ∠ABC ＝35.
(1)求BC 的长；
(2)求tan E 的值．
解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，∴CD ＝12AB .∵CD ＝5，
∴AB ＝10.∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝35，∴AC ＝6.
∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.
(2)如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则∠EHC ＝∠EHB ＝90°.
∵D 是边AB 的中点，
∴BD ＝CD ＝12AB ，
∠DCB ＝∠ABC .
∵∠ACB ＝90°，∴∠EHC ＝∠ACB ，
∴△EHC ∽△ACB ，∴EH AC ＝CH BC ＝EC AB .
由BC ＝8，CE ＝CB ，得CE ＝8，∠CBE ＝∠CEB ，
∴EH 6＝CH 8＝810，解得EH ＝245，CH ＝325，
∴BH ＝BC －CH ＝8－325＝85.
∴tan ∠CBE ＝EH BH ＝3，即tan E ＝3.
方法2 遇多边形，延长或连接某些边
6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，则四边形
ABCD 的面积是2
7．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝1，AD ＝7，∠B ＝90°.
(1)判断∠D 是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形ABCD 的面积．
解：(1)如图，连接AC .
∵∠B ＝90°，∴AC 2＝BA 2＋BC 2＝4＋4＝8. ∵DA 2＋CD 2＝(7)2＋12＝8，∴AC 2＝DA 2＋CD 2，
∴△ADC 是直角三角形，即∠D 是直角．
(2)S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AB ·BC ＋12AD ·CD ＝12×2×2＋12×7×1＝2＋72.。