数学原来是这般有趣

且教且思考，前路漫漫，求索无极限！
数学原来是这般有趣
1、直线上n 个点最多分直线01
1n n
n C C +=+段 平面上n 条线最多分平面20
1
2
22
n n n n n C C C ++++=部分
空间中n 个平面最多分空间30
1
2
3
56
6
n n n n n n C C C C +++++=部分
再看：
易知1n a n =+
观察易发现：11n n n b b a ---=由此可求出22
2n n n b -+=；
11n n n c c b ---=由此可求出356
6
n n n c ++=
数学真奇怪：直线（一维）、平面（二维）、空间（三维）。

点分线最多几部分，线分面最多几部分，面分空间最多几部分，它们之间竟有如此美妙的关系！ 2、你知道这些结论的推导吗？
()()()
()2
2
3
1
1
1
(n 1)21(n 1)
(n 1)123262n
n
n
n n n n n n n ++++⎡⎤
=
=
=⎢⎥⎣⎦∑∑∑……
嘿嘿，利用高次求低次，你迷惑了吧，数学就是这么奇怪！对于一些类似问题它们之间过多或少存在一些可能不为人知的关系，就看你是否有一双善于发现它们的慧眼。

下面举一例让你开开眼界： ()1(n 1)
12
n
n n +=
∑这你该会求吧，如果这你都不知道就别往下看
了，数学与你无缘啦！()()
21
(n 1)2126
n
n n n ++=
∑这个求解不懂很
正常，你要对自己充满信心哟，请集中精力看我如何利用高次解决低次求和的。

我们知()()()()3
3
2
311131311k k k k k =+-=+-+++-⎡⎤⎣⎦
()()()()3
2
3
331111311k k k k k ⇒+=+-=+-++-⎡⎤⎣⎦此恒等式的价值何
在？别着急，慢慢往下看。

由此恒等式得：()()()()()3
232332
3331313112311
3110311n n n n n n n n ⎧=--+-⎪
⎪-=---+--⇒⎨
⎪
⎪⋅=-+⋅-⎩
……
2
3
11
(n 1)(2n 1)
332n n
n n n n n ++=--=
∑∑即
()
2
1
(n 1)216n
n n n ++=∑你明白了
吗？这样你该可以继续解决(3)了哟，如果你吃的太饱可一直算下去，哈哈哈
聪明的你辛苦整出了这一摊子事就甩手而去，那就完全可以门缝里看你了，你呀，就不知道好好欣赏品味这几个结论么？
多一点在意，多一点思考，可能就会有你意想不到的收获！ 其实呀，一次式求和变二次、二次式求和变三次、三次式求和变四次……既然知道求和结果的特征！当然就可使用待定系数来解决这类问题了！ 请看：()1(n 1)12
n
n n +=∑
令：2123+n a n b n c +++=⋅+⋅+……
分别令1,2,n 3n n ===有1
11423022936
a b c a b c a b c a b c ++=⎧⎪
++=⇒===⎨
⎪++=⎩
、、 所以1
(n 1)2
n
n n +=∑
弱弱地问一句，你掌握了待定系数法解决问题的精髓了么？（就是要预先知道结果的形式！）
导函数常见构造函数模型
1、对于不等式()(0)f x k k '>≠，构造函数()();g x f x kx b =-+
2、对于不等式()()0xf x f x '+>，构造函数()();g x xf x =
3、对于不等式()()0xf x f x '->，构造函数()()
(0);f x g x x x
=
≠ 4、对于不等式()()0xf x nf x '+>，构造函数()();n g x x f x =
5对于不等式()()0xf x nf x '->，构造函数()()(0);n f x
g x x x
=≠
6、对于不等式()()0f x f x '+>，构造函数()();x g x e f x =
7、对于不等式()()0f x f x '->，构造函数()();x f x
g x e
=
8、对于不等式()()0f x kf x '+>，构造函数()();kx g x e f x = 9、对于不等式
()()20f x xf x '+>，构造函数()()2
;x g x e f x =
10、对于不等式()()ln 0f x a f x '+⋅>，构造函数()();x g x a f x = 11、对于不等式()()tan 0f x x f x '⋅+>，构造函数()()sin ;g x f x x =⋅ 12、对于不等式()()tan 0f x f x x '-⋅>，构造函数()()cos ;g x f x x =⋅
13、对于不等式()()
0f x
f x '>，构造函数()()ln ;
g x f x =
14、对于不等式()()ln 0f x
f x x x
'+>，构造函数()()ln .g x f x x =⋅。