7.4任意项级数及绝对收敛

u1
n
数列 s2 n是有界的 ,
lim s2 n s u1 .
lim u2 n1 0,
n
lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
(2)


1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
2. C
则级数
(A) 发散 ;
(C) 条件收敛 ; 分析: 又
(B) 绝对收敛;
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;
练 习 题
一、填空题: 1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
等于 , 2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根
提示:
lim u n 0
n
2 收敛 . 由比较判敛法可知 u n n 1

注意: 反之不成立. 例如,
1 n 2 收敛 , n 1

1 n 发散 . n 1

备用题
1. 判别级数的敛散性:
不是 p–级数
解: (1)
1 n 发散 , 故原级数发散 . n 1
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 1 10
收敛

二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
2
n 1
b 0. 八、证明:lim n n! a n
3n
练习题答案
一、1、 p 1, p 1 ；
un 1 ), 1 . 2、 1, 1(或 lim n u n 二、1、发散； 2、发散. 三、1、发散； 2、收敛. 四、1、收敛； 2、收敛. a 1, 收敛; 五、1、发散； 2、收敛； 3、0 a 1, 发散; a 1, 发散. 六、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3 、条件收敛.
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n

1 n 4 收敛 , n 1




n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1


n 1

n 1
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 3 32 33 3n 2 n n! ；2 、 1、 . 2 3 n n 1 2 2 2 3 2 n2 n n 1 四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性: 1 n 2 n 1 ) 1、 2 、 ( . n ； n 1 [ln( n 1)] n 1 3n 1 五、判别下列级数的收敛性: 3 n1 ； 1、 2 2 n ln( n 2) n 2、 2 sin n ； 3、 ( a 0) . 1 n 3 n 1 n 1 (a ) n
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
( 1) n 1

Байду номын сангаасn 1
un或 ( 1) un (其中un 0)
n n 1

莱布尼茨定理 (ⅱ) lim un 0,
n
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un un 1 ( n 1,2,3,) ; 则级数收敛,且其和 s u1 ,其余项 rn 的绝对值
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例1 判别交错级数
1 1 1 n1 1 1 ( 1) 2 3 4 n 的收敛性。
解： 原级数满足条件
1 1 (1) un un1 ( n 1,2,) n n1
( 2 ) lim un lim 0,
它是收敛的。
n
1 n n
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1 1n 1 1) ! 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 n n 收敛 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10n
n 1
则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 .
二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1 2 1 3 1 n ； 1、1 2 2 2 1 2 1 3 1 n 1 2、 ( a 0) . n n 1 1 a

例2
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n n 1

sin n 1 1 2 , 而 2 收敛, 2 n n n1 n
解
sin n 收敛, 2 n n1

故由定理知原级数绝对收敛.
例3. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n n (1) 4 ; (2) (1) n n . e n 1 n n 1
rn un 1 .
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n



n 1
2 2 n (1) n n 收敛, 因此 (1) n n 绝对收敛. n e e n 1
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.
*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 )
设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
1
收 敛
1
发 散
3. 任意项级数审敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz判别法:
un un 1 0
n
lim u n 0
则交错级数 (1) n u n 收敛
n 1

思考与练习
2 收敛 ? 设正项级数 u n 收敛, 能否推出 u n n 1 2 un lim n u n n 1
六、 判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的, 是绝对收 敛还是条件收敛? n 1 n ( 1 ) 1、 ； n 1 3 n 1 1 1 1 1 ； 2、 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ( 1) n 3、 . n 2 n ln n
n un 存在,证明:级数 un 收敛 . 七、若nlim
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S .
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim n un
n
比较审敛法 1 不定 部分和极限 用它法判别 积分判别法