空间向量及其加减运算

第三章
空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减运算
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列说法正确的是()
A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.在四边形ABCD中,一定有
解析:|a|=|b|,说明a与b的模相等,但方向不确定;由于a的相反向量b=-a.故|a|=|b|,从而选项B正确;向量与有向线段是不同的,常用有向线段表示向量;一般的四边形不具
有只有平行四边形才成立,故选项A,C,D均不正确.
答案:B
2化简的结果是
A.0B
答案:A
3已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,则为
A0
解析:故选A.
答案:A
4设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且则四边形是
A.空间四边形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.矩形
解析:由已知得即是相等向量,因此的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.
答案:B
5已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题正确的是()
A与是一对相等向量
B与是一对相反向量
C与是一对相等向量
D与是一对相反向量
解析:选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量;C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.答案:D
6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简向量表达
式的结果为
答案:0
7①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0;③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是.
答案:②③
8如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中
a b c,则
解析:b-a+c,
a+b-c.
答案:b-a+c a+b-c
9已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简
解:
10如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1,以此长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中,
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量
解: (1)因为长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的这8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
(2)因为这个长方体的左、右两侧的对角线长均
为所以模为的向量有共8个.
能力提升
1下列说法正确的是()
A.若|a|<|b|,则a<b
B.若a与b互为相反向量,则a+b=0
C.单位向量的模不一定相等
D.在四边形ABCD中,一定有
解析:选项A中,向量a与b不能比较大小;选项B中,应为a+b=0;选项C中,单位向量的模都是1个单位长度;选项D中,由向量运算可知正确.
答案:D
2已知平行六面体OABC-O'A'B'C'a c b,则等于
A.-a+b+c
B.-b-a-c
C.a-b-c
D.a-b+c
答案:D
3如果向量满足那么
A
C与同向与同向
解析:∵共线且点C在AB之间,即与同向.
答案:D
4在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式成立的是()
A0
B0
C0
D0
答案:B
5对于空间中的非零向量有下列各式
其中一定不成立的是填序号
解析:恒成立;故②不成立;③当方向相同时,有当共线且与方向相反时,有故只有②一定不成立.
答案:②
6如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,化简下列向量表达式:
(1
(2
解:结合题图可知,
(1
(2
7在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化
简并在图中标出化简结果的向量
解:
图略.
8如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简(1
并在图中标出化简结果的向量
解: (1如图中向量
(2)连接GF如图中向量。