河北省石家庄市高三数学复习试卷(一)理(含解析)

2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈A．4πB．πC．πD．20π12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）人数 a 8 14 b 2（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===1﹣i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1，2，3}．故选：B．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，则由cosθ=的值，求得θ的值．解答：解：设向量与的夹角为θ，∴cosθ===，∴θ=60°，故选：D．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．解题时要抛物线的性质进行求解．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈函数的性质及应用．分析：由f（x）是定义在R上的周期为3的函数，得f（）=f（﹣），再由分段函数的性质能求出结果．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈解答：解：由已知，设函数g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，f′（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=g（2014）+4+g（﹣2014）+4+f′（2015）﹣f′（2015）=g（2014）﹣g（2014）+f′（2015）﹣f′（2015）+8=8．故选A．点评：本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键．8．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin=3sin（2x+）的图象，故选：D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．10．二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A．42 B．168 C．84 D．21考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣3，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式为 T r+1=•27﹣r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，故展开中的系数是×22=84，故选：C．点评：题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A． B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx0∈．函数f（x）=e x+2x﹣a在上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x （x∈）．利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），∴y0=sinx0∈．函数f（x）=e x+2x﹣a在上单调递增．下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x（x∈）．g′（x）=e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为y=2x+4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程．解答：解：y=e2x+3的导数y′=2e2x，则在x=0处的切线斜率为2e0=2，切点为（0，4），则在x=0处的切线方程为：y=2x+4．故答案为：y=2x+4．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x﹣y，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：设z=x﹣y，即y=x﹣z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z=0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先求出|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理，再利用基本不等式可得结论．解答：解：∵P（a，b），∴|PO|=（a＞0，b＞0）∵∠APB=60°∴∠AP0=30°∴|PO|=2|OB|=2∴=2即a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8，∴a+b的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查基本不等式的运用，属基础题．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是3602 ．考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．解答：解：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+=3602．故答案为：3602．点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理，求出cosB=，再用余弦定理求出c的值．解答：解：∵A=2B，，a=3，b=2，∴，∴cosB=，∴=，∴2c2﹣9c+10=0，∴c=2或2.5，因为c=2，不合题意舍去，所以…（10分）点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a1、a4、a13成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式可得结果；（Ⅱ）若b n=2n a n，可得数列{b n}的通项，利用错位相减法，求前n项和．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由题意得（3+3d）2=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），…（2分）所以{a n}的通项公式为a n=3+（n﹣1）•2=2n+1…（4分）（Ⅱ）…①…②…（6分）①﹣②得…（8分）…（10分）∴…（12分）点评：该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查错位相减法，属于中档题．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）人数 a 8 14 b 2（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为0.15，由此能求出a，b，补全频率分布直方图．（2）由题意知Y=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．解答：解：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为：0.03×5=0.15，∴a=0.15×40=6，∴b=40﹣6﹣8﹣14﹣2=10．…（2分）∴频率分布表为：分组[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）人数 6 8 14 10 2频率0.15 0.2 0.35 0.25 0.05∴频率分布图为：…．（5分）（2）由题意知Y=0，1，2，P（Y=0）=P（Y=1）=P（Y=2）=Y的分布列为：Y 0 1 2P…（11分）E（Y）==．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．解答：解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；∴，；设平面ABE法向量，则；∴令b=1，则c=﹣1，a=0；∴为平面ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为．点评：考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．解答：解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），即，（2分）又因为，所以（）2+（3y）2=9，化简得：，这就是点P的轨迹方程．（4分）（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理得：，，（6分）又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，（10分）得t∈R，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…（12分）点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…（2分）当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（4分）（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…（5分）2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（6分）3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（7分）若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…（9分）即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…（11分）即（*）式无解，∴不存在实数a ，使得…（12分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．- 21 -。