2018-2019福建省三明市三地三校高一下学期期中联考数学试题

2018-2019学年福建省三明市三地三校高一下学期期中联考
数学试题
（满分100分，完卷时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上．
1.按数列的排列规律猜想数列中的项，数列2，3，5，8，13，x ，34，55，… 则x 的值是( )．
A.19
B.20
C.21
D.22
2．数列{}n a 中，11n n n a
a
a +=+，11a =，则4a =( )． A ．13 B ．14 C ．15 D ．16
3.下列平面图形中，通过围绕定直线l 旋转可得到如图所示几何体的是( )
4.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,
,a b c ，已知1a =，2b =45B =,则A =( )． A ．30 B ．60 C ．150 D ．30或150
5.已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列不等式中恒成立的是( )．
A.若a b >，c d >，则ac bd >
B. 若a b >，则22ac bc >
C.若0a b >>，则()0a b c ->
D.若a b >，则a c b c ->-
6．已知等比数列{}n a 中，31320a a =，64a =，则10a 的值是( )．
A ．16
B ．14
C ．6
D ．5
7．在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是( )．
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
8．一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是( )． A. 3π B. 4π C. 2π D ．1π
9．等差数列{}n a 中其前n 项和为n S , 51012,48,S S ==则15S 为( )．
A ．84
B ．108
C ．144
D ．156
10．设0,0a b >>3a 与3b 的等比中项，则14a b
+的最小值为( )． A. 9 B. 3 C.7 D.4
1 11．已知数列{}n a 的前项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于( )．
A ．12n n a -=
B ．2n n a =
C ．13n n a -=
D ．3n n a =
12．不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )．
A ．[－1,4]
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2,5]
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．在答题卷相应题目的答题区域内作
答．
13. 在△ABC 中，7,3a c ==，60A =，则b = ．
14.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为5cm ，4cm ，则该棱柱的侧面积为________2cm .
15. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．
16.给出下列语句：
①若,a b 为正实数，33,a b a b ≠+则＞22a b ab +；
②若,,a m n 为正实数，a ＜b ，则
a m
b m ++＜a b ③若2a
c ＞2b c
，则a ＞b ；
④当(0,
)2x π∈时，2sin sin x x
+的最小值为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在
答题卷相应题目的答题区域内作答．
17．（本小题满分8分）
已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24420a ==，S ．
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）若72n S =，求n 的值.
18. （本小题满分8分）
据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；
（2）假设球半径10r cm =．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
19. （本小题满分8分）
在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c .已知ABC ∆面积3,120,ABC S A ∆==︒
（1）若2,c =求b 的值；
（2）若32b c +=，求a 的值.
20. （本小题满分8分）
已知函数2()28f x x x =--
（1）解不等式()0f x ≥；
（2）若对一切0x >，不等式()9f x mx ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
21. （本小题满分10分）
如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点C ，D ，测得3CD =，同时在C ，D 两点分别测得45ACB α∠==，60ACD β∠==，30BDC γ∠==,30ADB δ∠==．
（1）求B ，C 两点间的距离；
（2）求A ，B 两点间的距离．
22. （本小题满分10分）
已知数列{a n }满足11a =，121n n a a +=+，*n N ∈.
（1）求证数列{1}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设221log (1)n n b a +=+，数列{11n n b b +}的前n 项和T n ，求证：11156
n T ≤<． 2018-2019学年第二学期三明市三地三校联考期中考试协作卷
高一数学参考答案
一、选择题
1-5 CBBAD 6-10 DCCBA 11-12 CA
二、填空题
13. 8 14. 60 15. 6 16. ①③
三、解答题
17．解：
（１）设数列{}n a 的公差为d ，由214144620a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得122
a d =⎧⎨=⎩． 又22(1)2n a n n =+-=∴．…………………………………………………4分
（2）由222722
n n S n n n +==+=得8n =.……………………………………8分 18.解：（1）32423==23r V V r r ππ球
圆柱
…………………………………3分 （2）由题意得，2312000=233V R R cm
ππ
=锥………………………………5分
圆锥的母线长l
=
==……………………………6分
23=+100100(1S r rl cm ππππ=+=
表……………………………8分
19.解：（1）1sin 2
ABC S bc A ∆==2,120.c A ==︒ 12sin12032
b ∴⨯⨯= 2
b =.…………………………………………4分 （2）1sin 1202ABC S b
c A A ∆===，1sin1203,4
2bc bc ∴=∴= 又b c +=22222()218,10b c b bc c b c ∴+=++=∴+=
由余弦定理得22212cos 1024()142a b c bc
A =+-=-⨯⨯-=
解得a = ……………………………………8分
20解：（1）∵2()28f x x x =--≥0可化为(2)(4)0x x +-≥………………………(2分)
∴所求不等式解集为：(][),24,-∞-+∞…………(3分)
（2）法一：∵()9f x mx ≥-可化为2289x x mx --≥-
即221x x mx -+≥ ………………………………………………………..(4分)
又0x > ∴221x x m x
-+≤对任意的0x >恒成立。

……………………....(5分)
又221112220x x x x x x x
-+=+-≥-=当且仅当1x x =即1x =时取等号………..(7分)
0m ∴≤，∴m 的取值范围是(],0-∞．………………………………………………………(8分)
法二：∵()9f x mx ≥-可化为2(2)10x m x -++≥……………………....(4分)
令2()(2)1,(0)g x x m x x =-++>……………………....(5分)
对称轴22m x +=
……………………....(5分) 当202
m +≤时，即2m ≤-，()g x 在(0,)+∞单调递增， ∴()(0)10g x g >=>恒成立………………………………………………..(6分) 当202
m +>时，即2m >-，对任意的0x >，使()0g x >恒成立，只需满足22(2)40m m >-⎧⎨∆=+-≤⎩
，解得∴20m -<≤…………………………………………………..(7分)
综上所述：0m ≤，∴m 的取值范围是
(],0-∞．………………………………………………………(8分)
21.解：（1）在△BCD 中，∠DBC ＝180°—∠CDB —∠ACD —∠ACB ＝45°，
由正弦定理，得BC ＝DC
sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝
3
2
sin 45°·sin 30°＝
6
4.……………………………………....(4分)
（2）在△ACD 中∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°，
∴∠DAC ＝60°，
∴AC ＝DC ＝3
2 .……………………………………(6分)
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝3
8.
∴AB ＝6
4(km)．
∴A ，B 两点间的距离为64 km. .……………………………………………………………………………… (10分)
22. 解：（1）解：（Ⅰ）由121n n a a +=+得112(1)n n a a ++=+…………………………….
（2分）
即1121
n n a a ++=+，且112a += 所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列……………………………………….（3分）
所以11222n n n a -+=⨯= ， 故数列{}n a 的通项公式为*21()n n a n N =-∈ ……(4分)
（2）解：因为
212212log (1)log (211)21n n n b a n ++=+=-+=+ ………………………………..（5分） ()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
，………………………………..（6分） 所以12231
111n n n T b b b b b b +=+++ )]3
21121()7151()5131[(21+-+++-+-=n n 11646n =-+（*N n ∈） …………………………………………………（8分） 0＜
114610n ≤+ ∴111046n -≤-+＜0 1111115610646n ∴=-≤-+＜16 即115
n T ≤＜
1
……………………….(10分) 6。