湖南衡阳市第一中学高中数学等差数列练习题doc

一、等差数列选择题
1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸
D ．二丈二尺五寸
2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161
B ．155
C ．141
D ．139
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-
B ．8
C ．12
D ．14
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32
B ．33
C ．34
D ．35
6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项的和为
（ ） A ．
89
B ．
910
C ．10
11
D ．
1112
7．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
713n n S n T n -=，则5
5
a b =（ ） A ．
34
15
B ．
2310
C ．
317
D ．
62
27
8．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则129
10
a a a a ++⋅⋅⋅+=
（ ）
A ．
278
B ．
52
C ．3
D ．4
9．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21
2
，则该数列的项数是（ ） A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121
B ．161
C ．141
D ．151
11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
12．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．
1
2
尺布 B ．
5
18
尺布 C ．
16
31
尺布 D ．
16
29
尺布 13．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12
B ．20
C ．40
D ．100
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =.定义数列{}n b 如下：
()*1m m b m m
+∈N 是使不等式()
*
n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++
+=（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
15．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13
B ．26
C ．52
D ．56
16．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >
D ．70S <，且80S <
18．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，数列{}n b 满足1111n n n
b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
19．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=
B ．560a a +=
C ．670a a +=
D ．890a a +=
20．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2
15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．9
二、多选题
21．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥
时，)
2
12n a =
-，则关于数列
{}n a 的说法正确的是 （ ）
A ．27a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．2
21n a n n =+-
D ．数列{}n a 为周期数列22．题目文件丢
失！
23．已知数列{}n a 满足0n a >，121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）
A ．11a =
B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
24．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n
a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）
A ．2-
B ．
2
3 C ．
32
D ．3
25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2
3n S n n =- B ．2392
-=n n n
S
C ．36n a n =-
D ．2n a n =
26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
28．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
29．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0
B ．10S 最小
C ．712S S =
D ．190S =
30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17a
B ．35S
C ．1719a a -
D ．1916S S -
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题 1．D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为
985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差
数列性质求得后5项和． 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()
19959985.52
a a S a +=
==（尺），所以59.5a =（尺），由题知
1474331.5a a a a ++==（尺），
所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 2．B 【分析】
画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】
所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：
由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得155
48
x y =⎧⎨=⎩.
故选：B. 3．D 【分析】
利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】
147446=32a a a a a ++=∴=，则()
177477142
a a S a +=
== 故选：D 4．A 【分析】 转化条件为
122527
n n
a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】 因为122527
n n a a n n +-=--，所以122527n n
a a n n +-
=--， 又
1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 5．D 【分析】
设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出
(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出
111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.
【详解】
根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m +++++
+++=++=
则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 6．C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. 故选：C 7．D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=，
()
()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 8．A 【分析】
根据数列{}n a 是等差数列，且1109a a a +=，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】
因为1109a a a +=， 所以11298a d a d +=+， 即1a d =-，
所以
()1129510101992727
88
49a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选：A 9．A 【分析】
设项数为2n ，由题意可得()21
212
n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大
212
， ()212121;2
n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，
30246S S nd ∴-=-==奇偶②．
由①②，可得3
2
d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．B 【分析】
由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即
127a =
所以231223161S a == 故选：B 11．D 【分析】
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结
果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】
设该女子第()
N n n *∈尺布，前()
N n n *
∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公
差为d ，
由题意可得30130293015015293902
S a d d ⨯=+=+⨯=，解得16
29d =.
故选：D. 13．B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：
1011045100S a d =+=，
12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.
故选：B. 14．B 【分析】
先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121
2
k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
n S n =，可得21n a n =-，
因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12
m n +≥
， 当21m k =-，（*
k N ∈）时，
1
m m b k m
+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++， 即2121
2
k k b --=
， 从而()135191
13519502
b b b b ++++=
++++=.
故选：B. 15．B 【分析】
利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】
由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()113410131313134
26222
a a a a S ++⨯====. 故选：B. 16．D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选：D. 17．A 【分析】
根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】
依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=
>
()()1881884
02
a a S a a +⋅=
=+<
故选：A . 18．B 【分析】 由题意可得
2
2
1114n n
a a +-
=，运用等差数列的通项公式可得21
43n n a =-
，求得1
4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果
【详解】
解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得22
1114n n
a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以4为公差，以1为首项的等差数列，
所以2
114(1)43n n n a =+-=-， 因为0n a >
，所以n a =
，
所以1111n n n
b a a +=+=
所以14
n b ==， 所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+
111339(91)244
=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得2
211
14n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1
为首项的等差数列，进而可求n a =
，14
n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题
19．B
【分析】
由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项.
【详解】
由等差数列的求和公式可得()110101002
a a S +==，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=.
故选：B.
20．C
【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
2
2152251524n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭上的横坐标为正整数的离散的点．
又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822
-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值．
故选：C
二、多选题
21．ABC
【分析】
由)2
12n a =-
1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.
【详解】
当2n ≥
时，由)212n a =
-，
得)221n a +=，
1=，又12a =，
所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
即221n a n n =+-，故C 正确；
所以27a =，故A 正确；
()2
12n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确； 数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；
故选：ABC
22．无
23．BC
【分析】 根据递推公式，得到11n n n n n a a a +-=
-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1
n n n S a +=
，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n n a n n n a a a a ++--==+，即11n n n
n n a a a +-=-，
当1n =时，则12
1a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：
由递推公式求通项公式的常用方法：
（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；
（2）累乘法，形如()1n n
a f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；
（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11
,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 24．BD
【分析】 根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．
【详解】
因为数列{}n a 满足112
a =-，111n n a a +=-， 212131()2a ∴==--；
32
131a a ==-； 4131112
a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-
，23
，3； 故选：BD ．
【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
25．BC
【分析】
由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为30S =，46a =， 所以113230236
a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，
21(1)3(1)393222
n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC
26．BD
【分析】
由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.
【详解】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；
令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD.
27．BD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；
而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，
又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.
∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
28．AC
【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．
【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n n n S n +-== 故选：AC ．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
29．ACD
【分析】
由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.
【详解】
因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；
当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+
=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；
因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 30．BD
【分析】
由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.
【详解】
因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，
因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；
135********()35235022
a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；
19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。