华东师大版九年级数学上册第二十四章：解直角三角形练习题(含解析)

华东师大版数学-九年级上册-第二十四章-解直角三角形-巩固练习
一、单选题
1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）
A. 12
B. 9
C. 4
D. 3
2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）
A. B. C. D.
3.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）
A. B. C. D.
4.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）
A. 56米
B. 66米
C. （56+20）米
D. （50+20）米
5.在△ABC中,∠C＝90°，cosA＝则tanB的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为（）
A. 120m
B. 100m
C. 75m
D. 25m
7.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）
A. 12m
B. 3m
C. 4m
D. 12m
8.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB 等于（）
A. 4.5米
B. 6米
C. 7.2米
D. 8米
9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，，则菱形的周长是（）
A. 10
B. 20
C. 40
D. 28
二、填空题
10.如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.
11.如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为________米（结果保留根号）．
12.如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE 沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD ⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是________．
13.若直角三角形两条边长分别是和，则斜边上的中线长为________．
14.如图，在处利用测角仪测得某建筑物的顶端点的仰角为60°，点的仰角为45°，点到建筑物的距离为米，则________米.
15.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的高,若BC=4,sinA= ,则BD的长为________.
16.在一次数学实验活动中，老师带领学生去测一条南北流向的河的宽度．如图，某同学在河东岸点A处观测河对岸水边有点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，则这条河的宽度________米．（参考数据：
）
17.已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长x的取值范围是________．
三、解答题
18.位于河南省郑州市的炎黄二帝巨型塑像，是为代表中华民族之创始、之和谐、之统一．塑像由山体CD和头像AD两部分组成．某数学兴趣小组在塑像前50米处的B处测得山体D 处的仰角为45°，头像A处的仰角为70.5°，求头像AD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
19.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
四、综合题
20.如图，某学校为了加固一篮球架，在下面焊接了一根钢筋撑杆AC，它与水平的钢板箱体成60°的夹角，且AB＝0.5m．原有的上撑杆DE＝1.6m，且∠BDE＝135°．
（1）求撑杆AC的长；
（2）若篮板是边长为1m的正方形，上撑杆端点E在其中心位置，球篮连接篮板处为F，且EF＝m，下面的钢板箱体厚度为0.3m，CD＝1.8m，则点F距地面的高度约为多少米？（结
果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73．
21.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C
的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），经过测量AB=10米，AE=15米.
（1）求点B到地面的距离；
（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
22.有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50cm，拉杆
的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D．在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm 时，点C到水平地面的距离CE为59cm．
设AF∥MN．
（1）求⊙A的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服．某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，=64°．求此时拉杆BC的伸长距离．（精确到1cm，参考数据：，，）
答案
一、单选题
1.【答案】A
【解析】
【分析】设a=3x，则b=4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，∴设a=3x，则b=4x．
∵a2+b2=c2，即（3x)2+（4x)2=152，解得x=3，
∴b=4x=12．
故选：A
2.【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，
∴tanα=．
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义
3.【答案】B
【解析】【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO==2，
AC==，
OC==，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB===．
故选B．
【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用
勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=计算即可得解．
4.【答案】C
【解析】【解答】解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，
∵=，
∴AE=50米，
在Rt△CFD中，
∵∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=（56+20）米．
故选C．
【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．
5.【答案】C
【解析】【分析】现根据∠A的正切值求出b、c之间的关系，然后根据勾股定理求出a，根据正切函数的定义求解．
【解答】由cosA=b=，设b=3x，则c=5x．
由勾股定理知，a=4x．
∴tanB==．
故选C．
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，求锐角三角函数值，可用设合适参数，利用锐角三角函数的概念和勾股定理来求解．
6.【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴，即：，
∴AB=100（m）．
故选B．
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
7.【答案】C
【解析】【解答】解：如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，
∴AB= = =4（m）．
故选C．
【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．
8.【答案】B
【解析】【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】如图，
GC⊥BC，AB⊥BC，
∴GC∥AB，
∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似)，
∴，
设BC=x，则，
同理，得，
∴，
∴x=3，
∴，
∴AB=6．
故选B．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边
的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．
9.【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴cosB=．
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
∴BE：AB=（BC﹣EC）：BC=3：5，
∴BC=10，
则菱形的周长=10×4=40．
故选C．
【分析】根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知EC和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
二、填空题
10.【答案】12
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：
解得x=12
则旗杆的高度为12米。

【分析】根据在同一时刻的日光下物高与影长成正比例列出比例式，解出x的值即可。

11.【答案】一4
【解析】【解答】解：因为∠MAD=45°, AM=4,所以MD=4，
因为AB=8，所以MB=12,
因为∠MBC=30°，所以CM=MBtan30°=4 .
所以CD=4 -4.
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出MD=4，根据线段的和差得出MB=12,根据正切函数的定义，由CM=MBtan30°算出CM的长，根据线段的和差算出CD的长。

12.【答案】
【解析】【解答】如图所示：
∵∠A=45°，∠ADM=90°，∴∠AMD=45°=∠A，
∴DM=AD=2，
∵AB=7，∴BD=7-AD=5，
∵△BDE沿着DE所在直线翻折得到△PDE，
∴PD=BD=5，∠PDE=∠BDE，∴PM=PD-DM=3，
∵∠PDE+∠BDE=∠BDP=90°，
∴∠BDE=45°=∠A，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BD：BA=DE：AC，
即5：7=DE：6，
∴DE= ，
∵DE//AC，∴△PMN∽△PDE，
∴MN：DE=PM：PD，
即：MN：=3：5，
∴MN= ，
故答案为：.
【分析】利用翻折的性质得到BDE∽△BAC，再利用比例的性质进行计算即可得到结果。

13.【答案】或
【解析】【解答】解：若直角三角形的两条直角边长分别为和，则斜边长
，∴斜边中线长．
若直角三角形斜边长为，则斜边中线长．
综上所述，答案为或．故答案为：4或5．
【分析】分两类讨论：①若直角三角形的两条直角边长分别为 6 和8，，根据勾股定理算出斜边的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；②若直角三角形斜边长为8，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论。

14.【答案】
【解析】【解答】在中，，
则，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义，在Rt△PBD中，求出BD的长，再在Rt△PBD中，去证明CD=PD，可得CD的长，然后由BC=BD-CD，从而可求出BC的长。

15.【答案】
【解析】【解答】解：如图,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠1+∠2=90°,∠A+∠2=90°.∴∠A=∠1.
∵sin A= ,∴sin ∠1= .在Rt△BCD中,sin ∠1= = ,∴BD= BC= ×4= .
故答案为：。

【分析】BD与BC都在Rt△BCD中，且BD为斜边长，而sin ∠1=; 根据“同角的余角相等”可证明得∠1=∠A，则sin ∠1=sin A。

16.【答案】30
【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，
设CE=x，
由题意得∠CBE=45°，∠CAE=31°，
∴∠CBE=∠BCE=45°，
∴CE=BE=x，AE=20+x，
∵tan31°= = ，
∴= ，
∴x=30，
∴CE=30米．
故答案为30．
【分析】根据解直角三角形中正切值的定义，求出CE的值.
17.【答案】3＜x＜9
【解析】【解答】∵此三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边长的取值范围是：6－3＜第三边＜6＋3．
即：3＜x＜9，
故答案为：3＜x＜9．
【分析】根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可列出不等式组，求解即可。

三、解答题
18.【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=70.5°，
∴AC=BCtan∠ABC=50tan70.5°≈50×2.824≈141.2，
在Rt△DBC中，∵∠DBC=45°，
∴DC=BC=50，
则AD=AC-DC≈141.2-50=91.2，
答：头像AD的高度约为91.2米
【解析】【分析】解Rt△ABC求得AC≈141.2，在等腰直角三角形DBC中得DC=BC=50，即可由AC-DC求得头像AD的长.
19.【答案】
【解析】【分析】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

四、综合题
20.【答案】（1）解：在Rt△ABC中，＝cos60°，
∴AC＝＝2AB＝1m
（2）解：在Rt△ABC中，BC＝AB•tan60°＝，
如图，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G．
在Rt△DEG中，∠EDG＝180°﹣135°＝45°，DE＝1.6m，
∴DG＝DE•cos45°＝m．
﹣+1.8+ +0.3≈3.8（m）．
答：F距地面的高度约为3.8m．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，由＝cos60°，可求出AC的长。

（2）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，在Rt△DEG中，求出∠EDG的度数，再利用解直角三角形求出DG的长，然后求出点F距地面的高度即可。

21.【答案】（1）解：在Rt△ABH中，∵tan∠BAH= =i= = ，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin
∠BAH=10sin30°=10× =5．
答：点B距水平面AE的高度BH是5米
（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5 ．在Rt△ADE中，tan∠DAE=
，即tan60°= ，∴DE=15 ，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴BF=AH+AE=5 +15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 ﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°
﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5 +15，∴CD=CF﹣DF=5 +15﹣（15 ﹣5）
=20﹣10 （米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣10 ）米．
【解析】【分析】（1）由题意做辅助线，过点B作BH AE交AE于H。

在直角三角形ABH
中，根据坡比的意义可求解，坡比=tan∠BAH=；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，在三角形ABH中，用∠BAH的余弦易得AH的长，则EH=BF=AH+AE,在直角三角形BFC中，用∠CBF的正切易求得CF的长，在直角三角形AED中，用∠DAE的正切易求得DE的长，则CD=CF+EF-DF=CF+BH-DF。

22.【答案】（1）解：作BK⊥MN于点K，交AF于点H，设⊙A的半径长x；
∵BK，CE都垂直于MN，
∴BK∥CE，
∴△ABH∽△ACG，
∴，即：，
解得：，
即⊙A的半径等于8cm；
（2）解：∵cm，⊙A的半径等于8 cm，
∴cm，
∵，
∴cm，
∴cm．
即：此时拉杆的伸长距离约为30 cm．
【解析】【分析】（1）作BK⊥MN于点K，交AF于点H，设⊙A的半径长x；根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BK∥CE，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△ABH∽△ACG，根据相似三角形对应边成比例得出BH ∶CG=AB ∶AC，根据比例式即可得出关于x的方程，求解得出x的值即⊙A 的半径；
（2）首先根据线段的和差算出CG的长，根据正弦函数的定义由sin∠CAG=CG ∶AC ，得出AC的长，再根据BC=AC−A B算出BC的长，即：此时拉杆 B C 的伸长距离。