浙江杭州八中2019届上学期高三数学周末自测卷十九(含答案)

浙江杭州八中2019届上学期高三数学周末自测卷十九
选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，{}|21x A y y ==+，{}|ln 0B x x =<，则
(
)
U
A B =
A ．∅
B ．{}|01x x <<
C ．1|12x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
D ． {}|1x x <
2．已知0.32a =，20.3b =，0.3log 2c =，则
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A ．64
B ．72
C ．80
D ．112
4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23a =，3A π
=，ABC ∆的面积为23，则b c += A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5．设实数,x y 满足20,
240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
1
y z x +=，则
A ．z 有最大值，有最小值
B ．z 有最大值，无最小值
C ．z 无最大值，有最小值
D ．z 无最大值，无最小值
6．在二项式5
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含2x 的项的系数是
A ．80-
B ．40-
C ．5
D ． 10
7．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个
数的和恰好能被3整除概率是 A ．
120
B ．
110
C ．
310
D ．
720
8．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．无数个
9．已知向量()
3,1=-a ，向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭b ，则向量,a b 的夹角可能是
A ．
2
18
π B ．
518
π C ．
7
18
π D ．
1118
π
10．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时，
A ．()f x x m n +<+
B ．()f x x m n +>+
C ．()0f x x -<
D ．()0f x x ->
非选择题部分 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则()f x 的定义域为 ，(sin )6
f π
的值为
______.
10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －1
－2，x ≤1，
－log 2x ＋1，x >1，
则=-)1(f _______,若f (a )＝－3，则f (6－a )等于
_________.
11.（x,y ）满足不等式组0
3434
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，
则直线34+=kx y 将表示的平面区域的面积分为相等的两部
分时k 的值为_______，若lg lg()y x a -+的最大值是1，则正数a 的值是_____.
12．已知数列{}n a 是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设n b ＋2＝3log 14n a (n ∈N *
)，数列{}n c 满足n n n b a c •=.则n a =________,n b = ___________,数列{c n }的前n 项和S n ＝________________.
13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________． 14．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．
15.函数)(x f 的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[]D b a ⊂,使得)(x f 在[]
b a ,上的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
,2b a ，则称函数)(x f 为“成功函数”．若函数)1,0)((log )(≠>+=c c t c x f x c 是“成
功函数”，则t 的取值范围为_____________________
三、 解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本题满分14分）已知)sin cos ,sin 32(x x x a -=→
，)sin cos ,(cos x x x b +=→
,→
→⋅=b a x f )( (1) 求()x f 的最小正周期和单调递增区间
(2) 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)(x f 在角
2
A
处取到最大值，其中7=a ，14
3
13sin sin =
+C B ，求c b -的值 19．（本小题满分15分）
如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别为BA ，BC 的中点，将△ADE ，△DCF ，分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A '，连接A B '． （Ⅰ）求证:EF ⊥平面A BD '；
（Ⅱ）求A D '与平面BEDF 所成角的正弦值．
20.（本题满分15分）已知三次函数32()8f x x ax bx =++，,a b R ∈,()
()f x g x x
= （1）()g x 在(1,2)上有两个零点，求3a b +的取值范围
（2）是否存在实数,a b ，使得任意[1,1]x ∈-，均有|()|2f x ≤，如存在，求出,a b R ∈的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率e ＝2
2
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝3分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．
22. （本题15分）
对任意正整数n ，设n a 是关于x 的方程31x nx -=的最大实数根 12n n n a a n +<<<+（Ⅱ）当4n ≥时，对任意的正整数m 2()n m n n m n
a a n m n ++-<-<+
（Ⅲ）设数列21{}n a 的前n 项和为n S ，求证：2ln(1)133
n n n S +<<
浙江杭州八中2019届上学期高三数学周末自测卷十九
参考答案与评分标准
1．答案：B ．
解析：因为{}|1A x x =>，所以
{}|1U
A x x =≤，又因为{}|01
B x x =<<，所以
(
)
{}|01U
A B x x =<<．
2．答案：D ．
解析：因为0.321a =>，()20.30,1b =∈，0.3log 20c =<，所以c b a <<． 3．答案：C ．
解析：该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321
443803
+⋅⋅=．
4．答案：B ．
解析：由1
sin 232
S bc A ==得8bc =．由2222cos b c bc A a +-=得2212b c bc +-=，所以6b c +=．
5．答案：C ．
解析：不等式组20,
240,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域为如图
的阴影部分，目标函数1
y z x
+=
表示阴影部分中的点与点()0,1-的连线的斜率，故z 有最小值，无最大值． 6．答案：A ．
解析：二项式5
212x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项为()
()555315521221r
r r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫
=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭
，由532r -=得1r =，所以含2x 的项的系数是()1
1
45
2180C ⋅⋅-=-． 7．答案：D ．
解析：从10个数中任取3个共有3
10
120C =种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C =种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有3
31C =种取法；
第三类：这3个数从3,6,9中取，共有331C =种取法；第四类：这从1,4,7,10中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336⋅⋅=种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是411367
12020
+++=
．
8．答案：D ．
y
x
O
解析：如图，由0FA FB FC ++=得F 为ABC ∆的重心，设点A 坐标为()00,x y ，3AM MF =-，则点M 坐标为003,22x y -⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，只要满足点M 在抛物线内部，即2
003422y x -⎛⎫⎛⎫-<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，002x ≤<时，直线00034:22
x y l y x y -⎛
⎫=-
+- ⎪⎝⎭与抛物线2:4C y x =的交点,B C 关于点M 对称，此时ABC ∆为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”．
9．答案：B ．
解析：如图，若向量()1cos ,sin 055t t t ππ⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭b 的起点为原
点，则其终点在射线()()tan
115
y x x π
=->上，故向量,a b 的夹角的取值范围为11630π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
，．
10．答案：A ．
解析：因为函数2()f x x ax b =++是上凹函数，所以()()()()1f x f m f n f m x m
n m
--<
=---，因此()f x x m n +<+．
9. []
2,2- , 83-
10. －74 －74 11. 38，5
2
12. a n ＝(14)n b n ＝3n －2(n ∈N *)， 23－3n ＋23×(14)n (n ∈N *
)
13. [2，＋∞) 14．±1 15.⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,0 18．（本题14分）
(1)x x x x x f 2
2sin cos cos sin 32)(-+=
x x 2cos 2sin 3+=
)6
2sin(2π
+
=x ......................................3分
∴)(x f 的最小正周期π=T ...................................4分
由)(22
6
222
Z k k x k ∈+≤
+≤+-ππ
π
ππ
知)(6
3
Z k k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
所以)(x f 的单调递增区间为)(6,3Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-
ππππ.........6分
（2）2)6
sin(2)2(=+=π
A A f
)(2
6
Z k k A ∈+=
+
∴ππ
π
2
3
sin ,3
=
=∴A A π
..............................8分 C
c
B b A a sin sin sin =
=
c C b B 14
3sin ,143sin ==
∴ ∴根据,14
3
13sin sin =
+C B 知13=+c b ............................11分 根据2
1
22)(2cos 22222=--+=-+=
bc a bc c b bc a c b A 知40=bc
94)()(22=-+=-∴bc c b c b
3±=-∴c b ...............................................................................14分
19．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）
,A D A E A D A F ''''⊥⊥，A D '∴⊥平面A EF '，
又EF ⊂平面A EF ',A D EF '∴⊥,
由已知可得EF BD ⊥，EF ∴⊥平面A BD '；……………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面A BD '⊥平面BEDF ，则A DB '∠为A D '与平面BEDF 所成角，
设BD ，EF 交于点M ，连A M '，则A M BM '==
DM =
又A D '⊥平面A EF '，A M '⊂平面A EF '，A D A M ''∴⊥，…………12分
在Rt △A DM '中，1
sin
3
A M A BD DM ''∠=
==， A D '∴与平面BEDF 所成角的正弦值为1
3
．……………………………15分
20．（本小题满分15分） 解：（1）、由已知，得2()
()8f x g x x ax b x
=
=++.
根据二次方程根的分布问题，得2(1)0
(2)0
1216320g g a
a b >⎧⎪>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩,即2(1)80(2)32201216
320g a b g a b a a b =++>⎧⎪=++>⎪⎪⎨<-<⎪⎪->⎪⎩
， 整理得28
2323216320a b a b a a b +>-⎧⎪+>-⎪
⎨
-<<-⎪⎪->⎩
…….① 由于(3)372g a b =++，得当()g x 过点(1,0)时，(3)g 取到最大值，此时80a b ++=. 代入①式，可得2416a -<<-.此时32840a b a +=-<-
当()g x 过点(2,0)时，(3)g 取到最小值，此时2320a b ++=代入①式，可得3224a -<<- 此时33264a b a +=->-
综上所得64340a b -<+<-.
（2）、解：由已知，得(1)8(1)8f a b f a b =++⎧⎨-=-+-⎩(1)(1)2(1)(1)162
f f a f f b +-⎧=⎪⎪⇒⎨
---⎪=⎪⎩ 则1(1)(1)(1)(1)163(1)(1)
()113242848a b f f f f f f f +------=+
+=++=-.
由13(1)(1)
|()||
3|228
f f f --=-≤，得3(1)(1)8f f --≥. 又由于2(1)22(1)2f f -≤≤≤-≤，-，得(1)2,(1)2f f =-=- 从而0,6a b ==-
21. (本题满分15分)
解：(1)由题意得2a ＝4，故a ＝2， ……………1分
∵e ＝c a ＝2
2，∴c ＝2，b 2＝22－(2)2＝2，……………3分
∴所求的椭圆方程为x 24＋y 2
2
＝1. ……………4分
(2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而M (3,5k )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)x 24＋y 22＝1
得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0. ……………6分
设S (x 1，y 1)，则(－2)×x 1＝8k 2－41＋2k 2，得x 1＝2－4k 21＋2k 2，从而y 1＝
4k
1＋2k 2
， 即S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2
， ……………8分 又由B (2,0)可得直线SB 的方程为 y －04k 1＋2k 2－0＝x －2
2－4k 21＋2k
2
－2， 化简得y ＝－1
2k
(x －2)， ……………10分
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12k (x －2)，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－12k ，∴N ⎝⎛⎭⎫3，－12k ，……………11分 故|MN |＝5k ＋1
2k ，……………12分
又∵k >0，∴|MN |＝5k ＋1
2k
≥2
5k ·1
2k
＝10，…………14分 当且仅当5k ＝12k ，即k ＝10
10时等号成立．
∴k ＝10
10
时，线段MN 的长度取最小值10.……………15分
22. 【解 析】
（Ⅰ）令3
()1f x x nx =--，则'
2
()3f x x n =- .
可知()f x 在区间)+∞内单调递增；………………………………………………………….1分
又由于10f =-<,10f =
>，
n a <分
1n a +<<
1n n a a +<<<分
（Ⅱ）当4n ≥
时，由110()n f f a =-≥>=
可得2
n a <
,
2
n a <<…………………………………………..5分
12
n a +<<
1n n a a +<-<分
1n n a a +<-<
<分
于是有132211()()()()n m n n m n m n n n n n n a a a a a a a a a a +++-+++++-=-+
+-+-+-
1
(2
n >
++++
2
=
分
132211()()()()n m n n m n m n n n n n n a a a a a a a a a a +
++-++
+++-=
-++-
+-+-
(
n
<+
+
++
=
<
…………………………………9分
m
n n
a a +<-<不等式成立.
（Ⅲ）由（Ⅰ）n a <<可得2
111
2n n a n
<<+...................................10分 从而可知22212
11
1n n S a a a =
+++
11
1
34
2
n >+++
+ 事实上由对0x ∀>,有ln(1)x x >+ 于是
11111
1
ln(1)ln(1)ln(1)34
234
2
n n +++
>++++++
++
ln(1)3
n =+................................................................................................................12分 从而有22212111n n S a a a =+++111342n >++++ln(1)3n >+ 又由于22212111n n S a a a =+++111123n <++++ 事实上由柯西不等式，得
1111111123231
n n ++++<+++++ 21(n <+++.................................................................14分 221113n <++-- 111(
n =+++-
1=+21n <+..........................................................................15分 综上所述，ln(1)13n n
S +<<. 【命题意图】考察数列的相关证明及放缩法的运用，需要综合分析，属于难题.。