山西省忻州二中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试卷(解析版)

2017-2018学年第二学期期中考试题
高二数学（文科）
一．选择题（本大题共12小题，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合A={2,3,4,7,9},B={0,3,6,9,12}, ,则A∩B= （）
A. {3,5}
B. {3,6}
C. {3,7}
D. {3,9}
【答案】D
【解析】
【分析】
直接按照集合的交集的运算法则求解即可．
【详解】∵集合A={2,3,4,7,9},B={0,3,6,9,12}
∴
故选D.
【点睛】本题考查交集及其运算，找出集合中的元素，不重复而且是两个集合的公共元素，才是二者的交集．基础题．
2.下列表述正确的是（）
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A. ①②③
B. ②③④
C. ②④⑤
D. ①③⑤
【答案】D
【解析】
试题分析：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
考点：归纳推理；演绎推理的意义
3.将参数方程(a为参数)化成普通方程为()．
A. 2x＋y＋1＝0
B. x＋2y＋1＝0
C. 2x＋y＋1＝0(－3≤x≤1)
D. x＋2y＋1＝0(－1≤y≤1)
【答案】D
【解析】
【分析】
观察这个参数方程的特点，可将变形，再消去即可得到普通方程．
【详解】由题意得，，消去得
故选D.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．解答本题时需注意本题消参后的方程为圆，变量的取值范围与原参数方程一致．
4.复数在复平面上对应的点位于第________象限
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化简为的形式，得到，就可以得到答案．
【详解】∵复数
∴复数在复平面上对应的点位于第三象限
故选C.
【点睛】复数化简为的形式，是解题关键，的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．
5.复数的值是()．
A. －4i
B. 4i
C. －4
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算法则将化简，即可求值.
【详解】∵
∴
∴
故选C.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，利用的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础题．
6.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的推理过程，不难得到结论．
【详解】在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直线为大前提，由线面平行的性质易得，直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误
故选A．
【点睛】归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误．
7.为研究某两个分类变量是否有关系，根据调查数据计算得到k≈15.968，因为P(K2≥10.828)＝0.001，则断定这两个分类变量有关系，那么这种判断犯错误的概率不超过()．
A. 0.1
B. 0.05
C. 0.01
D. 0.001
【答案】D
【解析】
【分析】
根据观测值，对照临界值得出结论．
【详解】根据，及，对照临界值得：判断秃发与心脏病有关系，这种判断出错的可能性为0.001．
故选D.
【点睛】本题的考查点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进行判断，准确的理解判断方法及的含义是解决本题的关键．
8.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）
A. 假设三内角都不大于60度
B. 假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度
D. 假设三内角至多有两个大于60度
【答案】B
【解析】
分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可.
详解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于
第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于
故选B.
点睛：反证法是一种论证方式，其方法是首先假设某命题的否命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立，得证.
9.函数y＝(x＋1)2的导函数是()．
A. 2
B. 2(x＋1)
C. (x＋1)2
D. 2x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的公式先求出函数的导数，然后直接求解即可．
【详解】∵
∴
故选B.
【点睛】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握导数的公式，比较基础．
10.将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得( )．
A. (4，)
B. (－4，)
C. (－4，)
D. (4，)
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件求得、、的值，可得的值，从而可得极坐标.
【详解】∵点的直角坐标
∴，，
∴可取
∴直角坐标化成极坐标为
故选A.
【点睛】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用、、(由
所在象限确定).
11.在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，
得到的曲线是()．
A. 直线
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 圆
【答案】D
【解析】
【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的，分别换成得，，由此能求出结果．
【详解】∵极坐标方程
∴
∴直角坐标方程为，即
∴经过直角坐标系下的伸缩变换后得到的曲线方程为，即.
∴得到的曲线是圆
故选D.
【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
12.若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是
（）
A. 相交而不过圆心
B. 相交过圆心
C. 相切
D. 相离
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心到直线的距离，得到直线与圆的位置关系为相交．
【详解】根据题意，圆的参数方程为（为参数），则圆的普通方程为，其圆心坐标为，半径为2.
直线的方程为（为参数），则直线的普通方程为，即，圆心不在直线上.
∴圆心到直线的距离为，即直线与圆相交.
故选A.
【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.
二、填空题（本题共4小题，每题5分，满分20分）
13.已知是虚数单位，则满足的复数的共轭复数为_______________
【答案】
【解析】
【分析】
把等式两边同时乘以，直接利用复数的除法运算求解，再根据共轭复数的概念即可得解.
【详解】由，得.
∴复数的共轭复数为
故答案为.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．14.在某回归分析计算中，若回归直线的方程是＝x＋1.1，解释变量数据的平均值为2.1，则预报变量的平均值是
______.
【答案】3.2
【解析】
根据回归直线方程，得出解释变量与预报变量的关系，从而可求得答案.
【详解】解释变量即为，预报变量即为，把代入，解得.
故答案为.
【点睛】本题考查了线性回归方程一次项系数的实际意义，是基础题.
15.由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点的连线与平面垂直，用的是____推理
【答案】类比
【解析】
【分析】
从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间．
【详解】从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间，用的是类比推理．
故答案为类比．
【点睛】本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．
16.过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据公式，，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．
【详解】由，，可得点的直角坐标为
∵直线与极轴平行
∴在直角坐标系下直线的斜率为0
∴直线直角坐标方程为y=1
∴直线的极坐标方程是
故答案为．
【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，解答的关键是利用基本公式，，注意转化思想，属于
三．解答题（满分70分，解答应写出文字说明和演算步骤）
17.已知复数z=m(m-1)+( m2+2m-3)i当实数m取什么值时，复数z是
(1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i
【答案】⑴m=1⑵m=0⑶ m=2
【解析】
【分析】
对于复数，（1）当且仅当时，复数；（2）当且仅当，时，复数是纯虚数；（3）当且仅当，时，复数．
【详解】（1）当且仅当解得m=1，
即m=1时，复数z=0．
（2）当且仅当解得m=0，
即m=0时，复数z=﹣3i为纯虚数．
（3）当且仅当解得m=2，
即m=2时，复数z=2+5i．
【点睛】本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．
18.已知直线l1过点P(2，0)，斜率为．
(1)求直线l1的参数方程；
(2)若直线l2的方程为x＋y＋5＝0，且满足l1∩l2＝Q，求|PQ|的值．
【答案】（1）(t为参数)（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，可直接写出直线的参数方程；（2）即为点对应的参数的绝对值．将参数方程代入，求出后即可求得结果．
【详解】(1)解：设直线的倾斜角为，由题意知tan＝，
所以sin＝，cos＝，故l1的参数方程为(t为参数)．
(2)解：将代入l2的方程得：2＋t＋t＋5＝0，解得t＝－5，即Q(－1，－4)，所以|PQ|＝5．
【点睛】本题考查了直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题．
19.观察下列各等式(i为虚数单位)：
(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；
(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；
(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；
(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．
记f(x)＝cos x＋isin x．
猜想出一个用f (x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；
【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y)
【解析】
【分析】
由已知中的式子，发现若，则，进而利用复数的运算法则和和差角公式，可证得结论. 【详解】f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)
＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i
＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)
＝f(x＋y)．
【点睛】本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
20.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)根据所给的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？附：独立检验临界值表
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据调查数据，即可得到列联表；（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较即可得到答案.
【详解】(1)列联表如下：
(2)假设“休闲方式与性别无关”，由公式算得k＝≈6.201，比较P(K2≥5.024)＝0.025，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“休闲方式与性别有关”．【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，注意独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算出的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误）.
21.点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离．
【答案】；。

【解析】
试题解析：由于点P 在椭圆上，可设P （4cosθ，3sinθ）， 则，即， 所以当时，； 当时，． 考点：本题考查求点与直线距离最值问题
点评：解决本题的关键是借助椭圆参数方程，转化成三角最值问题
22.假设关于某设备使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料： ，
若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，试求：
(1)回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少
【答案】（1）＝1.23 x ＋0.08（2）12.38万元
【解析】
【分析】
（1）根据所给的数据，做出变量，的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，从而得到线性回归方程；（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出当年的维修费用，这是一个预报值． 【详解】(1) ＝＝1.23．
＝5－1.23×4＝0.08．回归直线方程为＝1.23 x＋0.08．
(2)当时，＝1.23×10＋0.08＝12.38万元，即估计用10年时，维修费约为12.38万元．
【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：
①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；
②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上；
③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．。