数值分析(2011)试题A卷 参考答案

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一、填空题（本题40分, 每空4分）

1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则

=)(i j x l 1

,0,1,,0

i j i j n i j

=⎧=⎨

≠⎩ 。

2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数8

3,81

)

3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。

5．设矩阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。

6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm

才能使其面积误差不超过12

cm 。（结果保留小数）

7.要使求积公式

)()0(4

1

)(111

x f A f dx x f +≈

⎰

具有2次代数精确度，则 =1x

23 ， =1A 3

4

。 8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解

LU

A =，

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18

9A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-

⎪ ⎪-

⎪⎝⎭

=U 918927

09

18

902815400

09-⎛⎫

⎪-

⎪ ⎪-

⎪⎝⎭

。 二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3

x 的系数是6，试确定数据y 。

2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分

年 级2011级

研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人

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三、计算题（15分）试导出计算

)0(1>a a

的Newton

迭代格式，使公式中（对n x ）既

无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

数值分析书P239 课后习题12类似

四、计算题（15分）已知4

3,21,41210===

x x x 。 （1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算

⎰

1

2dx x 。

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五、计算题（10分）给定方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=++=++30

153212824

3220321

321321x x x x x x x x x

判定Jacobi 和Gauss-Seidel 方法的收敛性。

因系数矩阵按行严格对角占优，故Jacobi 和

Gauss-Seidel 方法都收敛

或求迭代矩阵 利用()1B ρ<判断收敛

六、计算题（10分）定义内积⎰

-=

1

1

)()(),(dx x g x f g f ，试在},,1{421x x span H =中寻求

对于||x f(x)=的最佳平方逼近多项式)(x p 。