数值分析(2011)试题A卷 参考答案
2011级数值分析试卷
菏泽学院数学系2011级 2013-2014学年第一学期数学与应用数学专业《数值分析和计算方法》期末试卷（A ）(110分钟)题号 一 二 三 四 五 总分得分 阅卷人一．选择题（将正确选项前的代号写在题号前的括号内，每小题3分，共15分）( )1.若用最小刻度为0.5mm 的刻度尺测量物体，其误差限为（ ）A.0.25mmB.1.0mmC.0.5mmD.0mm （ ）2.下列具有最高代数精度的求积公式是（ ）A.龙贝格求积公式B.复合辛普森求积公式C.牛顿-科特斯求积公式D.高斯求积公式（ ）3.已知2,1,0,,1)(==-=i i x x x f i i i 。
则函数)(x f 的插值多项式为（ ）A. 145412-+x x B.1-xC.-145412-+x x D.2+-x（ ）4.下列给出的是用不动点迭代法求032=-x 的根3*=x 的迭代函数，则相应的迭代方法局部收敛的是A.x x 3=)(ϕ B.3)(2-+=x x x ϕC.2321)(2-+=x x x ϕD.)3(21)(xx x +=ϕ( )5.线性方程组AX=b 能用高斯消元法求解的充要条件是（ ）A.A 为对称矩阵B.A.为实矩阵C.A 的各阶顺序主子式不为零D.0≠A得分 阅卷人二．填空题（请将正确答案填写在每小题的横线上，每空4分，共20分）1.计算积分⎰b adx x f )(的梯形公式为 。
2.设向量T n x )2,1,0( =，则=∞x 。
3.用牛顿法求方程0)(=x f 的根的公式为 。
4.已知n=3时的牛顿-科特斯系数83,83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ,则=)3(3C 。
5.已知点,5,4,3,2,1,1=-=i i x i 则二阶差分=∆32x 。
三．判断题（对的在题前括号内划√，错的划×，每题2分，共10分）（ ）1.高斯求积公式的系数都是正的，故计算总是稳定的。
《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案
一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
《数值分析》所有参考答案
等价三角方程组
， ，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
， ， ，
16.已知 ，求 ， ， 。
解：
, ,
17.设 。证明
，(II)
，
当 时
当 时
迭代格式(II)对任意 均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当 时
当 时
迭代格式(III)对任意 均收敛
4)
取格式(III)
， ， ，
4.用简单迭代格式求方程 的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当 时， ，
1 2
当 时
，
，
， ，
1)
迭代格式 ，
,
当 时， ，
任取 迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当 时存在 使得
，
,
所给 为 上的一个范数
18.设 。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求 ， ， 及 ， 。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设 为 上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
， 使得
对一切 均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数 使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
中国石油大学《数值分析》2011年考试试题A卷及答案
f (4)(x)
1 2880
1 n
4
6
1 2
104
,
仅要 n 4 1 101 2.54 ,取 n 3 即对将[1,2] 作 6 等分,则有 240
(8 分)
2
1 ln xdx
1 [0 4(ln 7 ln 3 ln 11) 2(ln 4 ln 5) ln 2] 0.38628716327880 .
0.000040074
（ 4 分）
七、（10 分）(1)牛顿迭代格式
x(k 1)
x(k)
f f
(x(k ) ) '(x(k) )
x(k)
x(k) 1 (2
(x(k) )2 )(x(k) )1
1
(1 (2
)(
x( )(
)k ) 2 x(k ) )1
(2)
x(k 1)
lim
k
x(k)
1 1
fgdx
，取( x) ax bx3 ， f ( x) sin x ，则法方程为
(0 ,0 )
(1
,
0
)
(0 ,1) (1 , 1 )
a b
( (
f f
,0 ,1
) )
（ 4 分）
其中 0,0
1
x xdx
1
2， 3
0 ,1
(1 )(x(k) )2
lim
k
1
(2
)(x(k ) )1
c0
2
c 1
(5 分) (5 分)
1
x(k) 2
x(k) 3
1
x(k) 1
x(k) 3
/2
x3( k
1)
上海大学2011-2012第二学期数值方法试卷(A含答案)
六、名词解释(共 9 分) (答案仅供参考，允许表述形式不一致) 1. (3 分)迭代法：
答：一般采用迭代法求解方程组，因为迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单， 编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组
是一种逐次逼近法，从一个假设解开始，通过一系列的迭代求解，最后产生满足精度要 求的近似解 的方法。如 Jacobi 迭代法，GaussSeidel 迭代法 4. (5 分)写出雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并比较它们的优缺点。（10 2. (3 分)绝对误差 分） 一个准确值与其在运算中的近似值的差，称为绝对误差。 雅可比迭代法： （4 分） n 1 x ( k 1) D 1 (b ( L U ) x ( k ) ) ； 3. (3 分)绝对误差限 xi( k 1) (bi aij x (jk ) ) ， 或 aii j 1 绝对误差的绝对值小于等于某个常数 ,该常数称为绝对误差限 j i 高斯-赛德尔迭代法： （4 分）
计算得
命題紙使用說明：1、字迹必須端正，以黑色碳素墨水書寫在框線內，文字與圖均不得剪貼，以保證“掃描”質量； 2、命題紙只作考試（測驗）命題所用，不得移作他用。
第 3 页 （共 3 页）
sin(0.34) L2 (0.34) 0.333336
（注至少保留到小数点四位） 3. (5 分)对于线性方程组 Ax b ， 已知 A 是高维稀疏矩阵， 则一般采用什么方法求解？为什 么？
n n 1 (bi aij x (jk 1) aij x (jk ) ) aii j i j i ， 或
xi( k 1)
七、简答题(共 23 分)： 1. (8 分)试写出数值积分中的梯形公式、辛普森公式、辛普森 3/8 公式和布尔公式，且给出 它们各自的精度值。 设 xk=x0+kh 为等距节点，且 fk=f(xk), 则四个数值积分公式分别为： x1 h 梯形公式精度为 1， 具体公式为: f ( x)dx ( f 0 f1 ) x0 2 x2 h 辛普森公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx ( f 0 4 f1 f 2 ) x0 3 辛普森 3/8 公式精度为 3，具体公式为： f ( x)dx
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
2011年秋研究生数值分析试题A卷答案
2011年秋研究生数值分析期末考试试题答案一、单选题（4*5=20分）1、B;2、D ；3、D ；4、B ；5、C 。
二、填空题（4*5=20）1、2；2、()()1k k k k f x x x f x +=-'，平方收敛；3、8，8；4、9； 5、a <。
三、（10分）解：构造3次Lagrange 插值多项式3001001201()()(,)()(,,)()()L x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +--- 3’利用待定系数法，令430123()()()()()()H x L x A x x x x x x x x =+----， 5’同时， '''14131101213()()()()()()f x H x L x A x x x x x x ==+--- 7’解出A 即可。
8’ 考虑余项4()()()E x f x H x =-，如果5()[,],,0,1,2,3i f x C a b a x b i ∈≤≤=，那么，当a x b ≤≤时()()5240123()()()()()()()5!f E x f x H x x x x x x x x x ξ=-=----. 0 10’ 四、（10分）解：设所求多项式为23202)(x C x C C x P ++=，10=ϕ，x =1ϕ，22x =ϕ，11),(10++==⎰+k j dx e k j k j ϕϕ，1),(100-==⎰e dx e f x ϕ， 1),(101==⎰dx xe f xϕ，2),(1022-==⎰e dx e x f x ϕ 5’ 所以有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21151413141312131211210e e C C C ，求解得到 8’ ⎪⎩⎪⎨⎧===83917.085114.001299.1321C C C ，所求最佳平方逼近多项式为:2283917.085114.001299.1)(x x x P ++=。
2011数值分析试题及答案
由于f(x)二si nx的4阶导数在[0,二]上的最大值为：M4=1,所以
5
误差为：|I-S2|：：——44=0.006641
2880x24
6.求解初值问题」y=sin(x+2y),0兰x兰2的改进Euler方法是否收敛？为什
.y(0) = 1
么？
解：由于|sin(x 2y)-sin(x 2y)|二| 2cos(x 2 )(y-y) 2 | y-y |
5.设f(x) = 4x33x-5，求差商f[0,1], f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。
f(D…f(0)
解：f[0,1]==2-(-5) = 7
1-0
f [1,2,3,4^4，f[1,2,3,4,5]=0
3.解线性方程组丿X1-2忑=2的Jacobi迭代法是否收敛，为什么?
+9x2=3
即，函数f(x, y)二sin(x•2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改 进Euler方法收敛。
所以，a=0, b=5/6，拟合曲线为：y=5/6x2
3.求满足条件f(0)=1,f(1)=2,f(2) =0,f(1)=0的三次插值多项式Ha(x)
的表达式。
解：设H3(x)二(^2)(ax2bx c)，则有:
1213
所以，H3(x) (x-2)(x2x 1) (x-3x-2)。
22
11
4.确定求积公式Jf(x)dx痒三f(-1)+Af(0)+A2f(1)中的待定系数，使其代数精 度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.
解：令公式对f(x) = 1,x都精确成立，得：A,・A2= 3/2, A2= 1/2,
o
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期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
数值分析试题及答案
数值分析考试试题纸（A卷）课程名称数值分析专业年纪•计算题（本题满分100分，共5小题，每小题20分）•已知函数表•求f(x)的三次Lagrange型插值多项式及其插值余项（要求化成最简形式）.•求f(x)的Newton插值多项式（要求化成最简形式）.2. 已知A=，求，A的LU分解.3. 叙述m阶代数精度的定义，写出求的Simpson公式，并验证Simpson公式的代数精度为3阶.4. 设矩阵A=，求当为何值时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛.5. 叙述最小二乘法的基本原理，并举例说明其应用.参考答案•计算题•解：（1）(2) 均差表如下：2、解：由所以3. 解：定义：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
的Simpson公式：验证代数精度：当时，左边积分=,右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边当时，左边积分右边左边故Simpson公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，而对四次多项式不成立，所以Simpson公式具有三次代数精度。
4. 解; Ax=b其Gauss-Seidel迭代格式为迭代矩阵该迭代发收敛的充要条件是矩阵B的谱半径, 特征根当时，解线性方程组Ax=b的Gauss-Seidel迭代法收敛。
5. 答：在函数的最佳平方逼近中，如果只在一组离散点集上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据的曲线拟合，这里,要求一个函数与所给数据拟合，若记,是上线性无关函数族，在中找一函数，使误差平方和这里这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就成为曲线拟合的最小二乘法。
举例说明：测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近i(℃)故取n=1，拟合函数为列表如下6解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。
2011年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷A
2011年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷A(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x 1 =0．724，x 2 =1．25均为有效数，则｜e r (x 1 x 2 )｜≤______｜e(x 1／x 2 )｜≤_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．469×10 -2，0．272×10 -2)解析：3.设∞ =______，cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.超定方程组x 1 =______.x 2 =_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：-0．8333或-0．6667)解析：5.用Simpson______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1.4757)解析：6.0，1，2为节点的三次样条函数，则a=_____，b=_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3，-3)解析：二、计算题(总题数：3，分数：6.00)7.给定方程e x，分析此方程有几个实根，并用迭代法求此方程的正根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设当x=ln0．5时，f"(x)=0；当x∈(-∞，ln0．5)时，f"(x)＜0；当x∈(ln0．5，+∞)时，f"(x)＞0．再注意到f(-4)＞0，f(-3)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0，则该方程存在两个实根，分别在[-4，-3]和[1，2]内．构造迭代格式x *∈[1，2]，取x 0 =1．5，计算得x 1 =1．0651，x 2 =0．9116，x 3 =0．8953，x )解析：8.用列主元Guass（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =-2，x 2 =1，x 3 =-1．)解析：9.给定求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +ωCx k =b，其中ω的值使上述迭代格式收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由Bx (k+1) +ωCx (k) =b得x (k+1) =-ωB -1 Cx (k) +B -1 b 上述格式收敛的充要条件为ρ(-ωB -1 C)＜1．迭代矩阵-ωB -1 C的特征方程为｜λI+ωB -1 C｜=0，可变形为｜B -1｜｜λB+ωC｜=0，即展开得16λ2—8λω)解析：三、综合题(总题数：5，分数：10.00)10.作一个3次多项式H(x)，使得H(a)=b 3，H(b)=a 3，H"(a)=6b，H"(b)=6a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方法1：根据H"(a)=6b，H"(6)=6a可知(x-a)=6b—6(x-a)，两边积分得H(x)=6b(x—a)-3(x-a) 2 +c，H(x)=3b(x-a) 2 -(x—a) 3 +c(x—a)+d．由H(a)=b 3得d=b 3，再由H(b)=a 3有c=-3b 2，所以H(x)=-(x-a) 3 +3b(x-a) )解析：11.求函数y(x)=x 4在区间[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式p(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设p(x)=a+bx．由f"(x)=4x 3，f"(x)=12x 2知，当x∈(0，1)时，f"(x)恒大于零．则f(x)-p(x)在[0，1]上有三个交错偏差点：0，x 1，1，且满足即求解得所以)解析：12.已知函数f(x)∈C 4[a，b]，I(f)=∫ a b f（x）dx 1)写出以a，b为二重节点所建立的f(x)的3次Hermite 插值多琐式H(x)及插值余项； 2)根据f(x)≈H(x)建立一个求解I(f)的数值求积公式I H (x)，并分析该公式的截断误差和代数精度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由条件H(a)=f(a)，H"(a)=f"(a)，H(b)=f(b)，H"(b)=f"(b)，作差商表：所以2)根据题意，有I(f)≈∫ a b H(x)dx，下面求代数精度．由插值余项知，当f(x)=1，x，x 2，x 3时，插值余项为零，I H (f)精确求积；当f(x)=x 4时此时b 5系数为I H) 解析：13.给定常微分方程初值问题n，并记h=(b—a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n．试确定参数A，B，C，使求解公式y i+1 =Ay i +(1-A)y i-1 +h[Bf(x i+1，y i+1 )+Cf(x i，y i )]的局部截断误差R i+1的阶数达到最高，指出所达剑的最高阶数并给出局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：局部截断误差为R i+1=y(x i+1)-Ay(x i)-(1-A)y(x i-1)-h[By"(x i+1)+Cy"(x i)]=y(xi )+hy"(x 1 )+ y"(x i )+ y""(x i y (4) (xi )+O(h5)解析：14.给定如下抛物方程初边值问题：取步长用古典隐格式计算u(x，t)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：求解该问题的古典隐格式为记则差分格式可写为(1+2r)u i k-r(u i+1k +ui-1k )=uik-1 +τ(3—3xi )，用方程组表示为k=1．2．因为所以，当k=1时，方程为或解得u 11 =0．7870，u 2<) 解析：。
华南农业大学2011-2012第2学期数值分析试题及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011-2012学年第 2 学期 考试科目： 数值分析 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1、用四舍五入得到的近似数1.55，有___位有效数字，其相对误差限是________。
2、用二分法求方程1x xe =在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为____，进行二步后根所在区间为____。
3、采用牛顿迭代法求正实数a 的开平方，迭代公式为________。
4、设有矩阵131211122A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则A ∞=____，F A =____。
5、非线性方程迭代求解的敛散性与初始值的选取____；（选填：有关或无关）线性方程组迭代求解的敛散性与初始值的选取____。
（选填：有关或无关）试用4[4,4]P 和4[4,4,4]P 计算'(4)f 和''(4)f 的近似值。
（本题共10分）三、给定方程30(0)x e x x --=>（1） 分析方程存在几个解，并找出解的范围；（2） 将方程改为3x x e =-，写出相应的迭代公式，并说明能不能用该公式迭代求原方程的解；（3） 如果不能，试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。
（本题共15分）四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程AX b =的收敛性，其中122111221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
（本题共16分）五、已知函数3y x =的函数表如下：（1） 求3y x =的3次拉格朗日插值多项式；（2） 求3y x =的3次牛顿插值多项式。
（本题共14分）六、采用龙贝格法计算140I x dx =⎰的值。
（本题共15分）华南农业大学期末考试试卷参考答案（A 卷）2010-2011学年第 2 学期 考试科目： 数值分析 一、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1、用四舍五入得到的近似数1.55，有3位有效数字，其相对误差限是0.323%。
2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)
合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级 姓名 学号 成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。
( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。
( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。
( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。
( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有 位有效数字。
2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。
数值分析(2011)试题A卷 参考答案
装订线年 级 学 号 姓 名 专 业一、填空题（本题40分, 每空4分）1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则=)(i j x l 1,0,1,,0i j i j n i j=⎧=⎨≠⎩ 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数83,81)3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。
5．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm才能使其面积误差不超过12cm 。
（结果保留小数）7.要使求积公式)()0(41)(111x f A f dx x f +≈⎰具有2次代数精确度，则 =1x23 ， =1A 34。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解LUA =，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1359 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 189A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭=U 918927091890281540009-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分年 级2011级研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人装 订线年级 学 号 姓 名 专 业三、计算题（15分）试导出计算)0(1>a a的Newton迭代格式，使公式中（对n x ）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
数值分析A卷(2011年秋)
三、 （10 分）设 f ( x) 在 [ x0 , x3 ] 上有 5 阶连续导数，且 x0 x1 x2 x3 ， （1）试作一个次数不高于 4 次的多项式 H 4 ( x) ，满足条件
H 4 ( x j ) f ( x j ) , j 0,1, 2,3, ' ' H 4 ( x1 ) f ( x1 ) ;
(D)、它不是插值型求积公式。
y f x, y 1、求解常微分方程初值问题 的改进的欧拉法是 y x0 y0
阶方法。 ，其 收 敛 阶
2 、 解 非 线性方程 f x 0 的单根 的牛顿法 格 式为 为 。
4 1 2 2 ， x 1 ， 则 Ax 3 2 1 1 3 3、设矩阵 A 1 2
（2）写出 E( x) f ( x) H 4 ( x) 的表达式。
四、 （10 分）求 f ( x) e x 在 [0,1] 上的二次最佳平方逼近，权为 1。
3
五、 （10 分）用 n 2, 3 的高斯－勒让德公式计算积分 e x sin xdx
1
六、 （10 分）已知
0 1 2 1 , b ， 2 5 8 1 请用 Doolittle 三角分解法求解线性方程组 Ax b 。 1 3 7 7 1 3 9 9
，对于其产生的数列 k 0 , 1, 2 , xk ，下列说法正确的是
(A)、若数列 xk 收敛，则迭代函数 x 唯一； (B)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (C)、若对于 x a, b ， x 1 ，则 xk 收敛； (D)、若对于 x a, b ， x L 1 ，则 xk 收敛。 3、对矩阵 A 采用幂法迭代，如果该方法收敛，则其收敛速度取决于（ (A)、模最大特征值和模次最大特征值的比值； (B)、模最大特征值和模次最大特征值的模的比值； (C)、模次最大特征值和模最大特征值的比值； (D)、模次最大特征值和模最大特征值的模的比值。 ） 。
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)
2011年下学期数值分析考试试卷答案(A)D222223221()()(1)(2)(1)21(45)2P x H x Ax x x x x x x x x =+-=-+-=-+余项为 R(x)=(5)22()(1)(2)5!f x x x ξ-- ……………………………12分解法2：构造带重节点的Newton 差商表 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 -1 2211/2 ………………………8分2222221()00(0)1(0)1(0)(1)(0)(1)21(45)2N x x x x x x x x x x =+-+----+--=-+…………………12分三、 (12分) 求()xf x e -= 在区间[-1，1]上的最佳平方逼近2次多项式. (用勒让德正交多项式2121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-) 解：用勒让德多项式20121{(),(),()}{1,,(31)}2P x P x P x x x =-,2(,)21iiP P i =+ …………………………………………………………………………………..3分计算：11101(,)( 2.3504）x f P e dx e e ---==-≈⎰,1111(,)20.7358x f P xe dx e---==-≈-⎰121211(,)(31)70.143132x f P x e dx e e ---=-=-≈⎰…………………………………………………………………………………..8分111101010011(,)(,)2* 1.1752,*3 1.1036(,)2(,)2/3 f P f P e e e a a e P P P P ----==≈==-=-≈-12222(,)7*0.3578(,)2/5f P e e a P P --==≈故最优平方逼近函数为：11112225351()3(31)22211.1752 1.10360.3758(31)20.5367 1.10360.9963e e e e p x e x x x x x x -----=-+⋅-≈-+⋅-=-+。
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装
订
线
年 级 学 号 姓 名 专 业
一、填空题（本题40分, 每空4分）
1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则
=)(i j x l 1
,0,1,,0
i j i j n i j
=⎧=⎨
≠⎩ 。
2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数8
3,81
)
3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。
5．设矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。
6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm
才能使其面积误差不超过12
cm 。
（结果保留小数）
7.要使求积公式
)()0(4
1
)(111
x f A f dx x f +≈
⎰
具有2次代数精确度，则 =1x
23 ， =1A 3
4。
8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解
LU
A =，
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18
9A 其中，则=L 10002100121023113⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-
⎪ ⎪-
⎪⎝⎭
=U 918927
09
18
902815400
09-⎛⎫
⎪-
⎪ ⎪-
⎪⎝⎭。
二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3
x 的系数是6，试确定数据y 。
2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
年 级2011级
研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人
装 订
线
年
级 学 号 姓 名 专 业
三、计算题（15分）试导出计算
)0(1>a a
的Newton
迭代格式，使公式中（对n x ）既
无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
数值分析书P239 课后习题12类似
四、计算题（15分）已知4
3,21,41210===
x x x 。
（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式； （2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算
⎰
1
2dx x 。
装 订
线
年
级 学 号 姓 名 专 业
五、计算题（10分）给定方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=++30
153212824
3220321
321321x x x x x x x x x
判定Jacobi 和Gauss-Seidel 方法的收敛性。
因系数矩阵按行严格对角占优，故Jacobi 和
Gauss-Seidel 方法都收敛
或求迭代矩阵 利用()1B ρ<判断收敛
六、计算题（10分）定义内积⎰
-=
1
1
)()(),(dx x g x f g f ，试在},,1{421x x span H =中寻求
对于||x f(x)=的最佳平方逼近多项式)(x p 。