2014年高考中的函数y=Asin(ωx+φ)+k一个在高考中创意不断的函数

数学教育研究
２０１４年高考中的函数狔＝犃狊犻狀（ω
狓＋φ）＋犽一个在高考中创意不断的函数
赵　敏　（山东省青岛市城阳第三高级中学　２６６１１２
） 高考对数学基础知识的考查要求全面突出重点，
注重学科的内在联系和知识的综合，强化在知识网络
交汇点设计试题．２０１４年的高考试题，对函数狔＝犃ｓｉｎ
（ω
狓＋φ）＋犽从不同角度、不同层次上作了考查，既突出了这一知识的重要地位，
又结合了函数的重要性质，体现了常考常新的命题思路．
１　考查函数的周期性
例１　（２０１４·北京卷）设函数犳（狓）＝犃ｓｉｎ（ω
狓＋φ）（犃，ω，φ
是常数，犃＞０，ω＞０）．若犳（狓）在区间π６，π［］２上具有单调性，且犳π（）２＝犳２π（）３
＝－犳π（）６
，则犳（狓）的最小正周期为
．解：∵犳π（）
２＝－犳π（）６
∴犳（狓）的一个对称中心为π３，（）
０∵犳π（）２＝犳２π
（）３∴犳（狓）
的一条对称轴为狓＝７π１２
又因为犳（狓）在π６，π［］
２上单调，∴犜４＝７π１２－π３
＝π
４
∴犜＝π点评　本题是根据三角函数的对称性求周期，相邻的对称中心和对称轴之间是四分之一个周期．
例２　（２０１４·天津卷）已知函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓·ｓｉｎ
狓＋π（）３槡－３ｃｏｓ２
狓＋槡３４
，狓∈犚．（１）求犳（狓）
的最小正周期；（２）求犳（狓）
在闭区间－π４，π［］
４
上的最大值和最小值．
解：（１）由已知，有犳（狓）＝ｃｏｓ狓·
１２ｓｉｎ狓＋槡３２ｃｏｓ（
）
狓槡－３ｃｏｓ２狓＋槡３４＝
１２ｓｉｎ狓·ｃｏｓ狓－槡３２ｃｏｓ２狓＋槡３４＝１４ｓｉｎ２狓－槡３４
（１＋ｃｏｓ２狓）＋
槡３４
＝
１４ｓｉｎ２狓－槡３４ｃｏｓ２狓＝１２ｓｉｎ２狓－
π（）
３
，所以犳（
狓）的最小正周期犜＝２π２
＝π．（２）因为犳（狓）在区间－π４，－π［］
１２
上是减函数，在区间－π１２，π［
］
４上是增函数，犳－
π（）
４＝－１４，犳－π（）１２＝－１２，犳π（）
４
＝１４，所以函数犳（狓）在区间
－π４，
π［］
４
上的最大值为１４，最小值为－１２．点评　本题根据辅助角公式化为狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犽型，
再根据三角函数的周期公式求最小正周期．２　考查函数的奇偶性
例３　（２０１４·安徽卷）若将函数犳（狓）＝ｓｉｎ
２狓＋π（）
４
的图像向右平移φ个单位，所得图像关于狔轴对称，则φ的最小正值是．
解：把犳（狓）＝ｓｉｎ２狓＋π（）
４
的图像向右平移φ个单位所得图像为：
犵（狓）＝ｓｉｎ２（狓－φ）＋π［］４
＝ｓｉｎ２狓－２φ＋π（）
４，又各犵（狓）的图像关于犢轴对称，则犵（狓）
为偶函数，则－２φ＋π４＝π２＋犽π，得φ＝－π８＋犽π２
，所以φ的最小正值为φ＝３π８
．点评　本题考查三角函数的平移、对称性、奇偶性．
例４　（２０１３·湖北卷文）将函数狔槡＝３ｃｏｓ狓＋ｓｉｎ狓（狓∈犚）的图象向左平移犿（犿＞０）个单位长度后，所得到的图象关于狔轴对称，则犿的最小值是解：函数狔槡＝３ｃｏｓ狓＋ｓｉｎ狓＝２ｓｉｎ狓＋π（）
３
（狓∈
犚），将其图像向左移犿个单位长度，得到函数狔＝２ｓｉｎ狓＋π３
＋（）
犿，又因为平移后得到的图像关于狔轴对称，所以函数狔＝２ｓｉｎ狓＋π３＋（）
犿为偶函数，
由三角函数图像的性质，可得π３＋犿＝犽π＋π２（犽∈狕），犿＝犽π＋
π６（犽∈狕）
，又犿＞０所以犿的最小值是π６
．点评：本题的关键是利用三角函数狔＝犪ｓｉｎ（ω狓＋φ）
为偶函数确定φ的值．３　考查函数的单调性
例５　（２０１４·福建卷）已知函数犳（狓）＝ｃｏｓ狓（ｓｉｎ狓
·
０６·２０１５年第１期　
数学教育研究
＋ｃｏｓ狓）－
１
２
．（１）若０＜α＜π２，且ｓｉｎα＝槡２２
，求犳（α）的值；
（２）求函数犳（狓）的最小正周期及单调递增区间．解：（１）因为０＜α＜π２，ｓｉｎα＝槡２２，所以ｃｏｓα＝槡２２．
所以犳（α）＝槡２２×槡２２＋槡２（）
２
－１２＝１２．（２）因为犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＋ｃｏｓ２
狓－１２＝１２ｓｉｎ２狓
＋
１＋ｃｏｓ２狓２－１２＝１２ｓｉｎ２狓＋１２
ｃｏｓ２
狓＝槡２
２ｓｉｎ２狓＋
π（）
４，所以犜＝２π
２
＝π．由２犽π－π２≤２狓＋π４≤２犽π＋π２，犽∈犣，得犽π－３π８≤狓≤犽π＋π８
，犽∈犣．所以犳（狓）的单调递增区间为犽π－３π８，犽π＋π［］
８
，犽∈犣．
例６　（２０１４·四川卷）已知函数犳（狓）＝
ｓｉｎ３狓＋
π
（）
４．（１）求犳（狓）的单调递增区间；（２）若α是第二象限角，犳α
（）
３
＝４５
ｃｏｓα＋π（）４
ｃｏｓ２α，求ｃｏｓα－ｓｉｎα的值．解：（１）因为函数狔＝ｓｉｎ狓的单调递增区间为－π２＋２犽π，π２
＋２犽［］π，犽∈犣，由－π２＋２犽π≤３狓＋π４≤π２
＋２犽π，
犽∈犣，得－π４＋２犽π３≤狓≤π１２＋２犽π３，犽∈犣．所以，函数犳（狓）的单调递增区间为
－π４＋２犽π３，π１２＋
２犽π［］
３
，
犽∈犣．（２）由已知，得ｓｉｎα＋π（）
４
＝４５ｃｏｓα＋
π（
）
４
（ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２
α），所以ｓｉｎαｃｏｓπ４＋ｃｏｓαｓｉｎπ４＝（
４５ｃｏｓαｃｏｓπ４
－ｓｉｎαｓｉｎπ）
４
（ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２
α）
，即ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝４５
（ｃｏｓα－ｓｉｎα）２
（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）
．当ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝０时，
由α是第二象限角，得α＝３π４＋２犽π，犽∈犣，此时，ｃｏｓα－ｓｉｎα槡
＝－２．当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≠０时，（ｃｏｓα－ｓｉｎα）２
＝５４
．
由α是第二象限角，得ｃｏｓα－ｓｉｎα＜０，此时ｃｏｓα－
ｓｉｎα＝－
槡５２
．综上所述，ｃｏｓα－ｓｉｎα槡＝－２或－槡５２
．点评　关键是利用正余弦函数的单调性解题．
４　考查函数的最值及值域
例７　（２０１４·江西卷）已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ（狓＋θ）＋犪ｃｏｓ（狓＋２θ），其中犪∈犚，θ∈－
π２，π
（
）
２
．
（１）当犪槡＝２，θ＝π４
时，求犳（狓）在区间［０，π］上的最大值与最小值；
（２）若犳π（）
２
＝０，犳（
π）＝１，求犪，θ的值．解：（１）犳（
狓）＝ｓｉｎ狓＋π（）４槡＋２ｃｏｓ狓＋π（）
２
＝槡２２（ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓）槡－２ｓｉｎ狓＝槡２２ｃｏｓ狓－槡２２ｓｉｎ狓＝
ｓｉｎ
π
４
－（）狓．因为狓∈［０，π］
，所以π４
－狓∈－３π４，π［］４
，故犳（
狓）在区间［０，π］上的最大值为槡２２
，最小值为－１．（２）由犳π（）
２＝０，犳（
π）烅烄烆＝１，得ｃｏｓθ（１－２犪ｓｉｎθ）＝０，２犪ｓｉｎ２θ－ｓｉｎθ－犪＝１｛
．又θ∈－π２，π（）
２
，知ｃｏｓθ≠０，所以１－２犪ｓｉｎθ＝０，（２犪ｓｉｎθ－１）ｓｉｎθ－犪＝１｛
，解得犪＝－１，θ＝－
π烅烄烆
６．点评　求三角函数的最值与值域主要是根据定义域，
利用三角函数的有界性确定．５　考查函数的对称性
例８　（２０１４·重庆卷）　已知函数犳（狓）槡＝３ｓｉｎ（ω狓＋φ）ω＞０，－π２≤φ＜π（）
２的图像关于直线狓＝π３
对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（１
）求ω和φ的值；（２）若犳α（）２＝槡３４π６＜α＜２π（）３
，求ｃｏｓα＋３π（）２
的值
．解：（１）因为犳（狓）的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以犳（狓）的最小正周期犜＝π，从而ω＝２π犜
＝
２．又因为犳（狓）
的图像关于直线狓＝π３
对称，所以２×π３＋φ＝犽π＋π２
，犽＝０，±１，±２，…因为－π２≤φ＜π２，所以φ＝－π６
．·
１６·　２０１５年第１期
数学教育研究
点评　本题根据对称轴公式求解．
６　考查函数的图像变换
例９　（２０１４·山东卷）已知向量犪＝（犿，ｃｏｓ２狓），犫
＝（ｓｉｎ２狓，狀），函数犳（狓）＝犪·犫，且狔＝犳（狓）的图像过点π１２，槡（）３和点２π３
，（）
－２．（１）求犿，狀的值；（２）将狔＝犳（狓）的图像向左平移φ（０＜φ＜π
）个单位后得到函数狔＝犵（狓）的图像，若狔＝犵（狓）
图像上各最高点到点（０，３）的距离的最小值为１，求狔＝犵（狓）
的单调递增区间．
解：（１）由题意知，犳（
狓）＝犿ｓｉｎ２狓＋狀ｃｏｓ２狓．因为狔＝犳（狓）的图像过点π１２
，槡（）３和点２π３
，（）
－２，所以槡３＝犿ｓｉｎπ６＋狀ｃｏｓπ６，－２＝犿ｓｉｎ４π３＋狀ｃｏｓ４π烅烄烆３即槡３＋１２犿＋槡３２
狀，－２＝－槡３２犿－１２烅
烄烆狀解得犿槡＝３，狀＝１．
（２）由（１）知犳（狓）槡＝３ｓｉｎ２狓＋ｃｏｓ２狓＝２ｓｉｎ
２狓＋π（）
６
．将狔＝犳（狓）的图像向左平移φ（０＜φ＜π）个单位后得到函数狔＝犵（狓）的图像，则犵（狓）＝犳（狓＋φ）
＝２ｓｉｎ２狓＋２φ＋π（）
６．设狔＝犵（
狓）的图像上符合题意的最高点为（狓０，２）．由题意知，狓２
０＋１＝１，所以狓０＝０，即到点（０，３）的距离为１的最高点为（０，２）．
将其代入狔＝犵（狓）得，ｓｉｎ２φ＋π（）
６＝１．
因为０＜φ＜π，所以φ＝π６
．因此，犵（
狓）＝２ｓｉｎ２狓＋π（）
２＝２ｃｏｓ２狓．由２犽π－π≤２狓≤２犽π，犽∈犣，得犽π－π２
≤狓≤犽π，犽∈犣，所以函数狔＝犵（狓）的单调递增区间为犽π－π
２
，犽［］
π，
犽∈犣．点评　三角函数的图像狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）＋犽变换主要是平移变换和伸缩变换，若先平移后伸缩，把横坐
标变为原来的１ω；
若先伸缩变换再平移，是向左或向右平移φω
个单位，易混淆，易出错．
［责任编校　钱骁勇檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪］
（上接第３５页）
②可视为（
犿，狀），（－３，０）两点斜率的３倍；如图可知犽犃犅＝３，由狀＝犽犃犆（犿＋３）狀＝１２
犿２
烅烄
烆－１，犿２－２犽犃犆犿－２－６犽犃犆＝０，令Δ＝０，犽犃犆槡＝７－３，犽犃犆槡＝－７－３（舍），故３狓狔狓＋狔＋３的范围为［槡３７－９，３］．
评注：此法采用以元换元，虽未减少未知元的数量，但却寻找到了两个整体间的变化联系，转换了解题
思想，
运用解析思想中变化的观点使代数问题能利用图形呈现，以形助数，数形结合，轻松获解．
解法４．整体换元，运用函数与方程的思想
法五：设３狓狔狓＋狔＋３＝犽，３狓狔＝犽（狓＋狔＋３）＝犽（狓＋狔）＋３犽①，又狓２＋狔２＝（狓＋狔）２
－２狓狔＝２②，
将①代入②得：
３（狓＋狔）２
－２犽（狓＋狔）－６犽－６＝０，令狓＋狔＝狋，狋∈［
－２，２］，即：方程３狋２
－２犽狋－６犽－６＝０，狋∈［－２，２］有解③，解得犽＝３狋２
－６２狋＋６，－２≤狋≤２，若③成立，只需犽∈｛犳（狋）｜犳（狋）＝３狋２－６２狋＋６
，－２≤狋≤｝２，由法一知槡３７－９≤３狋２
－６２狋＋６≤３，故３狓狔狓＋狔＋３的范围为［槡３７－９，３］．评注：本题采用整体换元，探寻所求问题在已知条
件中的地位和作用，
运用了函数与方程的思想．改编练习　１．已知实数狓，狔满足狓２＋狔２
＝２，
求３狓狔狓－狔＋３
的范围
．
２．已知实数狓，狔满足狓２＋狔２
＝１，
求狓＋狔２＋狓狔
的最大值．
答案：１．［－３，槡９－３７］２．槡２２５
．
解题反思　分析典型例题的解题过程是学会解题
的有效途径，
从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法．通过一题多解，可使
数学各知识点得到一次有机的大聚会，
它对锻炼我们的发散思维及激发我们对数学学习的兴趣是一次很好的机会．
［责任编校　王　蓓］
·
２６·２０１５年第１期　。