〖人教版〗八年级数学下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈

〖人教版〗八年级数学下册《二次根式》的巩固与提升分专
题例谈
一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.
例
（ ）
A.--
分析
a 0
≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3
a 0-≥，所以a 0≤
=
=-，故选C.
例2.把(a 1- .
分析：(a 1
-1
01a
>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以
a 10-<；所以
()
a 11a
-=-
-=，则
(
a 1-
.
点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数
a
进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.
追踪练习：
1.把下列各式化简：
①
；②
.
；⑤2.
把根号外的因式“移入”根号内：
①.
.
.(x 1
-.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[
)a 0≥有a 00≥≥]巧解题 例1.x y 、6y =-，求1
x y -的值？
分析：根据式子有13x 0
3x 10-≥⎧⎨-≥⎩
，从中可求得x
的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.
略解：根据题意可知：13x 03x 10
-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x
3=；把1
x 3=6y -有：
6y -
，解得：y 6= 所以1
11x y 636183--⎛⎫
=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.
例2.
已知：2
a 12a +=，求2015
1ab 2⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值？
分析：2a 2a 10
-+=()2
a 10
-=，利用非负数的性质可求得a b 、的值.
略解：2a
2a 10-+= ，进一步可得()2
a 10-=
0≥，()2
a 10-≥∴()2
a 10
0⎧-=⎪=∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩
解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩
∴()()
2015
2015
2015
11ab 121
122⎛⎫
⎡
⎤=⨯⨯-
=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
.
例3.
的值？
分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓23a 0-≥，可求得a 0
=.
略解：
23a
0-≥，可得
a 0≤ ；又∵a
0≥∴a 0
= ∴原式
32106++
+=.
点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与
其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决
. 追踪练习：
1.
已知y =
2.已知a 40-+
=,化简并求2222
2
a a
b a ab
b a b +-
+-的值？ 3.
若2m 6m 9
-+xy 的值？
4.
5.已知2014a a -+=，试求2a 2014-的值？
三、逆用
()2
a a 0=≥
即()2
a a 0=
≥巧化简.
例1.
化简： 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥
，∴
,2
2
a b ==
∴
22
a b -=
-
=
,
等，即逆用
()2
a a 0=≥可以巧化简.
略解：
原式
=
(
)
(
)
2222
22⎛⎫-
⎪+⎪⎪
⎭
=
22
⎛⎫+
=ab
+⋅
=
ab
ab
+
+
=
ab ab -
=
=a b
ab
+-
例2.
分析：
本题按常规可以把分母中根号化去，但若用
()2
a
a 0=≥可以进行巧算，更简捷
.
分子分别有
)2
3
1
=
=
，
2
2
253
=
-=-=
.
略解：原式
2
点评：逆用
()2
a a 0=≥
即()2
a a 0=
≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四
两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常
规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用
()
2
a a 0=
≥进行巧算，可以做到快速准确. 追踪练习：
1.
. 2.
化简：
⎫
3.
已知：y
18=
a 计算或化简. 例1.若0m 1<<111m 1m
⎛
⎫+⨯ ⎪+⎝⎭
. 分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的2
2
1m
2m
+-可以借助因式分解的方法化成2
1m m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
a =来可将根号化去.
略解：∵0m 1<<
2111m m m m m m -==-=-=
∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m
1m m 1m m m 11m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪+++
+⎝⎭
. 例2.若a
b c 、、为
ABC 的三边.
分析：a 的部分的正
负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定. 略解：∵a b c 、、为ABC 的三边
∴,,a 0b 0c 0>>>；a b c -<；b c a +>；c b a -<. ∴,,,a b c 0a b c 0b c a 0c b a 0++>--<+->--< ∴原式=a b c a b c b a c c b a +++--+-+--- =a b c a b c b a c c b a ++-+++-++
-- =2a 2b 4c -++
例3.
分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”
的技巧，可以使问题得以解决.
也就是2
532--=
-，此时被开
方数可以化成2
a来可将外层根号化去.
=
点评：a
=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联
姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型
. 《二次根式》一章“几乎所有”
a
=
的这个二次根式的性质.a
=抓住这几个环
节:首先想办法把被开方数写成2
a a；最后根据绝对值的代数意
义[ 即
()
()
a a0
a
a a0
⎧≥
⎪
=⎨
-≤
⎪⎩
] 来化简.
追踪练习：
1.计算：①
(
()
210
1
-
--+；
②
.
2. 实数m n
、如图所示：
请化简
+
3. 1
=
a？
五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简
例.计算：
1.))
20152015
44；
2.(2
1；
3.
.
分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题
逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；
2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然
后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同
．．和互为相反数
．．．．．的特征，利用
平方差公式可以进行简便运算.
略解：
1.原式
)
()()
2
222015
2015
2
444151611
⎡⎤
⎡⎤
=+=-=-=-=-
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
；
2.
原式((
222
1116
⎡
=+=-+-+==-
⎣
3.原式22235
⎡⎡
==-=+-=
⎣⎣
点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个
例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算
过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则
和公式的结构特征；其二.要有整体的思想.
追踪练习：
1.计算：
①.；②.
2
⎝⎭
；③.
2
；④.(2
1；
⑤.))
20152016
22；⑥.(11.
2. .计算：22
-.
六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分
例.已知a是1-b5的小数部分，c abc的
值？
分析：由..,
14014123
<<可得：,,
61575823
-<--<<<<.由此
根据题中的条件可以分别确定题中a b c
、、的值.
略解：∵..,
14014123
<<
∴,,
61575823
-<-<-<<<
∴,,
a5b572c2
=--=
∴())()()()
2
2
abc522522256450
⎡⎤
=-=--+=--=
⎢⎥
⎣⎦
点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范
围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别
要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c
、的
值的确定：,
b572c2
=-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的
小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注
的原因.
追踪练习：
1.若x y
、分别是82
2xy y
-的值？
2.已知a b
、分别为6-2a b
-的值？
3.5+的小数部分是a，5b，求ab5b
+的值？
4.的整数部分为a，小数部分为b，求22
a b
+的值？
5.已知x是6y2的小数部分，z是)12-的整数部分，求
22
x z y z
-的值？
6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若
m n表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n⋅元，你猜
一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华
获得支配权吗？
七、整体代换·巧变求值.
例1. 已知x5y5
=-=+，求22
3x5xy3y
++的值？
1
1-m
n
分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2
223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了.
略解：
∵x 5y 5=-=+
∴(
(
(,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()2
2223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.
已知a b =
2a b +的值.
分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.
略解：
∵a b =
∴(
)(
,22
ab 1
a b 23
2434314==+=
=++=++-=
2a b 1196196
1196195
++=
=-
- 点评：
上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求
的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.
追踪练习：
1.若x 2=-2x 4x 6--的值？
2. 已知：
,11a b 22==，求：①.22a ab b -+的值；②.a b
b a
+的值.
3.
已知：x y y z
-=-
，求222x y z xy xz
yz ++--
-的值？ 八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较
例.
.
分析：
数，若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.
略解：
设m n
==
，则m n =
==
∴m n > ∴11m n
<
点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”
等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用
“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小. 追踪练习： 1.
比较大小：()
--（填“>
”或“<”或 “
=”）
2.
()
（填“>”或“<”或 “=
”）
3.
.
4.设a ＞b ＞c ＞d ＞0
且，x y
z ===
．试比较x 、y 、
z 的大小关系．
九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）
例
1.解x 1+
分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.
略解：
由x 1>+得
x 1>∴(1
x 1>
∵10
∴x =∴x
1
=-例2.
解方程组：2y =
+=
分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.
略解：
①
3y +=
③ ③-
②得：y
=- 将y =
= 解得：x
∴原方程组的解是x
y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性. 追踪练习：
1.
1+
2. 解方程组：1
1
+==
十、几何计算中的二次根式运算或化简 例1.
若一个矩形的的周长为
cm
，一边长为
cm ，求另一边长和此矩形
的面积？
分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积. 略解：
根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：
11111
22222-=⨯⨯=此矩形的面积为：
故矩形
另一边长为(cm
，而矩形的面积为2 例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，
小刚通过观察探究得出如下结论：
①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC
的周长是
③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB
⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.
你认为刚观察的结论正确的序号有 .
解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1
出ABC 的三边长分别为故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算
得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1
AB h 42
⋅=，即
h
4=，解得h =故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.
点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现. 追踪练习：
1.如图在四边形ABCD 中，,,1
AB BC DC BC AE CD BC 4
⊥⊥===求四边形ABCD 的周长和面积？
2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1，DE ⊥AC
于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内 （阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.
3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。