大学物理波动方程和波的能量
大连理工大学《大学物理-力学、振动与波动》课件-第5章
§5惠更斯原理波的衍射波的反射与折射一、惠更斯原理OS 1S 2u ∆tu ∆tS 1S 2在均匀的自由空间波传播时，任一波面上的每一点都可以看作发射子波的点波源，以后任意时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波面。
——波沿直线传播t+∆t 时波面t 时波面t+∆t 时波面S1i 2三、波的反射与折射介质1MN反射波与入射波在同一介质中传播tu MD AN ∆==i容易算出i i '=（n 1）（n 2）A B C DMNi 1i1tu MD ∆1=tu AN ∆2=21u u AN MD =2sin i AD AN =1sin i AD MD =11u c n =22u c n =2211sin sin i n i n =介质2A B C D1122sin sin i u i u =21n =介质2相对于介质1的折射率折射波与入射波在不同介质中传播介质相对于空气的折射率声波—机械纵波一、声压媒质中有声波传播时的压力与无声波传播时的静压力之差纵波—疏密波稀疏区域：实际压力小于静压力，声压为负值稠密区域：实际压力大于静压力，声压为正值§7声波与声强级次声波可闻声超声波声压是仪器所测得的物理量定义声压：p = p -p 0对某声波媒质无声波——静压力p 0 、密度ρ0有声波——压力p 、密度ρ)(Hz ν2020000p+pV+∆V ∆V。
大学物理波动的知识点总结
大学物理波动的知识点总结一、波动的基本概念1.波动的定义波动是一种可以在介质中传播的能量或者信息的方式。
波动既可以是物质的波动，比如水波、声波等，也可以是场的波动，比如电磁波等。
根据波的传播方式和规律，波动可以分为机械波和电磁波。
2.波动的特点波动具有传播性、干涉性、衍射性和波粒二象性等特点。
波动的传播性表明波动能够沿着介质传播，干涉性指波动能够互相叠加，并产生干涉现象，衍射性说明波动能够弯曲传播并产生衍射现象，波粒二象性则是指波动既具有波动特征，也具有粒子特征。
3.波的基本要素波的基本要素包括振幅、频率、波长、波速等。
振幅是波动能量的大小，频率是波动的振动周期，波长是波动在空间中占据的长度，波速是波动在介质中的传播速度。
二、波动方程1.一维波动方程一维波动方程描述了一维波动在空间和时间上的变化规律。
一维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²其中u(x,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x表示空间坐标。
2.二维波动方程二维波动方程描述了二维波动在空间和时间上的变化规律。
二维波动方程的基本形式为：∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中u(x,y,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x和y表示空间坐标。
3.波动方程的解波动方程一般是偏微分方程，其解一般通过分离变量、叠加原理、傅里叶变换等方法求解。
对于特定的边界条件和初始条件，可以得到波动方程的具体解。
三、波动的性质1.反射和折射波动在介质表面的反射和折射是波动的基本性质之一。
反射是波动从介质边界反射回来的现象，折射是波动通过介质界面时改变传播方向的现象。
2.干涉和衍射干涉是波动相遇并相互叠加的现象，衍射是波动通过小孔或者障碍物后产生的弯曲传播的现象。
干涉和衍射都是波动的波动性质。
大学物理 波的能量 惠更斯原理
由于： 由于： 势能
1 dEP = ( ρdV ) A 2ω 2 sin 2 ω (t − x / u ) 2
ρ
1 2 2 2 与动能相同 dEk = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 k=0、±1、±2、…最大， 最大， 当：ω(t-x/u)=(2k+1) ̟/2 最大
ω(t-x/u)=k̟ k=0、±1、±2……最小。 最小。
Ek、EP
同时达到最大 平衡位置处 同时达到最小 最大位移处
6
3.波动的能量
dE = dEk + dEP
= ( ρdV ) A ω sin ω (t别 • 振动能量中 k、EP相互转换，系统机械 振动能量中E 相互转换， 能守恒。 能守恒。 •波动能量中 k、EP同时达到最大，同时 波动能量中E 同时达到最大， 波动能量中 为零，总能量随时间周期变化。 为零，总能量随时间周期变化。
7.3 7.4
波的能量 惠更斯原理
1
一、波的动能、势能和能量 波的动能、
在波传播的过程中， 在波传播的过程中，振源的能量通过弹性介质传 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动， 播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。 波动传播的过程也是能量传递的过程。 波动传播的过程也是能量传递的过程。
1.波动的动能
纵波为例： 以均匀细棒中传播的 纵波为例： 取一体积元 dV， ， 质量为ρdV, 质量为 质元振动速度为v。 质元振动速度为
2
ρdV
dm = ρdV
波函数
y = A cos ω (t − x / u) 质元振动速度 v = ∂y = − Aω sin ω (t − x / u ) ∂t 动能 1 2 dEk = dm v 2 1 2 2 2 = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
物理波的能量
=
3
cos
4πt
(2)以距a点5m处的b点为坐标原 点写出波动方程。
b.
u .a 5m
x
解：(1)以a点为原点在x轴上任取一点P，坐标为x
ya = 3 cos 4πt y =3 cos 4πt +
x
20
(2)以b点为坐标原点
wk
wp
2 A2
sin
2 [ (t
x )] u
平均能量密度（对时间平均)
w 1 T A2 2 sin 2[(t x)]dt
T0
u
w
=
1 2
ρAω2
2
三、波的强度
能流P :单位时间内垂直通过某一截面的 P = w S u 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值
(t+
d u
)
π
2
]
y
=
A cos[ω
(
t
+
d u
x u
)
π
2
]
例6、波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。
{ 写出波动方程。
t= 0 (o点)
得：
y 0
=
2
=
A
2
v0
＞0 0=
π
3
2
o
y(m)
4 5
p
u
x (m)
{ t =0
(p点)
2π
=
y 0
=
0
v0＜ 0
p
0
d
λ
得：
平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S w u 波的强度 I（能流密度）:
波动方程和能量
x u
u
6
dEp
1Y 2
2 A2
u2
sin 2
t
x u
dV
又 u Y Y u2
dEp
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
比较动能
dEk
1 2
2 A2
sin 2
t
x u
dV
结论： 在波动过程中，任一质元的动能和势能 相等，且同相位变化。
7
波的能量
现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）
因棒元x很小，略去 上式中x的高次项，
得纵波的波动方程
2y Y 2y
t 2 x2
1
横波的情形
如图棒元的剪应变为 y ，无限缩小时为 y ，
在 x 处受弹性力为 x
x
f1
GS ( y x
)x
(G剪切模量)
在x+x处所受弹性力
f2
y GS ( x )xx
棒元所受合力
y
y
2 y
f2 f1 GS[( x )xx ( x )x ] GS x2 Δx
。后面我们将直接应用这一结论。8
质元的机械能：
dE
d Ek
d Ep
A2 2
sin 2 t
x dV u
能量密度：单位体积介质中的波动能量。
w d E A2 2 sin 2 t x
dV
u
可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相 邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的 下一个体积元的能量传播过程过程。
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变，
上
下
形变最小
大学物理第二章 行波波动方程
除了取决 t o 外，
还应与质元的位置坐标有关
下面来写出平面简谐波的表达式
假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。
波传播的速度为 u ，方向如图 u
●
o
x
选择平行波线方向的直线为 x 轴。
u
●
o
x
在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），
即应变，则有
K 叫体变弹性模量,它由物质的性质决定,
“－”表示压强的增大总导致体积的减
§2.1 行波
一. 机械波的产生 1. 机械波产生的条件
振源 作机械振动的物体——波源 媒质 传播机械振动的物体 在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。
什么是物质的弹性？
机械振动是如何靠弹性来传播呢？
T
将上式改写
u
表明：波的频率等于单位时间内通过媒质 某一点的“完整波”的个数。
4. 波速 u
振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度
波速的大小决定于媒质的性质，
(1) 固体中的横波
(2) 固体棒中的纵波
u
G
u E
G — 切变模量
E — 杨氏弹性模量 — 体密度
∵G < E, 固体中 ｕ横波 <ｕ纵波
a
2. 表达式也反映了波是振动状态的传播
y( x x，t t) y( x, t)
x ut
y
o●
u
t
ut
●
●
x
x x x
y Acos( t 2 x )
大学物理-波动学2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T
T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的 能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 t 时间内通过垂 直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处 相 位 落 后 2
x
已知O点振动表达式： y
u
y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2
x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处 比 x 0处 相 位 落 后 （x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空 气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在 管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量 解：由公式
y A cos( t 0 2
x)
上式与标准形式的波函数相比 可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)
6.2电磁波的能量
(2 p 2 p 2 p) 1 2 p 0 x2 y2 z2 u2 t 2
或 2 p 1 2 p 0 u2 t 2
其中 2 2 2 2 x2 y2 z2
2 p
1 u2
2 p t 2
0
真空介质中的电磁波波动方程为
2 E
1 c2
2E t 2
0
2
B
1 c2
2B t 2
0
c 1/ 00
S (z)
在电磁场中取长方体，
E
体积 xyz
其中包含的电磁能 为
(we wm )xyz B
在数学上，单位时间内电磁能的减少应等于这个量
对时间偏微商的负值。
于是有
S
(
z
z)
S
(
z)
xy
t
we
wm
xyz
S
(
z
z
)
S
(
z
)
xy
t
we
wm
xyz
S(z
z) z
S(z)
t
we
wm
当 z 0 S
代入
真空中 c 1
1
00
8.85 10 12 4 10 7
3 10 8 m/s 即光速，光是一种电磁波。
类比机械波，可给出电磁波的平面波解
沿正x方向传播的机械波
2 p x2
1 u2
2 p t 2
0
实部 p(t, x)＝pa cos(t kx)
沿正z方向传播的平面电磁波（电场）
E E0 cos(t k r)
T0
T 02
2
1 S 2 en
E0
2
平均能流密度正比于电场振幅的平方。
大学物理知识点总结(振动及波动)
②已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。 1 [例2]已知某质点初速度 v 0 A且y0 0 。 2 v A sin( t ) v0 A si n 1 A 2 5 5 or y0 0 6 6 6
③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。 [例3]已知某质点振动的初位置 y0 0.3 A且 v0 0.95A 。 v0 由tg 的可能值. y0
由旋转矢量法知：
0
4
A
4
y
[例3] 位于 A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹， 相位差为π ,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求: A,B 连线 之间因干涉而静止各点的位置。 解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程 :
y A A cos( t )
A 2.振动曲线法
y
2
-A 3、旋转矢量法：
4
M
t ( s)
A
t
t
o
t0 A p x
简谐运动的合成 1.同方向、同频率的简谐运动的合成：
A2
2
1
A
x1 A1 cost 1
x2 A2 cost 2
仍然是同频率的简谐振动
由y0的正负确定 的值.
注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始 条件确定初相位。 2、已知某质点的振动曲线求初相位： 若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。 关键：确定振动初速度的正负。
y
o
1
2
t
[例4] 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。 求： 1）该质元的振动初相。 2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？ 解：1）由图知初始条件为：
7-1,2,3 波函数和波的能量
拉普拉斯算符
1 2 u t 2
2 2
平面波的波动微分方程
7-3 波的能量
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能 量的传播。
一、波的能量 以一个平面简谐纵波为例来说明 波动媒质中一体积元 V 中的能量
m V
1）体积元的动能
y x v A sin ( t ) t u
y
O
u
y0 A cos( t )
x t u
X
x
x u
p
b. 在波线上任取一点P，p处质点 的振动比原点处质点的振动落后x／v
则t时刻p处质点的振动位移等于 t
的振动位移 时刻O处质点的振动位移
时刻O处质点
x y( x , t ) A cos[( t ) ] u
Y
t=0时
2
yO A cos(t ) 2
x y A cos[( t ) ] u 2 x 0.1 cos[4( t ) ] 2 2
O
2 4
u 2m / s T
例3. 沿x轴传播的平面波,u=5m/s,=2m.原点处质点的振 动曲线如图. 求:波函数，分别作出t=0和t=0.1s时的 波形图 Y y 0.1 cos(x 2 ) Y t=0 0.1
2x0
为x0处质点落后于原点的相位
若x0= 则 x0处质点落后于原点的相位为2
是波在空间上的周期性的标志
同一质点在相邻两时刻的振动相位差 t 2 1 ( t 2 t 1 ) 2 T是波在时间上的 T 周期性的标志 2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) ] u u 表示给定时刻波线上各质 O x1 x2 X 点在同一时刻的位移分布, 即给定了t0 时刻的波形
数学物理中的波动方程与波函数
数学物理中的波动方程与波函数波动方程是数学物理中一种重要的方程，用于描述波动现象的传播和行为。
在波动方程中，波函数是一个关键的概念，用于描述波动的性质和变化。
本文将介绍波动方程和波函数的基本概念、性质和应用。
一、波动方程的基本概念波动方程是一种偏微分方程，用于描述波动现象的传播和行为。
它通常以时间和空间变量为自变量，通过对波函数的求导和求解来描述波动的性质和变化。
波动方程的一般形式可以表示为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波函数，t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算符。
这个方程表示了波函数在时间和空间上的二阶导数之间的关系。
二、波函数的性质和特点波函数是波动方程的解，它描述了波动的性质和变化。
波函数的性质和特点包括以下几个方面：1. 波函数的形式：波函数可以是一维、二维或三维的，具体形式取决于波动方程的维度和边界条件。
常见的波函数形式包括正弦函数、余弦函数、指数函数等。
2. 波函数的振幅：波函数的振幅表示波动的幅度或强度，通常用于描述波动的能量或振动的大小。
振幅可以是实数或复数，取决于波动的性质。
3. 波函数的频率：波函数的频率表示波动的周期性或重复性，通常用于描述波动的频率或振动的频率。
频率可以是连续的或离散的，取决于波动的性质。
4. 波函数的相位：波函数的相位表示波动的相对位置或相对相位，通常用于描述波动的相位差或相位差。
相位可以是实数或复数，取决于波动的性质。
三、波动方程的应用波动方程在数学物理中有广泛的应用，涉及到多个学科和领域。
以下是一些常见的波动方程的应用：1. 声波传播：声波是一种机械波，可以通过波动方程来描述声波的传播和行为。
在声学中，波动方程被用于研究声波的传播速度、频率和振幅等特性。
2. 光波传播：光波是一种电磁波，可以通过波动方程来描述光波的传播和行为。
在光学中，波动方程被用于研究光波的传播速度、频率和振幅等特性。
大学物理10.2 平面简谐波
3. 有一沿 轴正向传播的平面简谐波，在t =0 有一沿x 轴正向传播的平面简谐波， 时的波形图如图中实线所示. 时的波形图如图中实线所示. 问：（1）原 ） 的振动相位是多大？ 点o 的振动相位是多大？（2）如果振幅为 、 ）如果振幅为A、 波速为u 请写出波动方程. 圆频率为ω、波速为 ，请写出波动方程.
x w = ρ A ω sin ω t − u
2 2 2
平均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均能量密度: 平均值. 平均值. 1 x 1 T 2 2 2 = ρ A2ω 2 w = ∫ ρ A ω sin ω t − dt 2 T 0 u 3. 能流密度 为了描述波动过程中能量的传播情况， 为了描述波动过程中能量的传播情况，引 入能流密度的概念. 入能流密度的概念 单位时间内通过垂直于波动传播方向上单 位面积的平均能量，叫做波的平均能流密度 平均能流密度, 位面积的平均能量，叫做波的平均能流密度, 也称之为波的强度 波的强度. 也称之为波的强度.
I0
I
∴I = I0e−ax
o
dx
x
I
I0
o
x
10.2.3 例题分析
1. 一平面简谐波沿 轴的正向传播已知波动方程 一平面简谐波沿x 为 y = 0.02 cos π (25t − 0.1 x )m 求： 1）波的振幅、波长、周期及波速; （ ）波的振幅、波长、周期及波速; （2）质元振动的最大速度; ）质元振动的最大速度; 时的波形图. （3）画出 =1s 时的波形图. ）画出t
2. 波动方程的意义
x y( x , t ) = A cos ω t ∓ u 如果x 给定， 的函数， 如果 给定，则y 是t 的函数，这时波动方程 不同时刻的位移. 表示距原点为x 处的质元在不同时刻的位移 表示距原点为 处的质元在不同时刻的位移.
大学物理 ——波(一)
大学物理 ——波（一）引言概述：波是一种常见的物理现象，在自然界和人类日常生活中都能观察到。
本文旨在介绍大学物理学习中的第一部分——波的基本概念和性质。
通过本文的学习，读者将了解波的定义、波的分类以及波动方程等重要概念，并深入探讨机械波和电磁波的性质以及波的传播规律。
正文：1. 波的概念- 定义：波是一种能量传播的方式，以振动或震动形式传递能量而不传递物质的现象。
- 特点：波具有传播、反射、折射和干涉等特点，能够对物体进行作用。
- 分类：根据振动方向和能量传播方式的不同，波可分为机械波和电磁波两大类。
2. 机械波- 定义：机械波是通过介质（如水、空气等）传播的波动现象。
- 特点：机械波必须依赖介质进行传播，传播速度取决于介质的性质。
- 分类：根据粒子振动方向的不同，机械波可分为横波和纵波两种。
- 性质：机械波具有反射、折射、干涉和衍射等特性。
3. 电磁波- 定义：电磁波是通过电场和磁场相互作用而传播的波动现象。
- 特点：电磁波可以在真空中传播，其传播速度为光速。
- 分类：根据波长和频率的不同，电磁波可分为射线、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。
- 性质：电磁波可以反射、折射、干涉和衍射，并具有波粒二象性。
4. 波动方程- 定义：波动方程是描述波动现象的数学表达式。
- 机械波方程：对于一维机械波，波动方程一般表示为∂²u/∂x ² = (1/v²) * ∂²u/∂t²，其中v为波速。
- 电磁波方程：对于电磁波，波动方程一般表示为∇²E - (1/c²) * ∂²E/∂t² = 0，其中c为光速。
5. 波的传播规律- 原理：波的传播遵循赫兹和惠更斯原理。
- 赫兹原理：根据赫兹原理，波会沿着直线传播，且传播方向垂直于波前。
- 惠更斯原理：根据惠更斯原理，波会在达到障碍物或波前边缘时发生衍射，形成新的波前。
大学物理 第五章 波动
y
u
o
Px
x
O点简谐运动方程：y0 Acos(t 0)
由P 点的振动得到波动表示式：
y( x,
t)
Acos[(t
x u
)
0
]
y
( x, t )
Acos[2 ( t
T
x
)
0
]
沿 x轴正向，波线上
各质点的振动时间和 相位依次超前。
17
2. 波动方程
y Acost x u 0
求 x 、t 的二阶偏导数
移。即表示振动状态的传播，给出波形随时间而变化的
情况。
y
u
A
t 时刻波形
0 t+t 时刻波形
行
x x x x 波
x=u t
23
请指出你认为是对的答案 以波速 u 沿 x 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B
A B
C
D
C
D
(1) A点的速度大于零；
v 振动速度
y t
(2) B点静止不动；
4
u
S
P
x x0
x
x
解： 2
xSP
2
(x
x0
)
S
(t
)
t
3
p (t) S (t)
t
3
2
(x x0)
y( x, t )
Acos[
t
3
2
(x
x0 )]
b点比a点的相位落后：
2 x
重要结论！
19
例:已知
ys
(t
)
A
cos(
t
波的特性与波动方程
波的特性与波动方程波是一种能量以振荡或传播的方式传递的物理现象。
它们可以是机械波，例如通过介质传播的声波或水波，也可以是电磁波，例如光波或无线电波。
波的特性与波动方程密切相关，通过波动方程我们可以描述波的行为和性质。
一、波的特性1. 频率和周期波的频率是指在单位时间内波所振动的次数，通常以赫兹（Hz）来衡量。
而波的周期是指波所振动完成一次周期所需要的时间，周期的倒数即为频率。
频率和周期是波的基本特性，对于同一类型的波，频率越高，周期越短。
2. 波长和波速波长是指波的一个完整振动周期所对应的距离，通常用λ表示，单位是米。
波长与频率成反比，即波长越短，频率越高。
而波速是指波传播的速度，它等于波长乘以频率。
在给定介质中，波速是恒定的，而波长和频率可以相互改变。
3. 幅度和能量传播波的幅度是指波的振动幅度的最大值或偏离平衡位置的最大距离。
幅度与波的能量传播有关，波的振幅越大，能量传播越强。
例如，在水波中，波浪的高度就是波的振幅，波浪越高，能量传播越远。
二、波动方程波动方程是用来描述波的运动和传播的数学公式。
具体形式和解法取决于波的类型和条件。
1. 一维波动方程一维的波动方程通常用于描述沿一条直线传播的波，其一般形式为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波在时刻t和位置x的位移；v是波的传播速度。
这个方程描述了波的传播过程中，位移随时间和位置变化的关系。
2. 二维和三维波动方程二维和三维的波动方程通常用于描述在平面或空间中传播的波，其形式更为复杂。
例如，在二维情况下，波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是波在时刻t和位置(x, y)的位移。
在三维情况下，波动方程还会多出一个偏导数项。
三、波的类型波可以分为多种类型，包括机械波和电磁波。
波动方程波的能量声波
声波的传播特性
声波在介质中传播时，会受到介 质的阻尼作用，导致能量逐渐衰
减。
声波的传播速度与介质的密度和 弹性有关，通常在固体介质中传
播速度较高。
声波在传播过程中会发生折射、 反射和干涉等现象，这些现象会 影响声波的传播路径和能量分布。
声波的能量分布与传播方向
01
声波的能量分布与声波的频率和波形有关，通常高频声波具有 较大的能量密度。
声音传播的预测
声音在介质中传播时，会受到介质的物理性质、温度、压力等因素的影响。为了 准确预测声音传播的轨迹和强度，需要建立声音传播的数学模型，并进行数值模 拟和实验验证。
声音传播的控制
在某些场合，我们需要控制声音的传播方向、强度和频率等参数，以达到特定的 效果。例如，在建筑声学中，通过对建筑结构的特殊设计，可以控制室内声音的 传播；在噪声控制工程中，采用消声器、隔音墙等手段降低噪声的传播。
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03
声波
声波的产生与传播
声波的产生
声波是由物体的振动产生的。当物体振动时，它周围的介质（如空气、水或固体）中的质点会受到挤压，形成密 部，并从周围吸收能量；同时，这些质点会远离中心，形成疏部，并向周围释放能量。这种周期性的挤压和疏散 过程形成了声波。
声波的传播
声波在介质中传播时，会使得介质中的质点按照声波的频率振动。声波的传播速度取决于介质的性质，如温度、 压强和密度等。在标准大气压和室温下，声波在空气中的传播速度约为343米/秒。
声波的性质
声波的频率
声波的频率是指单位时间内质点 振动的次数，单位为赫兹（Hz）。 人耳能听到的声波频率范围大约 在20Hz到20000Hz之间。不同 频率的声波有不同的音调，频率
波动基本概念-波函数-波的能量
波长周期波速
波传播方向
波速
波长 周期 频率 波速
振动状态完全相同的相邻两质点(相邻同相点)之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。
周期的倒数。
, 取决于波源振动频率。
单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。
或
机械波的传播速度完全取决于介质的弹 性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和 介质的密度,亦即决定于这种波在媒质中传 播的机构。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。
波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点 仍在其各自平衡位置附近作振动。
这里波长远大于媒质分子间距离，即假设 弹性媒质是连续的，媒质中一个波长的距离内有 无数分子在陆续振动，宏观上看来媒质就象连续 的一样。如果波长小到等于或小于分子间距离时， 相距约为一波长的两个分子之间，不再存在其它 分子，我们就不能认为媒质是连续的了，这时媒 质就再也不能传播弹性波了。因此有一个频率上 限存在。高度真空中分子间距离极大，不能传播 声波，就是由于这原因。
* 能量密度随时间周期性变化，
其周期为波动周期的一半。T
* 能量密度与振幅平方 A2 、频率平方 2
和质量密度 均成正比。
*任意时刻，体元中动能与势能相等，
即动能与势能同时达到最大或极小。 即同相的随时间变化。这不同于孤 立振动系统。
因为波是能量传播的一种形式
波是能量传播的一种形式
波动的能量与振动能量是有区别的。 孤立振动系统的质元动能最大时， 势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量;
质元的速度
y
u
A sin[(t
大物波函数一般表达式
大物波函数一般表达式
1、简谐振动方程：ξ=Acos(ωt+φ)。
2、波形方程：ξ=Acos(2πx/λ+φ′)。
3、振动能量：E k=mV2/2=Ek E=Ek+Ep=kA2/2 E p=kx2/2=(t)。
4、波动能量：=1222∝AρωA Vρω2A 2 I==2。
5、机械波ν'=V+V R（V R——观察者速度；V s——波源速度）。
6、对光波ν'=C-V r，其中V r指光源与观察者相对速度。
波动方程物理意义
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
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经过 △t 时刻后波以速度 u 向右移动了 u△t
位于x处的质点做简谐振动，时间上比 x=0 点迟
△t=x/u
y
y(x,t)
u△t
·==·A·Ac·c·oo·s·sω·ω·((·tt--·△x··/·ut·)）·······0···x··································X ···
16
例2、对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 u
F
F为绳索或弦线中张力; 为质量线密度
已知： 1.5102 kg / m , F 6N , t=0的波形如图所示
求：振幅，波长，波速和波的周期、波函数及质元振动速度表 达式
由图可见：A=0.04m、λ=0.4m、
u
F
6 1.5102
20m / s
波前—某时刻处在最前面的波面。
在各向同性均匀介质中， 波线与波阵面垂直. 球面波、平面波见右图。
五、波长、波速、频率和周期
波线 波面
波线 波面
先看一个波的传播过程：设振源的振动方程
y=Acos(ωt -π/2)
7
y=Acos(ωt -π/2)
·0 ··4····8····1·2···1·6···20 ···t = 0 ·······u ·····················t = T/4
当振源的初位相不为0时
12
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 ,
T
代入
y
A cos 2 Tt
x
Tu
1
T
y
A
cos2
t
x
y Acos[2t 2x ]
其中2πx/λ表 y 示由于坐标产 ut
··生。··的···位··相···滞···后·······0···x··································X ···
2.已知各物理量求波函数
14
例1：已知波函数
y 2 10 3 cos(400t 20x ) m
求：A、、、u。x=1m处质元的速度，加速度？
解：由公式易见 A=2×10-3m
再由
ω=2πν=400π 得 ν=200Hz
将上式改写为
y
2
10
3
cos 400
t
x 20
m
得： u=20m/s
由 =uT=u/ ν=20/200=0.1m
10
4.振动与波动的区别 振动是表示一个质点的运动。
波动是表示一系列质点按照确定的规律依次作的振 动运动。 5.判断质点振动方向
u△t
t后的波形图
传播方向
11
七：平面简谐波的波函数
和简谐振动类似，可以用数学公式来描述波的传播。
该公式应体现波传播到的任意位置，在任意时刻的振
动。
y=f(x,t)
设 ：振源在原点,振动方程为 y(0,t)=Acosωt
波速—u:单位时间振动状态(或振动相位)所传播的距 离称为波速，也称之相速 。
频率—ν：单位时间内质点振动的次数。ν=1/T
波的周期——T：波传过一个波长的时间，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间叫做波的周 期T。
由上面的定义得： uT= λ
(1)
u= νλ
(2)
波在介质中的传播速度是由介质的性质决定的，可以
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0
y
0.04m
u
X
0.2m 0.4m
初位相为 φ= -π/2
y Acos(2 t 2x ) T 2
4102 cos(100t 5x
2)m 17
因为：v
y
y(x,t)
t
A
s in[ (t
x u
)
0]
所以 v y y(x,t) 12.6cos(100t 5x)(m / s)
证明：
9
在固体中 横波 u G /
纵波 u Y /
G 切变弹性模量， Y 是杨氏模量
•液体和气体中 纵波 u B /
B 容变弹性模量。
密度。
六、 注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
速度和加速度的公式如下：
v y A sin(t 2x / )
15
t
代入相应的量
v 2103 400 sin(400t 20x)
加速度为：
a v 2103 (400 )2 cos(400t 20x)
t x=1m代入得
v 0.8 sin 400t(m / s) a 320 2 cos(400t)(m / s2 )
13
上面的式子表示沿 x 轴正向传播的波，当波沿负 x 轴方向传播时 u 取负值。
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
y
A c os2
t T
x
y
A c os2
t
x
y Acos[t 2x ]
上面的式子表示一个平面等幅波的运动方程。
这种波也称为行波
举例：1.已知波函数求各物理量
1、横波：各质点振动方 向与波的传播方向垂直。
传播方向
4
2.纵波
各质点振动方向与波的 传播方向平行。
传播方向
纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波 为纵波。
播放动画
5
6
四、波阵面、波射线、波前
波面（或相面、波阵面） —某时刻介质内振动位相相同的点组成的面
称为波面。
波线（或波射线) —由波源发出的，指向波的传播方向的射 线称之为波射线或波线。
2
一、机械波
机械振动在弹性介质中传播形成机械波。 1、简谐波 简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波。 各种复杂的波都可以由不同频率的简谐波叠加获得。
2.简谐波的特点 各质点只在各自的平衡位置附近振动； 各质点振动频率相同，只是初相不同，波的传播是位 相的传播。
3
二、机械波的产生条件 1、振源 2、传播介质（弹性） 三、波的分类
第五章
§5.4波动
1
2-1、波动学基础
波动是自然界最常见的一种运动形式。例如 机械波：水波、声波、地震波。其传播需要有介质。 电磁波：无线电波、光波、x射线等，即物质 波。
各种波性质不同，但又有共性。可以传递能量，可以 产生干涉、衍射等现象。以有限的速率传播。
························t= T/2 ··························t= 3T/4 ·························t = T
8
波长—λ:振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距 离是一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称 为波长，用λ表示。