误差理论与数据处理--课后答案

《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案
第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o
00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于： 相对误差等于：
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最
大相对误差。

%
108.66 %
1002.31
1020 100%
max
max 4-6
-⨯=⨯⨯=⨯=
测得值
绝对误差相对误差
1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解：
依题意，该电压表的示值误差为 2V
由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。

1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差
L 1:50mm 0.008%100%5050
004.501=⨯-=
I L 2:80mm 0.0075%100%80
80
006.802=⨯-=
I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?
21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈='
''
'''⨯⨯''=''＝o
解：
多级火箭的相对误差为：
射手的相对误差为：
多级火箭的射击精度高。

第二章 误差的基本性质与处理
2－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

解：
)(49.1685
5
1
m A I
I i i
==
∑=
08.01
5)
(5
1
=--=
∑=i I Ii σ
05.008.03
2
1
5)
(3
25
1
=⨯=
--≈
∑=i I Ii ρ 06.008.05
4
1
5)
(5
45
1
=⨯=
--≈
∑=i I Ii θ 2—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。

解：
求算术平均值
求单次测量的标准差
%001.000001.010000
1
.0==%002.00002.05001.0501===m
m
m cm mm
n
l x n
i i
0015.201==∑
=mm
v n
i i 481
2
1055.21026--=⨯=⨯=
=
∑
σ
求算术平均值的标准差 确定测量的极限误差
因n ＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t 分布处理。

现自由度为：ν＝n －1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：ta ＝4.60 极限误差为
写出最后测量结果
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t 2.58=
lim x t
n
σ
δ=±
2.580.004
2.064
0.005
4.265
n n n ⨯=
===取
即要达题意要求，必须至少测量5次。

2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有
0015.0≤±=±n
t
t x σ
σ
根据题目给定得已知条件，有
5.1001
.00015
.0=≤
n
t
查教材附录表3有
若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，
mm
n x 44
1014.151055.2--⨯⨯==＝σσmm
t x x 44lim 1024.51014.160.4--⨯=⨯⨯±=±=σδα()mm
x x L 4
lim 1024.50015.20-⨯±=+=δ
24.1236
.278
.25
78.2==
=
n
t 若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，
59.12
18
.34
18.3==
=
n
t 即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288
1
8
1Pa p
x
p x i i
i i
i ==
∑∑==
)(95.86)18(8
1
8
1
2
Pa p v
p i i
i xi i x ≈-=
∑∑==σ
2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'''= α，''24'13242 =α，其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441
:
1
:2
2
2
1
21==
σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324
=+⨯+⨯+
=x
''0.3961
1904419044
''1.32
1
≈+⨯
==∑=i i
i
x
x p
p i
σσ
2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：
;5127,0227,5327,037,0227:''''''''''''''' 甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:''''''''''''''' 乙α
试求其测量结果。

甲：20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=+=甲
5
2
1
51
i
i v
σ=++++=
=
-∑22222
甲（-10"）（30"）5"（-10"）（-15"）4
18.4"= x 18.4"
8.23"5
5
σσ=
=
=甲
甲 乙：25"25"20"50"45"
72'72'33"5
x ++++=+
=乙
5
2
1
1351i
i v
σ=++-++=
=
-∑22222
乙（-8"）（-8"）（"）（17"）（12"）
4 13.5"=
x 13.5"
6.04"5
5
σσ==
=乙
乙 22
22
x x
1
1
11
::
:3648:67738.23 6.04
p p σσ=
=
=乙
乙甲甲 364830"677333"
72'36486773
p x p x x p p +⨯+⨯=
=+++甲乙乙甲乙甲72'32"=
78.46773
36483648
32.8''=+⨯
''=+=乙
甲甲甲
p p p x x σσ
''15''32'273±=±= x x X σ
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2/811
.9s m 、标准差为2/014.0s m 。

另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为2/022.0s m 。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量的平
均值和标准差。

147:24230022.01:
20014.011
:
1
:2
2
22
2122
2
1=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=
x x p p σ
σ
)/(9.808147
2429.802
1479.8112242s m x ≈+⨯+⨯=
）
（2m/s 0.0025147242242
20
014.0≈+⨯=
x σ 2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，
14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

96.14=x
按贝塞尔公式 2633.01=σ
按别捷尔斯法0.2642)
110(10253.110
1
i 2≈-⨯
=∑=i
v
σ
由
u +=112σσ 得 0034.011
2=-=σσ
u 67.01
2
=-<
n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法：
排序：
序号 1 2 3 4 5 第一组
第二组 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 序号 6
7
8 9
10
第一组 50.82 50.83 50.87 50.89 第二组
50.85
T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14=-T 30=+T
+>T T 所以两组间存在系差
2－21 对某量进行两组测量，测得数据如下：
x i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 y i 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。

解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 0.62 0.86
1.13 1.13 1.16 1.18 1.20
y i 0.99
1.12
1.21
T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x i 1.21 1.22
1.30
1.34
1.39 1.41 y i 1.25
1.31
1.31
1.38
T 21 22 23 24 25 26 27 28 x i
1.57
y i
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
现n x ＝14，n y ＝14，取x i 的数据计算T ，得T ＝154。

由
203)2)1((
211=++=n n n a ；474)12
)
1((2121=++=n n n n σ求出：
1.0-=-=σ
a
T t
现取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。

由于αt t ≤，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差的合成与分配
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，
mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，
mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，
mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =
2.115.446.1610⨯⨯==abc V )(44.805413mm =
体积V 系统误差V ∆为：
c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆
)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=
立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=
2
22222lim )()()(
c b a V c
f b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 2
22
22
2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±=
)(11.37293mm ±= 测量体积最后结果表示为:
V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=
3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、
σ 3 。

试求体积的标准差。

解：
长方体的体积计算公式为：321a a a V ⋅⋅= 体积的标准差应为：2
323
22222121)()()(
σσσσa V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=
现可求出：
321a a a V ⋅=∂∂；312a a a V ⋅=∂∂；213
a a a V
⋅=∂∂ 若：σσσσ===321 则有：2
3
2221232322222121)()()()()()(
a V a V a V a V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=
σσσσσ 221231232)()()(a a a a a a ++=σ
若：321σσσ≠≠
则有：2
32212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=
3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为
mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

UI P =5.226.12⨯=)(5.283mw =
),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ
I u I U P I
f U f I f U f σσσσσ))((2)()(2
222∂∂∂∂+∂∂+∂∂= I U I U U I I
f
U f σσσσ+=∂∂+∂∂=
5.06.121.05.22⨯+⨯= )(55.8mw =
3—12 按公式V=πr 2
h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
3222.25120214.3cm h r V =⨯⨯=⋅⋅=π
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
%1=V
σ
即51.2%12.251%1=⨯=⋅=V σ 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
cm hr
r V r 007.021
41.151.2/12==∂∂=
πσ
σ
测定h 的误差应为：
cm r h V h 142.01
41.151.2/12
2
=⋅=∂∂=
πσ
σ 3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g )为428.6，429.2，426.5，430.8。

已知测量的已定系统误差,6.2g -=∆测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

4
8.4305.4262.4296.428+++=
x
序号
极限误差／g
误差传递系数
随机误差 未定系统误差
1 2 3 4 5 6 7 8
2.1 － － － 4.5 － 1.0 －
－ 1.5 1.0 0.5 － 2.2 － 1.8
1 1 1 1 1 1.4 2.
2 1
)(8.428)(775.428g g ≈=
最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=∆-=
∑∑==∂∂+∂∂±=31222
2
5
1)(41)(i i i i i i
x x f e x f δδ
)(9.4g ±≈
测量结果表示为:x x x δ+∆-=g )9.44.431(±=
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为r ，若重复10次测量得r ±σr =(3.132±0.005)cm ，试求该圆球
最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为：r D ⋅=π2
其标准不确定度应为：()22
2
22
2
005.014159.342⨯⨯==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r r r D u σπσ
＝0.0314cm
确定包含因子。

查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U ＝Ku ＝3.25×0.0314＝0.102
②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：33
4
r V ⋅⋅=
π 其标准不确定度应为：
()616.0005.0132.314159.3164242
2
2
22
2
=⨯⨯⨯=⋅⋅=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=r
r r r V u σ
πσ
确定包含因子。

查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U ＝Ku ＝3.25×0.616＝2.002
4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C 时为
Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一
类评定的不确定度。

由校准证书说明给定
∴属于B 类评定的不确定度
R 在[10.000742Ω-129μΩ，10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为99%，
不为100%
∴不属于均匀分布，属于正态分布 129a =当p=99%时， 2.58p K = ∴12950()2.58
R p a U K μ=
==Ω 4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：140l mm =， 210l mm =，
3 2.5l mm =，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±（取置信概率P=99.73%的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。

52.5L mm = 140l mm = 210l mm =
3 2.5l mm =
123L l l l ∴=++ 99.73%p = 3p K ∴=
10.450.15()3l p a U m k μ=
== 20.30
0.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3
l p a U m k μ=
== 321l l l L U U U U ++= 2220.150.100.08=++
0.20()m μ=
4—6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过±(14×10-6读数+1×10-6×量程)V，相对标准差为20％，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标准不确定度；设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量，得观测值的平均值为0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。

第五章 线性参数的最小二乘法处理
5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差
方程为123
2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪
=--⎨⎪=--⎩
列正规方程11121111
212221
11n
n n
i i i i i i i i i n n n
i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得 14513.4
514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩
⎨
⎧==015.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123
2.9(30.9620.015)0.001
0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪
=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩
测量数据的标准差为3
221
1
0.03832
n
i
i
i i v
v
n t
σ===
=
=--∑∑
求解不定乘数 11
1221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦111211122122212214515140
1450
5141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩
解得 082.02211==d d
x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ
5-7不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3
x y p x y p x y p -=-=⎧⎪
+==⎨⎪-==⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223
35.6(3),1
8.1(4),20.5(2),3
v x y p v x y p v x y p =---=⎧⎪
=-+=⎨⎪=--=⎩
正规方程为3
33
11121111
333
212221
11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑ 代入数据得
4562.2
1431.5x y x y -=⎧⎨
-+=⎩解得 ⎩
⎨⎧==352.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得⎪⎩⎪
⎨⎧-===016.0012.0022
.03
21v v v
则测量数据单位权标准差为039.02
33
1
2
=-=
∑=i i
i v
p σ
求解不定乘数 11
122122d d d d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦1112111221222122451
140
450
141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩
解得 ⎩⎨⎧==072.0022
.022
11d d
x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ
第六章 回 归 分 析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

对某种材料试验的数据如下：
正应力 x/Pa
26.8
25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度 y/Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 正应力 x/Pa
24.7
28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 抗剪强度 y/Pa 26.3
22.5 21.7
21.4
25.8 24.9
假设正应力的数值是正确的，求
（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ （1）设一元线形回归方程 bx b y +=∧
0 12=N
⎪⎩⎪
⎨⎧-==x b y b l l b xx xy 0
047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69.0047
.43533
.29-=-=
=
xx
xy l l b ()x y
b y x 69.069.42ˆ69.4297.2569.077.2477
.242.29712197.256.31112
1
0-==⨯--=∴=⨯==⨯=
（2）当X=24.5Pa
)(79.255.2469.069.42ˆPa y
=⨯-=
6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线x y ab =表示。

x
30
35
40
45
50
55 60 y -0.4786 -2.188 -11.22 -45.71 -208.9
-870.9
-3802
()x b a y ab y x log )log()log(+-=-⇒= )l o g (1y Z -= x Z =2
取点做下表
Z 2 30 40 50 60 Z 1
-0.32
1.05
2.32
3.58
以Z 1与Z 2画图
所得到图形为一条直线，故选用函数类型x ab y =合适。