高中数学 1.3 中国古代数学中的算法案例同步课件 新人教B版必修3
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第三十五页，共38页。
规律技巧 利用秦九韶算法算多项式的值，关键是正确的 将多项式改写，然后由里向外进行计算，由于计算过程中后面 用前面的结果，故应认真、细心，确保中间结果正确.
第三十六页，共38页。
变式训练3 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3 ＋2x2＋x＋1，当x＝2时的值的过程中，要经________次乘法 运算和________次加法运算．
第二十八页，共38页。
解 用辗转相除法： 1995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57＋0. 所以57就是228和1995的最大公约数． 用更相减损之术验证： 1995－288＝1767,1767－288＝1539,1539－228＝ 1311,1311－228＝1083,1083－228＝855,855－228＝627,627－ 228＝399,399－228＝171,228－171＝57,171－57＝114,114－57 ＝57. 则57就是228和1995的最大公约数．
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区别：①计算上辗转相除法以除法以主，更相减损之术以 减法为主．
②在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当 两个数大小差别较大时计算次数的区别较明显．
③从结果输出的时候看，辗转相除法当余数为 0 时输出除 数，更相减损之术当差和减数相等时输出差．
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2．割圆术 割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆 周率 π 的一种算法． 若设圆的半径为 1，面积为 S，圆的内接正多边形面积为 Sn，边长为 xn，边心距为 hn. 则 hn＝ 1－x2n2， S2n＝Sn＋n·12xn(1－hn)，
解析 ∵(225,150)→(75,150)→(75,75)， ∴225 与 150 的最大公约数为 75. 答案 D
第十二页，共38页。
2．用更相减损之术求 294 与 84 的最大公约数时，需要做 的减法次数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
第十三页，共38页。
解析 ∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)， ∴需要做的减法次数为 4 次．
第三十七页，共38页。
解析 利用秦九韶算法求P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋ a0的过程中的计算量为：乘法n次，加法n次．故在计算f(x)＝ 5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，当x＝2时的值的过程中，需要做5 次乘法，5次加法．
答案 5 5
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二十一页，共38页。
x2n＝ x2n2＋1－hn2. 由此可得到圆周率不足近似值为 S2n，过剩近似值为 S2n＋ (S2n－Sn)．
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3．秦九韶算法的优点 这种算法一共做了n次乘法，n次减法，与直接计算相比大 大节省了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单．大 家是否知道，在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、 减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速 度，另外，这种算法还避免了对自变量x单独做幂的计算，而 是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.
第一章 算法初步
第一页，共38页。
§1.3 中国古代数学中的算法案例
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共38页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第三页，共38页。
学习目标 1.理解三种算法的原理及应用． 2．了解三种算法的框图的表示及程序． 3．会用秦九韶算法求多项式的值.
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课前预习 1.求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法)： 用两数中较大的数减去较小的数，再用 差数和较小数 构成 新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直 到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．
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(2)用“等值算法”求最大公约数的程序：
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2．割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积的算法计算圆周率 的近似值．
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3．秦九韶算法
(1)把一元 n 次多项式 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 改 写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
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例2 求1356和2400的最小公倍数．
剖析
求1356与2400 的最大公约数
→
1356与2400的积 除以最大公约数
→
1356与2400 的最小公倍数
第三十页，共38页。
解析 2400＝1356×1＋1044 1356＝1044×1＋312 1044＝312×3＋108 312＝108×2＋96 108＝96×1＋12 96＝12×8 ∴1356与2400的最大公约数为12. 则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.
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4．割圆术是我国古代求________的一种算法( )
A．圆的周长 B．圆的面积
C．圆周率
D．圆的半径
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解析 割圆术是采用正多边形逐渐逼近圆的面积的方法计 算圆周率 π 的方法．故选 C.
答案 C
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重点突破 1.辗转相除法(欧几里德算法) (1)用较大的数除以较小的数，所得余数和较小的数构成新 的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这个较 小的数就是最大公约数． (2)辗转相除法与更相减损之术的区别与联系 联系：辗转相除法与更相减损之术都是求最大公约数的方 法．
第三十三页，共38页。
例3 用秦九韶算法求f(x)＝0.12x4＋0.05x3－0.2x2＋0.62x＋ 0.48当x＝10时的值．
剖析 根据秦九韶算法，可以把f(x)化为 f(x)＝(((0.12x＋0.05)x－0.2)x＋0.62)x＋0.48. 然后由里向外一层一层运算．
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第二十三页，共38页。
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 求140与76的最大公约数． 剖析 利用更相减损之术和辗转相除法．
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解析 解法1：利用更相减损之术 (140,76)→(64,76)→(64,12)→(52,12)→(40,12)→(28,12)→(1 6,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)． ∴140与76的最大公约数为4. 解法2：利用辗转相除法． (140,76)→(64,76)→(64,12)→(4,12) ∴140与76的最大公约数为4.
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
令 vk＝ (…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k
，
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则递推公式为vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k， 其中 k＝1,2，…，n. (2)计算 P(x0)的方法： 先计算 最内层的括号 ，然后 由内向外 逐层计算，直到 最外层括号 ，然后加上 常数项 .
第三十一页，共38页。
规律技巧 如何求两个数的最小公倍数 求两个数的最小 公倍数，可先求这两个数的最大公约数，再用这两数乘积除以 最大公约数，商即为这两个数的最小公倍数.
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变式训练2 求375,85两数的最小公倍数． 解 先求最大公约数． 375＝85×4＋35， 85＝35×2＋15， 35＝15×2＋5， 15＝5×3， ∴375与85的最大公约数是5， ∴375与85的最小公倍数是(375×85)÷5＝6375.
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思考探究 当所给的多项式按 x 的降幕排列“缺项”时，用秦九韶算 法改写多项式时，应注意什么？ 提示 所缺的项写成系数为零的形式，即写成 0·xn 的形式.
第十页，共38页。
课前热身
1.225 与 150 的最大公约数为( )
A．15
B．30
C．45
D．75
第十一页，共38页。
解析 f(x)＝(((0.12x＋0.05)x－0.2)x＋0.62)x＋0.48. 当x＝10时， v0＝0.12， v1＝v0x＋0.05＝0.12×10＋0.05＝1.25， v2＝v1x－0.2＝1.25×10－0.2＝12.3， v3＝v2x＋0.62＝12.3×10＋0.62＝123.62， v4＝v3x＋0.48＝123.62×10＋0.48＝1236.68. 所以当x＝10时，多项式的值为1236.68.
答案 B
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3．用秦九韶算法求 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x， 当 x＝3 时的值时，v2 的值为( )
A．27 B．86 C．66 D．262
第十五页，共38页。
解析 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x， v0＝7， v1＝7×3＋6＝27， v2＝27×3＋5＝86.故选 B. 答案 B
第二十六页，共38页。
规律技巧 用等值算法更相减损之术求两个数的最大公 约数时，当大数减小数的差恰好等于小数时停止算法，这时的 小数或差即为所求最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大 公约数时，当大数除以小数的余数能整除这个小数时停止算 法，这个余数即为所求数的最大公约数.
第二十七页，共38页。
变式训练1 用辗转相除法求288和1995的最大公约数，并 用更相减损之术进行检验．
规律技巧 利用秦九韶算法算多项式的值，关键是正确的 将多项式改写，然后由里向外进行计算，由于计算过程中后面 用前面的结果，故应认真、细心，确保中间结果正确.
第三十六页，共38页。
变式训练3 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3 ＋2x2＋x＋1，当x＝2时的值的过程中，要经________次乘法 运算和________次加法运算．
第二十八页，共38页。
解 用辗转相除法： 1995＝8×228＋171,228＝1×171＋57,171＝3×57＋0. 所以57就是228和1995的最大公约数． 用更相减损之术验证： 1995－288＝1767,1767－288＝1539,1539－228＝ 1311,1311－228＝1083,1083－228＝855,855－228＝627,627－ 228＝399,399－228＝171,228－171＝57,171－57＝114,114－57 ＝57. 则57就是228和1995的最大公约数．
第十九页，共38页。
区别：①计算上辗转相除法以除法以主，更相减损之术以 减法为主．
②在计算次数上，辗转相除法计算次数相对较少，特别当 两个数大小差别较大时计算次数的区别较明显．
③从结果输出的时候看，辗转相除法当余数为 0 时输出除 数，更相减损之术当差和减数相等时输出差．
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2．割圆术 割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆 周率 π 的一种算法． 若设圆的半径为 1，面积为 S，圆的内接正多边形面积为 Sn，边长为 xn，边心距为 hn. 则 hn＝ 1－x2n2， S2n＝Sn＋n·12xn(1－hn)，
解析 ∵(225,150)→(75,150)→(75,75)， ∴225 与 150 的最大公约数为 75. 答案 D
第十二页，共38页。
2．用更相减损之术求 294 与 84 的最大公约数时，需要做 的减法次数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
第十三页，共38页。
解析 ∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)， ∴需要做的减法次数为 4 次．
第三十七页，共38页。
解析 利用秦九韶算法求P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋ a0的过程中的计算量为：乘法n次，加法n次．故在计算f(x)＝ 5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，当x＝2时的值的过程中，需要做5 次乘法，5次加法．
答案 5 5
第三十八页，共38页。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第二十一页，共38页。
x2n＝ x2n2＋1－hn2. 由此可得到圆周率不足近似值为 S2n，过剩近似值为 S2n＋ (S2n－Sn)．
第二十二页，共38页。
3．秦九韶算法的优点 这种算法一共做了n次乘法，n次减法，与直接计算相比大 大节省了乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单．大 家是否知道，在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、 减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速 度，另外，这种算法还避免了对自变量x单独做幂的计算，而 是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度.
第一章 算法初步
第一页，共38页。
§1.3 中国古代数学中的算法案例
课前预习目标
课堂互动探究
第二页，共38页。
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
第三页，共38页。
学习目标 1.理解三种算法的原理及应用． 2．了解三种算法的框图的表示及程序． 3．会用秦九韶算法求多项式的值.
第四页，共38页。
课前预习 1.求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法)： 用两数中较大的数减去较小的数，再用 差数和较小数 构成 新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直 到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数．
第五页，共38页。
(2)用“等值算法”求最大公约数的程序：
第六页，共38页。
2．割圆术 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积的算法计算圆周率 的近似值．
第七页，共38页。
3．秦九韶算法
(1)把一元 n 次多项式 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 改 写为
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
第二十九页，共38页。
例2 求1356和2400的最小公倍数．
剖析
求1356与2400 的最大公约数
→
1356与2400的积 除以最大公约数
→
1356与2400 的最小公倍数
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解析 2400＝1356×1＋1044 1356＝1044×1＋312 1044＝312×3＋108 312＝108×2＋96 108＝96×1＋12 96＝12×8 ∴1356与2400的最大公约数为12. 则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.
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4．割圆术是我国古代求________的一种算法( )
A．圆的周长 B．圆的面积
C．圆周率
D．圆的半径
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解析 割圆术是采用正多边形逐渐逼近圆的面积的方法计 算圆周率 π 的方法．故选 C.
答案 C
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重点突破 1.辗转相除法(欧几里德算法) (1)用较大的数除以较小的数，所得余数和较小的数构成新 的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这个较 小的数就是最大公约数． (2)辗转相除法与更相减损之术的区别与联系 联系：辗转相除法与更相减损之术都是求最大公约数的方 法．
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例3 用秦九韶算法求f(x)＝0.12x4＋0.05x3－0.2x2＋0.62x＋ 0.48当x＝10时的值．
剖析 根据秦九韶算法，可以把f(x)化为 f(x)＝(((0.12x＋0.05)x－0.2)x＋0.62)x＋0.48. 然后由里向外一层一层运算．
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 求140与76的最大公约数． 剖析 利用更相减损之术和辗转相除法．
第二十五页，共38页。
解析 解法1：利用更相减损之术 (140,76)→(64,76)→(64,12)→(52,12)→(40,12)→(28,12)→(1 6,12)→(4,12)→(4,8)→(4,4)． ∴140与76的最大公约数为4. 解法2：利用辗转相除法． (140,76)→(64,76)→(64,12)→(4,12) ∴140与76的最大公约数为4.
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
令 vk＝ (…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k
，
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则递推公式为vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k， 其中 k＝1,2，…，n. (2)计算 P(x0)的方法： 先计算 最内层的括号 ，然后 由内向外 逐层计算，直到 最外层括号 ，然后加上 常数项 .
第三十一页，共38页。
规律技巧 如何求两个数的最小公倍数 求两个数的最小 公倍数，可先求这两个数的最大公约数，再用这两数乘积除以 最大公约数，商即为这两个数的最小公倍数.
第三十二页，共38页。
变式训练2 求375,85两数的最小公倍数． 解 先求最大公约数． 375＝85×4＋35， 85＝35×2＋15， 35＝15×2＋5， 15＝5×3， ∴375与85的最大公约数是5， ∴375与85的最小公倍数是(375×85)÷5＝6375.
第九页，共38页。
思考探究 当所给的多项式按 x 的降幕排列“缺项”时，用秦九韶算 法改写多项式时，应注意什么？ 提示 所缺的项写成系数为零的形式，即写成 0·xn 的形式.
第十页，共38页。
课前热身
1.225 与 150 的最大公约数为( )
A．15
B．30
C．45
D．75
第十一页，共38页。
解析 f(x)＝(((0.12x＋0.05)x－0.2)x＋0.62)x＋0.48. 当x＝10时， v0＝0.12， v1＝v0x＋0.05＝0.12×10＋0.05＝1.25， v2＝v1x－0.2＝1.25×10－0.2＝12.3， v3＝v2x＋0.62＝12.3×10＋0.62＝123.62， v4＝v3x＋0.48＝123.62×10＋0.48＝1236.68. 所以当x＝10时，多项式的值为1236.68.
答案 B
第十四页，共38页。
3．用秦九韶算法求 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x， 当 x＝3 时的值时，v2 的值为( )
A．27 B．86 C．66 D．262
第十五页，共38页。
解析 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x， v0＝7， v1＝7×3＋6＝27， v2＝27×3＋5＝86.故选 B. 答案 B
第二十六页，共38页。
规律技巧 用等值算法更相减损之术求两个数的最大公 约数时，当大数减小数的差恰好等于小数时停止算法，这时的 小数或差即为所求最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大 公约数时，当大数除以小数的余数能整除这个小数时停止算 法，这个余数即为所求数的最大公约数.
第二十七页，共38页。
变式训练1 用辗转相除法求288和1995的最大公约数，并 用更相减损之术进行检验．