2024年江苏南通市崇川区、如皋市九年级中考二模数学试题

2024年初中毕业、升学模拟考试试卷
数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．在4−，3−，2−，1−四个数中，比2−大的数是（ ） A ．4−
B ．3−
C ．2−
D ．1−
2．据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约400000米的中国空间站——“天宫”．数400000用科学记数法表示为（ ） A ．60.410×
B ．5410×
C ．44010×
D ．6410×
3．下列几何体中，三视图都是圆的是（ ） A ．圆柱
B ．圆锥
C ．球
D ．正方体
4．下列运算正确的是（ ） A ．633a a a ÷=
B ．32a a a −=
C ．326a a a ⋅=
D ．2332()()a a −=−
5．下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A ．了解某班学生的视力情况 B ．调查某批次汽车的抗撞击能力
C ．调查江苏省老年人2023年的日均锻炼时间
D ．某鞋厂生产的一批鞋底能承受弯折的次数
6．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．90B E ∠=
∠=°，30C ∠=°，45F ∠=°，//ED AB ，则FDC ∠的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．75°
D ．80°
7．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
ABC ），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A ，B ，E 在同一水平线
上，90ABC AEF ∠=∠=°，AF 与BC 相交于点D ．测得60cm AB =，20cm BD =，9m AE =，则树高EF 是（ ）
A ．2.5m
B ．3m
C ．4.5m
D ．5m
8．已知(,)A a b ，(,)B b c ，将线段AB 平移得到线段CD ，其中，点A 的对应点为点C ，若
(2,)C a n +，(,3)D m c −，则m n −的值为（ ）
A ．1−
B ．1
C ．5−
D ．5
9．如图，在菱形ABCD 中，B α∠=
，点P 是AB 上一点（不与端点重合），点A 关于直线DP 的对称点为E ，连接AE ，CE ，则AEC ∠的度数为（ ）
A ．1
603
α°+
B ．11653
α°−
C ．1452
α°+
D ．11802
α°−
10．定义：如果两个实数m ，n 满足
11
1m n
+=，则称m ，n 为一对“互助数”
．已知a ，b 为实数，且a b +，a b −是一对“互助数”．若223a b p −=−，则p 的值可以为（ ）
A ．
152 B ．6 C ．9
2
D ．3 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，
不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：22363mx mxy my ++=____________．
12．若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为____________． 13．计算：2sin 603tan30°−°=____________．
14．若a ，b 为连续整数，且a b <
<，则a b +=____________．
15．如图，在ABC △中，AB AC =，42A ∠=°，分别以点A ，B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于M ，N 两点，画直线MN 交AC 于点E ，连接BE ，则EBC ∠的度数为____________°．
16．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为x 步，则依题意列方程为____________． 17．如图，AOBC □的顶点A 在反比例函数m
y x
=的图象上，顶点B 在x 轴的负半轴上，点E 为边BC 的中点，若反比例函数n
y x
=
的图象经过点C ，E ，则m 与n 的关系为____________．
18．如图，在四边形ABCD 中，BC BD ⊥，2BC =，4BD =．作AM BD ⊥，垂足为点M ，连接
CM ，若3AM =，则CM AD +的最小值为____________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分12分）
（1）解不等式组：121,
121;3x x x −≥−
+>−
①②
（2）化简求值：2
2(1)(3)(2)x x x −+−+
，其中x =
20．（本小题满分10分）
如图，点A ，F ，C ，D 在一条直线上，//AB DE ，//BC EF ，AB DE =． （1）求证：BC EF =；
（2）若14AD =，6CF =，求CD 的长．
21．（本小题满分10分）
移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付． （1）甲选择“微信”支付的概率为____________； （2）求三人选择同一种支付方式的概率． 22．（本小题满分10分）
某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：
b ．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；
c ．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：
甲组 乙组
丙组 平均分 88 −
90 中位数
n
92
92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m =____________，n =____________；
（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由· 23．（本小题满分10分）
如图，AC 是O 的直径，PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，AE PB ⊥，垂足为E ，
AE 交O 于点D ，连接OD ．
（1）求证：2COD P ∠=∠；
（2）若8AC =，60P ∠=°，求阴影部分的面积．
24．（本小题满分12分）
为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：
已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等． （1）求m 的值；
（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 25．（本小题满分13分）
在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD ，其中3AB =，4BC =，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】
（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：
甲小组的操作与猜想
操作：如图，在AB ，BC 上分别取一点N ，M ，将BMN △沿直线MN 翻折180°，得到EMN △．
猜想：当NME CAD ∠=∠时，//MN AC ．
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】
（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当NME CAD ∠=
∠时，点E 恰好落在矩形的对角线AC 上．请求出图中线段MN 的长度；
【拓广延伸】
（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当NME CAD ∠=∠时，过点E 作
//EF BC 交射线CA 于点F ，若EF EN =，则BN 的长是多少？请解答这个问题．
26．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，以A 为顶点的抛物线21y x =−与直线(1)y k x =+有两个公共点M ，N ，其中，点M 在x 轴上．直线(1)y k x =+与y 轴交于点B ，点B 关于点A 的对称点为C ． （1）用含k 的式子分别表示点B ，N 的坐标为：B ____________，N ____________； （2）如图，当0k >时，连接CM ，CN ．求证：CO 平分MCN ∠；
（3）若函数21()y x x k =−≥的图象记为1W ，将其沿直线x k =翻折后的图象记为2W ，当1W ，2W 两部分组成的图象与线段MB 恰有一个公共点时，请确定k 的取值范围．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
C
A
A
C
B
D
D
A
二、填空题（本大题共8小遇，第11-12小题每题3分，第13-18小题每题4分，共30分）
11．2
3()m x y + 12．18π
13．0 14．11
15．27
16．(12)864x x −= 17．2m n =−
18三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19．（本小题满分12分） 解：（1）解不等式①得：1x ≤， 2分 解不等式②得：4x <，
4分 ∴不等式组的解集为1x ≤；
6分
（2）解：原式2
2
2(23)(44)x x x x =+−−++，
8分 2224644x x x x =+−−−−， 9分 210x =−，
10分
当x =
原式6104=
−=−
12分
20．（本小题满分10分）
证明：（1）∵//AB DE ，//BC EF ， ∴A D ∠=∠，BCA EFD ∠=∠．
2分
∵AB DE =， ∴BCA EFD △≌△． 4分 ∴BC EF =；
5分
（2）∵BCA EFD △≌△， ∴AC DF =．
7分
∴AC CF DF CF −=−．
即AF CD =．
8分
∵14AD =，6CF =， ∴1468AF CD +=−=．
9分
∴28CD =． ∴4CD =．
10分
21．（本小题满分10分） （1）
1
2
； 3分
（2）画树状图如下：
7分 共有8种等可能的结果，三人选择同一种支付方式（记为事件A ）的结果有2种． 9分
∴21
()
84
P A ==． 10分
22．（本小题满分10分） 解：（1）90，86； 4分 （2）乙组；
7分 （3）推荐丙小组．
8分
理由：乙、丙两组的平均分高于甲组，所以可以在乙组或丙组中选一组，而乙组与丙组的平均分与中位数及最高分都相同，但丙组的最低分更高（或者判断乙丙两组的方差也可以），所以推荐丙组去． 10分
23．（本小题满分10分） 解：（1）∵PA 与O 相切，
∴90CAP ∠=
°． ∵90CAE EAP
∠+∠=°．
1分
∵AE PB ⊥， ∴90AEP ∠=°． ∴90P EAP ∠+∠=°．
∴CAE P ∠=
∠． 3分
∵2COD CAE ∠=
∠， ∴2COD P ∠=∠；
4分
（2）连接OB ，过点O 作OH AE ⊥．
∵60P ∠=°，
∴60CAE P ∠=
∠=°． ∵OA OD =，
∴OAD △为等边三角形． ∴1
42
AD OA AC ==
=，60ODA ∠=
°．
∴1
22
AH HD AD ===．
∴OH
=
5分
∵PB 与O 相切，
∴90OBP ∠=
°． ∵OH AE ⊥，AE PB ⊥， ∴四边形OBEH 为矩形．
∴1
42
EH OB AC ==
=，EB
OH ==． 6分 ∴2ED EH DH =−=，//OB EH ，60BOD ODA ∠=
∠=°． 7分
∴ 1
(22
ODEB S =+梯形
8分
260483603
OBD S ππ
×==
扇形．
9分
∴83
ODEB OBD S S S π
=−−梯形形阴影扇． 10分
24．（本小题满分12分） （1）解：由题意列方程，得500750
30m m
=
−． 3分 解得90m =．
5分
检验：当90m =时，(30)0m m −≠． 所以原分式方程的解为90m =． 答：m 的值为90；
6分
（2）设总费用为w 万元，购买甲型号的机器人x 台，则乙型号的机器人为(10)x −台， 则46(10)260w x x x =+−=−+．
8分
∵6090(10)710x x +−≥， ∴19
3x ≤
． 10分
∵20−<，
∴w 随x 的增大而减小．
∴当6x =时，w 取得最小值，最小值为48万元．
11分 ∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元．
12分
25．（本小题满分13分） 解：（1）甲小组的猜想正确．
1分
理由：∵四边形ABCD 为矩形，
∴BCA CAD ∠=∠．
2分
∵折叠，
∴BMN NME ∠=∠．
3分
又∵NME CAD ∠=∠， ∴BCA BMN ∠=
∠． ∴//MN AC ；
4分
（2）在Rt ABC △中，3AB =，4BC =，
∴5AC ．
5分
∵折叠，
∴ME MB =，BMN NME ∠=
∠． 由（1）可知//MN AC
∴EMN MEC ∠=∠，BMN BCA ∠=∠．
∴MEC BCA ∠=
∠． 6分
∴ME MC =， ∴MC MB =． 7分 同理NA NB =．
8分
15
22
MN
AC
==； 9分 （3）当点E 在AC 下方时，如图1，延长ME 交AC 于点H ，
同（2）可证MHC MCH ∠=
∠． ∴MH MC =． ∵//EF BC ，
∴EFH MCH ∠=
∠． ∴MHC EFH ∠=∠． ∴EH EF =，
由（1）可得NME BCA ∠=∠，
∴tan tan NME BCA ∠=∠． ∵90NEM B ∠=
∠=°， ∴3
4
NE
AB EM BC =
=
．
设3NE a =，则4EM a =， ∴3EH EF EN a ===，4BM EM a ==． ∴7MH EH EM a =+=．
∴7MC MH a ==．
∴474a a +=
． ∴411
a =． ∴12311BN NE a ===
； 11分 ②当点E 在AC 下方时，设ME 交AC 于点H ，如图2．
同①可得4BM EM a ==，3EH EF EN a ===． ∴MH EM EH a =−=．
∴MC MH a ==．
∴44a a +=
． ∴45
a =． ∴1235
BN NE a ===． 综上1211
NB =或125． 13分 26．（本小题满分13分） 解：（1）(0,)B k ；
2分 ∴2(1,2)N k k k ++；
4分 （2）由题意得：21(1)x k x −=+， ∴11x =−，21x k =+．
∴(1,0)M −，
∴1OM =．
将0x =代入21y x =−中，得1y =−， ∴(0,1)A −．
∵点B 关于点A 的对称点为C ， ∴(0,2)C k −−． 5分 ∴2OC k =+． ∴1
2OM OC k =+． 6分 过点N 作NH y ⊥轴， 则1NH k =+，222(2)32CH k k k k k =+−−−=++． ∴211322NH k HC k k k +==+++． ∴OM NH
OC HC =． 7分 ∵90MOC NHC ∠=∠=°， ∴MOC NHC △∽△． 8分 ∴MCO NCH ∠=∠． ∴CO 平分MCN ∠； 9分
（3）①2W 的解析式为2(2)1y x k =−−， 若0k ≥，
当2W 经过点B 时，如图2，此时有一个交点， 将(0,)A k 代入得：2410k k −−=，
解得k =
当2W 经过点M 时，如图3， 将(1,0)M −代入得：0k =或1−，
∴0k ≤≤时有一个交点； 11分
②若0k <，结合图象可知，
当10k −<<时，MB 与1W ，2W 都没有公共点； 当1k =−时，如图4，MB 与1W ，2W 组成的图象有两个公共点； 当21k −<<−时，MB 与1W 有两个公共点； 当2k ≤−时，MB 与1W 只有一个公共点，如图5． ∵抛物线与直线有两个公共点， ∴0∆≠．
∴2k ≠−．
综上，当2k <−或0k ≤≤时图象与线段MB 恰有一个交点． 13分。