山西省忻州市新高中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山西省忻州市新高中学高三数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知在中，，，是线段上的点，则到的距离的乘积的最大值为（）
A.12
B.8
C.
D.36
参考答案：
考点：解三角形；二次函数的实际应用.
2. 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．3. 在数列中，
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
D
4. 设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：
，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
5. 函数是定义在上的偶函数,且满足,当时,,若方程
恰有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是
A. B. C.
D.
参考答案：
A
6. 若在（）内单调递减，则的取值范围为（）
A.（-∞，3]
B. （-∞，3）
C. （3，+∞）
D. [3，+∞）
参考答案：
D
7. 直线与抛物线相交于两点，，给出下列4个命题：：
的重心在定直线上；：的最大值为；：的重心在定直线上；：的最大值为.
其中的真命题为（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
8. 已知集合，，则（）
A． B． C． D． [参考答案：
C
略
9. 设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则
“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
10. 四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分
别得到以下四个结论：
① y与x负相关且；② y与x负相关且；
③ y与x正相关且；④ y与x正相关且.
其中一定不正确的结论的序号是
A．①②B．②③C．③④D．①④
参考答案：
D 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 使不等式成立的实数a
的范围是 .
参考答案：
12. （1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的位置关系是 _ ．
参考答案：
相离
13. 用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码
是．
参考答案：
002
由系统抽样法知抽取的20的样本的编号可视为公差为8的等差数列，
设首项为a1，又
∴，∴
∴第1组中用抽签的方法确定的号码是002
故答案为：002
14. 14．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点，C使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东15°方向走10米到位置，测得∠BDC=45°，若AB⊥平面BCD，则塔AB 的高是米。

参考答案：
15. 如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.
参考答案：
i≤2014
略
16. 已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值
为．
参考答案：
21
考点：数列的应用．
专题：等差数列与等比数列．
分析： p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．
解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，
因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，
所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，
第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，
因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），
所以m=8，n=13，
所以m+n=21．
故答案为：21．
点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．
17. （本题满分13分）定义在R上的函数满足对任意恒有
，且不恒为0。

（1）求和的值；
（2）试判断的奇偶性，并加以证明；
（3）若时为增函数，求满足不等式的的取值集合。

参考答案：
∴ 故的取值集合为
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）求证：DC2=DE?DB；
（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质．
专题：选作题．
分析：（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；
（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF=，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O的半径．解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
∴
∴CD2=DE?DB．（II）解：设⊙O的半径为R
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC，设垂足为F
在直角△CFO中，OF=1，OC=R，CF=
在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2
∴
∴R2﹣R﹣6=0
∴（R﹣3）（R+2）=0
∴R=3
点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于基础题．
19. 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？
参考答案：
解：设每天应从报社买进份，易知………………………(2分)
设每月所获得的利润为元，则由题意有
……………………………………(9分)
当时，（元）………………(11分)答: 应该每天从报社买进400份，才能使每月所获得的利润最大，该销售点一个月最多可赚得1170元.………………………………………………(12分)
20. .已知函数.
（1）研究函数的单调性；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（1)易知函数的定义域为，
，设，则，
当时，，当时，，所以，
故，所以在上单调递增
(2)依题在上恒成立，
设，则在上恒成立，
，
欲使在上恒成立，则，得，
反之，当时，，
设，则
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，所以，故，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
综上所述，在上恒成立，
所以的取值范围是.
21. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度（单位:辆/千米）的函数，当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ）当时，求函数的表达式;
(Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/小时）.
参考答案：
（1）由题意，当时，；当时，设
由已知，解得.
故函数的表达式为.
(2)由题意并由（1）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，
当且仅当即时等号成立.
所以当时，在区间上取得最大值.
综上可知，当时，在区间上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时
22. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；
（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．
【解答】（Ⅰ）解：由已知可得：，
由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|﹣|x﹣2|≤4，
由于0＜y＜1，
则=（）[y+（1﹣y）]=2++≥2+2=4，
则有．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．。