广东省蕉岭县蕉岭中学2018届高三数学10月月考试题理

广东省蕉岭县蕉岭中学2018届高三数学10月月考试题 理
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
1,0,,01A a B x x =-=<<,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )
A. {}1
B. (0,1)
C. (,0)-∞
D. (1,)+∞
2.“0a ≤”是“复数1ai z i
+=
在复平面内对应的点在第三象限”的 ( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.函数),2
||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=π
ϕωϕω的部分图象如上图所示，则)(x f 的解析式为（ ）
A ．)4
8
sin(4)(π
π
+
-=x x f B ．)48
sin(
4)(π
π
--=x x f
C ．)4
8
sin(
4)(π
π
-
=x x f D ．)4
8
sin(
4)(π
π
+
=x x f
4.执行如图所示的程序框图，如果输出9
4
=
S ，则输入的=n （ ） A ．3 B ．4 C. 5 D ．6 5．函数dt t x e x g x
⎰
-+=2
1
23
2)(的零点所在的区间是( )
A ．(－3，－1)
B ．(－1,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3) 6．设z=4x •2y 中变量x ，y
满足条件，则z 的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
7．一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) A ．1+ B ．1+2
C ．2+
D ．2
8.已知函数⎩⎨
⎧>-≤+=1
,21
,2)(x a bx x a x x f ,其中b a ,是常数,若对,R x ∈∀
都有)1()1(x f x f +=-,则=+b a ( ) A.6- B.32- C. 1- D. 3
10-
9. 已知点()0,1A -是抛物线()2
:20C x py p =>准线上的一点，点F 是抛物线C 的焦点，点P 在抛物线
C 上且满足PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F 为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为
A B 11
10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为( )
A.120
B. 134
C. 128
D. 140
11．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB=AC=1，AB ⊥AC ，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足|A 1P|=λ|A 1B 1|，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足()()f x f x -=，且当(],0x ∈-∞时， )(')(x xf x f +0<成立，若
)2(ln )2(ln ),2()2(1.01.0f b f a ⋅=⋅=，221
1(log )(log ),88
c f =⋅则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >> 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．10
()x y -的展开式中，7
3
x y 的系数与3
7
x y 的系数之和等于 ．
14．在边长为1的正三角形ABC 中，设
，
, 则
=
15．已知函数()()sin f x x x x R =+∈，当,42ππθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，(sin )(1)0f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是
16. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意1212,2x x D x x a ∈+=、当时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心．研究函数()sin 2f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到1234032403320172017201720172017f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，
且S a c b 3
3
4222=
-+. （1）求A ； （2）若35=a ，5
4
cos =B ,求c .
18．(本小题满分12分）如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB EC ==，
AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD . （2）求二面角A EC D --的余弦值.
19．(本小题满分12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两
个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．
规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．
(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个
优秀成绩的概率；
(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优
秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．
20．(本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，且过点，A ，
B 是椭圆
C 上异于长轴端点的两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l ：8x =，且1A A l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若(3,0)D ，且11A B D ∆的面积 是
ABD ∆面积的5倍，求ABD ∆面积的最大值．
21． (本小题满分12分）已知函数ax x ax x f -++=2)2
1
21
ln()(（a 为常数，0>a ）. （1）若2
1
=
x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值； （2）求证：当20≤<a 时，)(x f 在),21
[+∞上是增函数；
（3）若对任意的)2,1(∈a ，总存在]1,2
1[0∈x ，使不等式)1()(2
0a m x f ->成立，求实数m 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
23.（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：2cos
sin x t y t α
α=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）与
曲线2cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A B ，．
（1）若3
π
α=
，求线段AB 的长度；
（2(2P ,，求2||||||PA PB OP ⋅=．
24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =-+-．(1)a > （1）若不等式()2f x ≥的解集为1
5|2
2或x x x ⎧⎫
≤
≥⎨⎬⎩
⎭
，求a 的值； （2）(),|1|1x R f x x ∀∈+-≥，求实数a 的取值范围．
蕉岭中学2017~2018学年度高三第二次质检考试
数学（理科）参考答案
一、选择题1-5:CBABC 6-10: CCDCB 11、12：AB
二、填空题13．240- 14．
﹣ 15．
(,2-∞+
16．4033-
三、解答题
17.
18．（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，CO
AE EB ==AEB ∆为等腰直角三角形 ∴EO AB ⊥，1EO =
又∵AB BC =，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形.
∴CO =
2EC =，∴222EC EO CO =+∴EO CO ⊥
∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD ……………4分 （2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系 则()0,1,0A -
，)
C
，)
2,0D
-，()0,0,1E )0,1,3(=AC ，
)
1,0,3(-=EC ，
)0,2,0(=设平面DCE 的法向量为
)
1,,(y x =，
则0
EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r
，即
10
20
y -==⎪⎩，…………8分
解得：
30x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
)1,0,3
3
(
=
同理求得平面EAC 的一个法向量为)1,1,3
3
(-=
cos ,7m n m n m n
⋅==u r r u r r u r r 所以二面角A EC D --
的余弦值为7
.……12分
19. 解：(1)设事件A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只
有一个优秀成绩” ()1
22312
5525
p A C =⨯⨯
=
……3分 （2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3 ……4分
()22342255189010050C C p C C ξ⋅====
⋅，()21112
3432422554812
110025C C C C C p C C ξ⋅+⋅⋅====⋅ ()111223242422553
210C C C C C p C C ξ⋅⋅+⋅===⋅()211
21422
551325
C C C p C C ξ⋅===⋅ ……8分 ξ∴的分布列为
……10分
ξ∴的数学期望为()9123
16
0123502510255
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= ……12分 20．解：（1）依题意222221
,
2123
1,,c a a b a b c ⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得4,2,
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．……4分 （2）设直线AB 与x 轴相交于点(,0)R r 1|3|||2ABD A B S r y y ∆=-⋅-，11111
5||2
A B D A B S y y ∆=⨯⨯-， 由于115A B D ABD S S ∆∆=且11||||A B A B y y y y -=-，
得55|3|r =⨯-，4r =（舍去）或2r =，即直线AB 经过点(2,0)F ，……6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+，
由22
2,3448,
x my x y =+⎧⎨+=⎩即22
(34)12360m y my ++-=，1221234m y y m -+=+，1223634y y m -=+，
121||2ABD
S y y ∆=-=
=
2
123(1)1
m =++，……8分
令1t =≥，所以2
1212
1313ABD t S t t t
∆=
=++，……9分 因为1
1333()t t t t
+=+，所以1
3t t +
在)+∞上单调递增，所以在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以134t t
+≥，所以3ABD S ∆≤
（当且仅当1t =，即0m =时“=”成立），
故ABD S ∆的最大值为3．……12分
21．解：221
2()122()2,()11122
a ax x a
a f x x a x ax a ax --'=+-=>-++ ……1分
（1）由已知，得1
()02
f '=即22122a a -=，
220,0, 2.a a a a ∴--=>∴=经检验，2a =满足条件.-----3分
（2）当02a <≤时，
22212(2)(1)0,2222a a a a a a a a
----+-==≤ 221,22a a -∴≤∴当12x ≥时，2202a x a --≥.又201ax
ax >+，()0,f x '∴≥
故()f x 在1
,)2
⎡+∞⎢⎣上是增函数. ……7分
（3）当(1,2)a ∈时，由（2）知，()f x 在1[,1]2上的最大值为11
(1)ln()1,22f a a =++-
于是问题等价于：对任意的(1,2)a ∈，不等式211
ln()1(1)022
a a m a ++-+->恒成立.
记211
()ln()1(1),(12)22
g a a a m a a =++-+-<<
则1()12[2(12)],11a g a ma ma m a a
'=
-+=--++当0m ≤时，有2(12)2(1)10ma m m a --=+-<，且0,()
1a
g a a
>∴+在区间（1，2）上递减，且(1)0g =，则0m ≤不可能使()0g a >恒成立，故必有0.m > 当0m >，且21
()[(1)].12ma g a a a m
'=--+ 若
1112m ->，可知()g a 在区间1
(1,min{2,1})2D m
=-上递减，在此区间D 上有()(1)0g a g <=，与()0g a >恒成立矛盾，故
1
112m
-≤，这时()0g a '>，即()g a 在（1，2）上递增，恒有()(1)0g a g >=满足题设要求. 0
1112m m
>⎧⎪
∴⎨-≤⎪⎩，即14m ≥，
所以，实数m的取值范围为
1
[,)
4
+∞.----------12分
22．【解析】（1）由曲线
2cos (1)
:
sin (2)
x
C
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
得C的普通方程是
2
21
4
x
y
+=．当
3
π
α=
时，直线方程为
1
2
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（t为参数），代入曲线C的普通方程
2
21
4
x
y
+=，得2
1356480
t t
++=，则线段AB的
长度为
12
||||
AB t t
=-===．……5分
（2
）将
2cos
sin
x t
y t
α
α
=+
⎧⎪
⎨
=+
⎪⎩
代入曲线C的普通方程
2
21
4
x
y
+=，
得222
(cos4sin)4cos)120
t t
αααα
++++=，
因为
222
1222222
1212(cos sin)12(1tan)
||||||
cos4sin cos4sin14tan
PA PB t t
ααα
ααααα
++
⋅=⋅===
+++
，
则tanα=代入上式求得||||7
PA PB
⋅=．
已知点(2
P,，所以
OP=,所以2
||||||
PA PB OP
⋅=……10分23．【解析】（1）()
21,
|1|||1,1
21,1
x a x a
f x x x a a x a
x a x
--≥
⎧
⎪
=-+-=-≤<
⎨
⎪-++<
⎩
，
x a
≥时，212
x a
--≥得
35
22
a
x
+
≥=,1
x<时，212
x a
-++≥得
11
22
a
x
-
≤=
综上得：2
a=．……5分
（2）由()
,|1|1
x R f x x
∈+-≥可得2|1|||1
x x a
-+-≥．
当x a
≥时，只要321
x a
--≥恒成立即可，此时只要
3
321
2
a a a
--≥⇒≥；
当1x a
<≤时，只要21
x a
-+≥恒成立即可，此时只要1212
+a a
-≥⇒≥；
当1
x<时，只要321
x a
-++≥恒成立即可，此时只要3212
a a
-++≥⇒≥，
综上[)
2,
a∈+∞．……10分。