正方形的性质与判定(2)

1.下列说法不正确的是( ) A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形是矩形， 不一定是正方形.
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2.如图，四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， （1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么. （2）要使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应该有怎 样的情况？
∵AD是∠CAB的平分线，
DE⊥AC，DG⊥AB，
C
∴DE=DG，
同理：DG=DF，
∴DE=DF， ∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90°， 又∵∠C=90°，
E
F
D
A
G
B
∴四边形CEDF是矩形，又DE=DF, ∴四边形CEDF是正方形.
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矩形
平行四边形
有一组邻边相等 且有一个角是直角
正方形
菱形
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通过以上回忆，你觉得什么样的四边形是正方形呢?
1、要使一个菱形成为正方形需要增加的条件是
（ 有一个角是直角 ）. 对角线相等
2、要使一个矩形成为正方形需添加的条件是
正方形的性质与判定（2）
山东山大基础教育集团初二数学备课组 山大奥体：李亭亭
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目
录
01 学习目标
02课堂小结
05
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学习目标
探索并证明“有一组邻边相等的矩 形是正方形”，“对角线互相垂直 的矩形是正方形”，“有一个角是 直角的菱形是正方形”，“对角线 相等的菱形是正方形”.
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
THANKS!
恳请各位老师批评指正！
方形.
7
7
7
7
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
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【跟踪训练】
1.四个角都相等的四边形是正方形. ╳ 2.四条边都相等的四边形是正方形. ╳ 3.对角线垂直的平行四边形是正方形. ╳
4.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. √ 5.四条边相等且有一个角是直角的四边形是正方形. √
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请同学们画一个四边形，要求它既是矩形又是菱形. 有_一__组__邻__边__相__等__且__有__一__个__角__是__直__角__的
平__行__四__边__形___叫做正方形.
由正方形的定义可知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个
角为直角的菱形.
【解析】（1）四边形EFGH是平行四边 形. 连接AC, ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF∥AC，EF= AC， 同理HG∥AC，HG= AC， ∴EF HG, （∴四2）边四形边EF形GAHB是C平D的行对四角边线形垂. 直且相等.
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3.你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的包含关系吗？
6.对角线垂直且相等的四边形是正方形. ╳
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【例题】
例1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E,F． 求证： 四边形CFDE是正方形．
证明：∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF（角平分线上的点到角的两边距离相 等）． ∵ ∠DEC＝∠ECF＝∠CFD＝90°， ∴ 四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边 形是矩形）， ∴ 四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩 形是正方形）．
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如图，四边形ABCD是正方形，且对角线AC，BD相交 于点O. 则_(_1_)_,_(_2_)_,_(_3_)_,_(_6_)_,(_7__)__ . (1)AD=CD; (2)OA=OB; (3)AC垂直平分BD;
(4) AC 2 AB 2OA;
(5)图中共有6个等腰直角三角形； (6)∠1=45°； (7)有四条对称轴.
图 20.4.1
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例2、求证：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD中对角线AC,BD相交 于点O，且AC＝BD，AO＝CO， BO＝DO， AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵AO＝CO,BO＝DO, ∴四边形ABCD是平行四边形,又AC＝BD, ∴平行四边形ABCD是矩形, 又∵AC⊥BD, ∴平行四边形ABCD是菱形， 即四边形ABCD是正方形.
（ 有一组邻边相等 ）. 对角线互相垂直
3、要使一个平行四边形成为正方形需要增加的条件是：
( 有一组邻边相等且有一个角是直角
).
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下列三个图形都是正方形,你能说明为什么吗？
52
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有一组邻边相等并且有一个 两条对角线互相垂直平分
角是直角的平行四边形是正 且相等的四边形是正方形.
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小结：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱 形. 要判定一个四边形是正方形，基本思路就 是证明这个四边形既是菱形又是矩形,从而得到 这个四边形是正方形.
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【跟踪训练】
1.已知：如图点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四 条边上的点，并且A A′=BB′=CC′=DD′， 求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证题思路分析
A
D′ D
①由已知正方形证三角形全等； A′
②证菱形；
C′
③再证直角； ④是正方形.
B B′
C
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2.在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点 D.DE⊥AC，DF⊥BC.求证:四边形CEDF为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.