2021年山西省吕梁市结绳焉中学高一数学理联考试题含解析

2021年山西省吕梁市结绳焉中学高一数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】HU：解三角形的实际应用；HT：三角形中的几何计算．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，
∴AB=BC，
由余弦定理得：AC===BC，
故BC?BC=AB?AC?sinA=?BC?BC?sinA，
∴sinA=，
故选：D
2. 下列四个图象中，能表示y是x的函数图象的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
【考点】函数的图象．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的定义，结合图象判断，应用任意的一个自变量x，都有唯一确定的函数值y与之对应．
【解答】解：第一个图象中，
当x=0时，有两个y值，分别为﹣1与1，
故不能表示y是x的函数；
第二个图象能表示y是x的函数；
第三个图象能表示y是x的函数；
第四个图象中，
当x=1时，有两个y值，
故不能表示y是x的函数；
故选C．
【点评】本题考查了函数的定义的应用及数形结合的思想应用．
3. （5分）当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是（）
A．2B．2C． 2 D．1
参考答案：
D
考点：三角函数的化简求值；二倍角的余弦．
专题：三角函数的求值．
分析：运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式，整理得到，然后利
用换元法把函数变为为（t∈（0，1]）．求导后得到该函数的单调性，则函数在单调区间（0，1]上的最小值可求．
解答：
=
=
=
令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．
则函数化为（t∈（0，1]）．判断知，此函数在（0，1]上是个减函数．
（也可用导数这样判断∵＜0．∴为（t∈（0，1]）为减函数．）
∴y min=2﹣1=1．
∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是1．
故选D．
点评：本题考查了二倍角的余弦公式，考查了利用换元法求三角函数的最小值，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，此题是中档题．
4. 化简（）
A. 2sin3°
B. 2cos3°
C. －2sin3°
D. －2cos3°
参考答案：
A
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式化简开方即可.
【详解】因为，
所以原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 5. 已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
参考答案：
B
【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．
【专题】计算题．
【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
【解答】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，
∴垂直平分线的斜率 k==2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2）?4x﹣2y﹣5=0，
故选B．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
6. 已知lgx﹣lg2y=1，则的值为( )
A．2 B．5 C．10 D．20
参考答案：
D
【考点】对数的运算性质．
【专题】方程思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数方程化简求解即可．
【解答】解：lgx﹣lg2y=1，可得lg=1，
可得=20．
故选：D．
【点评】本题考查对数运算法则的应用，对数方程的求法，是基础题．
7. 在中，已知且，则外接圆的面积是（）
A B C D
参考答案：
C
略
8. 已知直线与平面α成30°角，则在α内（）
A．没有直线与垂直B．至少有一条直线与平行
C．一定有无数条直线与异面 D．有且只有一条直线与共面
参考答案：
C
略
9. 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是（）A．B．C．1：1 D．
参考答案：
A
10. 若集合，则中元素的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等比数列的公比，则等于____________
参考答案：12.
=
．
参考答案：
13. 定义在[0，1]上的函数f （x ）满足：①f（0）=0；②f （x ）+f （1﹣x ）=1；③f（）=f
（x ）；④当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x1）≤f（x2）．则f（）= ．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据条件进行递推，利用两边夹的性质进行求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且①f（0）=0；③f（1﹣x）+f（x）=1，
令x=1可得f（1）=1．
∵f（）=f（x）；
∴f（）=f（1）=；
再由③可得f（）+f（1﹣）=1，故有f（）=．
对于②f（）=f（x）；
由此可得 f（）=f（）=，f（）=f（）=、f（）=f（）=、f（）=．f（）=，f（）=
令x=，由f（）=，可得 f（）=，f（）=，f（）=，f（）=．f
（）=，f（）=
再＜＜，可得=f（）≤f（）≤f（）=，
得f（）=，
故答案为
14. 函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上是递增的，实数a 的取值范围．参考答案：
（，+∞）．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】先将函数解析式进行常数分离，然后利用增函数的定义建立关系，进行通分化简，判定每一
个因子的符号，从而求出
a 的范围．
【解答】解：f （x ）===+a 、
任取x 1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．
∵函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∵x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴1﹣2a＜0，a＞，
即实数a的取值范围是（，+∞）．
15. 设S n＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f (n)＝的最大值为________．
参考答案：
16. 点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围
是
参考答案：
17. 求过直线A斜率是的直线的一般方程 ______
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 以直线与的交点A，及组成三角形ABC，AD为BC边上的
高，垂足为D，求AD所在直线方程及三角形ABC的面积。

参考答案：
以直线与的交点A，及组成三角形ABC，AD为BC边上的高，
垂足为D，求AD所在直线方程及三角形ABC 的面积。

解1：先求交点，再求斜率，最后得直线方程，
由得A（1，1），BC所在直线的斜率为，所以
AD直线斜率为，所以AD直线所在方程为 (6)
直线BC的，点A到直线的距离d=1， (11)
--------------------------------14
解法2：设经过交点A的直线方程，直线BC的方程再求
出直线AD的方程，面积也可由割补法得到
再求出直线AD的方程，面积也可由割补法得到
略
19. 某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)．当年产量不
足90千件时，(万元)；当年产量不小于90千件时，
(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品
能全部售完．（利润=销售收入-总成本）
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
参考答案：
解析：(1)当0x＜90，x∈N*时，
L(x)＝－x2－10x－300＝－x2＋40x－300.
当x≥90，x∈N*时，
L(x)＝－51x－＋1300－300＝1000－(x+).
∴L(x)＝--------------6分
(2)当0x＜90，x∈N*时，L(x)＝－(x－60)2＋900，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝900(万元)．
当x≥90，x∈N*时，
L(x)＝1000－(x+)＝800－(－)2≤800.
当＝，即x＝100时，L(x)取得最大值800万元。

综上所述，即生产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为900万
元．
--------------12分
20. （本小题满分15分）将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了取得最大利润，每个售价应定为多少元？
参考答案：略
21. 已知等比数列{a n}满足，，且，，为等差数列. （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，，对任意正整数n，恒成立，试求m的取值范围.
参考答案：
（1）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，即有，解得，故.
（2）∵，
∴，①
，②
②-①，得
∵，
∴对任意正整数恒成立，
∴对任意正整数恒成立，即恒成立，
∴，即的取值范围是.
22. （本题满分14分）
已知等差数列{a n}中，
.
（1）求{a n}的通项公式；
（2）调整数列{a n}的前三项a1、a2、a3的顺序，使它成为等比数列{b n}的前三项，求{b n}的前n项和.
参考答案：
1）由已知，得求得，………………………………2分
∴{a n}的公差d=3…………………………………………………………4分
∴a n=a1+(n－1)d=－2+3(n－1)
=3n－5.………………………………………………………………6分
（2）由（1），得a3=a2+d=1+3=4，∴a1=－2，a2=1，a3=4.
依题意可得：数列{b n}的前三项为
b1=1，b2=－2，b3=4或b1==4，b2=－2，b3=1………………8分
（i）当数列{b n}的前三项为b1=1，b2=－2，b3=4时，则q=－2 .
.………………………………11分
（ii）当数列{b n}的前三项为b1=4，b2=－2，b3=1时，则
.
…………………14分
略。