(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》检测(含答案解析)

一、选择题
1．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米
B ．57米
C ．64米
D ．70米
2．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
3．设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知4cos 5
C =
，sin 5sin b C c A =，则
c
a
=（ ）
A ．5
B
C ．
D 4．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知2cos 0b a C -=，
()sin 3sin A A C =+，则
2bc
a =（ ）
A B C ．
23
D
5．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =
cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）
A ．12+
B ．
C ．
D ．6+
6．已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）
A ．135
B ．45
C ．135或45
D ．90
7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（ ）
A ．
B
C ．
D ．8．设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，则CD 的值为（ ）
A ．7
B ．10
C D ．9．在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
10．在△ABC 中，AC =BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
11．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，
cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．23
D ．43
二、填空题
13．在ABC 中，6
B π
=
，D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角
形ACD 的面积为15，则BC =_____________.
14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.
15．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若
ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．
16．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____
17．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α
=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.
18．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝α（0＜α＜2
π
），已知AB 的取值范围是（1，2），则cos α的值为_____．
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=，2
2
212
b c a -
=，则tan B =________.
20．在锐角ABC ∆中，2AC =，22AB =D 在BC 边上，并且2BD DC =，
6
π
∠=
CAD ，则ABC ∆的面积为__________．
三、解答题
21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos cos 2cos b A a B c A +=．
（1）求A ；
（2）若2a =，ABC 的面积为3，求ABC 的周长． 22．已知ABC 中，51tan 43
A π
⎫⎛-=
⎪⎝⎭． （1）求2sin cos2A A +的值；
（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值． 23．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；
（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.
24．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①()3cos cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b c C a
-=
③tan tan tan 3tan tan A B C B C ++=.
已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;
（2）若2,10a b c =+=，求ABC 的面积.
25．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B 处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β=45°，则此山的高度CD 和仰角α的正切值．
26．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD 7，求AD 的值和sin ∠ABD 的值
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】
由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，
在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：
22221
2cos 60803028030702
AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=米， 即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．C
解析：C 【解析】
试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．
3．C
解析：C 【分析】
先根据正弦定理对sin 5sin b C c A =边角互化得5b a =，再结合余弦定理整理得32c
a
=. 【详解】
解：因为sin 5sin b C c A =，所以5bc ac =，即5b a =． 所以由余弦定理得：2
2
2
24
2525185
c a a a a a =+-⋅⋅=， 整理化简得：32c
a
= 故选：C.
【点睛】
本题考查边角互化，余弦定理解散三角形，考查运算能力，是基础题.
4．D
解析：D 【分析】
根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2
cos 3
C =
，然后根据余弦定理，可得
c =，最后可得结果.
【详解】 在ABC ∆中，
sin sin a b A B
=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，
由①②可知：2cos 3C =，又2222
cos 23
a b c C ab +-==③，
把①代入③化简可得：c =，则
23bc a b ==， 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】
cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭，
0B π<<，76
6
6B π
π
π∴
<+
<
，则62B ππ
+=，3
B π∴=，
sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，
2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是6a b c ++=+
故选：D. 【点睛】
本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
6．B
解析：B 【分析】
先由正弦定理求出sin A ，进而得出角A ，再根据大角对大边，大边对大角确定角A ． 【详解】
由正弦定理得：
sin sin a b A B =⇒=
sin A B ==， ∴45A =或135，
∵a b <，∴A B <，∴45A =，故选B. 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．
7．B
解析：B 【分析】
由等差数列性质得3
B π
=
，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆
半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】
∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+， 又A B C π++=，∴3
B π
=，23
C A π
=
-，2(0,)3A π∈，
由正弦定理
2sin sin sin a b c R A B C
===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，
∴2sin 2sin 2sin 2
a A c C
b B a
c +-=
，
即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac B
R R
+-==
，∴R =
又由正弦定理得2sin ,33
a R A A c C ===，
∴112sin sin sin()2233
ABC S ac B A C A A △ππ
=
=⨯=-
21sin )cos 2sin )2A A A A A A =
+=+
21cos 2)3A A =+-)363A π=-+
，
∵2
(0,
)3A π∈，∴3
A π=时，sin(2)16A π
-=，即ABC
S 取得最大值
33
+= 故选：B ． 【点睛】
本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．
8．C
解析：C 【分析】
由已知可求6AD BD ==，在ABC 中，由余弦定理可求cos B 的值，在BCD 中，利用余弦定理即可求得||CD 的值． 【详解】 解：
6a =，8b =，12c =，若D 为AB 边的中点，
6AD BD ∴==，
∴在ABC 中，222222612829
cos 2261236
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
∴在BCD 中，可得222229
||2cos 662661436
CD BD BC BD CB B =+-=+-⨯⨯⨯
=．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
9．D
解析：D 【分析】
根据正弦定理22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，化简得到sin 2sin 2A B =，得到答案. 【详解】
22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =.
故22A B =或22A B π+=，即A B =或2
A B π
+=.
故选：D . 【点睛】
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力.
10．A
解析：A 【分析】
直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值． 【详解】
因为：△ABC 中，BC ＝1，
AC =
∠B ＝45°，
所以：BC AC sinA sinB
=，sin
A 112BC sin
B A
C ⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角， 所以：A ＝30°． 故选：A ． 【点评】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
12．C
解析：C 【分析】
根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3
B π
=
，设AC 中点为D ，再利用平面向量
的线性运算可得1
||||2
BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】
cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，
2cos cos cos b B a C c A ∴=+，
根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，
2sin cos sin B B B ∴=，
又sin 0B ≠，1cos 2
B ∴=
，可得3B π=，
设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1
||||2
BD BA BC =
+， 平方可得()
()
2
222221112()444
BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 222
1()3()()124416
a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4a c ==时取等号，
故2
BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先由面积公式求出即得再由余弦定理求出进而利用正弦定理求出再在中利用正弦定理即可求出【详解】在中解得是锐角三角形则由余弦定理可得即则在中由正弦定理可得即则则在中即解得故答案为：【点睛】本题考查
【分析】
先由面积公式求出sin ACD ∠，即得cos ACD ∠，再由余弦定理求出AD ，进而利用正弦定理求出sin A ，再在ABC 中利用正弦定理即可求出. 【详解】
在ACD △中，11
sin 42sin 22
ACD
S AC CD ACD ACD =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠=
解得sin 4
ACD ∠=
， ACD △是锐角三角形，1
cos
4
ACD ∴∠=,
则由余弦定理可得2
22
1
42242164
AD =+-⨯⨯⨯
=
，即4AD =， 则在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AD CD
ACD A
=
∠，即2sin 15A =，则15sin A =
， 则在ABC 中，sin sin BC AC
A B
=
，即4
1152BC =，解得15BC =. 故答案为：15. 【点睛】
本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先在ACD △中，利用面积公式和正余弦定理解出sin A .
14．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3
【分析】
由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出
BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求．
【详解】
解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．
由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．
在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）．
【点睛】
本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．
15．【分析】利用正弦定理得到再根据有两解得到计算得到答案【详解】由正弦定理得：若有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理有两解意在考查学生的计算能力
解析：(3,
【分析】
利用正弦定理得到sin
A =，再根据ABC ∆有两解得到sin sin 1
B A <=
<，计
算得到答案. 【详解】
由正弦定理得：
sin
sin sin sin a b x A A B A =⇒== 若ABC ∆有两解：
sin sin 13
B A x <=
<⇒<<
故答案为(3, 【点睛】
本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.
16．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案
解析：4
3
【分析】
设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代
入化简ABC S ∆=
223x <<，由二次函数的性质
求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】
解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 21
sin sin 12
ABC S AC BC C x C x ∆=
== 由余弦定理可得222
4443cos 44x x x C x x
+--==，
可得：22
2224316120
11()(3)49163
ABC
x S x cos C x x x ∆-=-=-=--，
由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：2
23
x <<， 故当25
x =
时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：4
3
． 【点睛】
本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．
17．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此
解析：28 【分析】
作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，
tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然
后即得DC ． 【详解】
如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，
tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40
203tan 60tan 30BN =
=︒-︒
，
所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到
直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．
18．【分析】延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在与中分别运用正弦定理可得关于的方程联立可得答案【详解】解：如图延长交与点过点C 作交与F 点可得由AB 的取值范围是可得设在中由正弦定理可得 解析：
24
【分析】
延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF
AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,
由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==,设BC x =，在BCE ∆与BCF ∆中，分别运用正弦定理可得关于cos α的方程，联立可得答案. 【详解】
解：如图，，
延长BA ,CD 交与E 点，过点C 作CF AD 交与F 点，可得BF AB BE ＜＜,
由AB 的取值范围是(1,2)，可得1,2BF BE ==, 设BC x =，在BCE ∆中，由正弦定理可得：
sin sin BC BE
E BCE
=∠∠,
即：2sin(2)sin x παα=-，可得
22cos x
α
=， 同理，在BCF ∆中，由正弦定理可得：
sin sin BC BF
BFC BCF
=∠∠,
即：1
sin sin(2)
x απα=-，可得2cos 1x α=， 故可得：
2
124cos α=，可得2
1cos 8
α=， 又02
＜＜
π
α，故2
cos 4
α=
,
故答案为：4
. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理解三角形，考查学生数学建模的能力与运算能力，属于中档题.
19．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数
解析：3 【分析】
由题意结合余弦定理得3
c =
，进而可得3a b =
，再由余弦定理即可求得cos B =
，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】
4
A π
=
，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-
即222b a c -=-，
又2
2
212b a c -=
，
所以2212c c =-
，所以3
c =， 222222145299a b c b b b =-=-=
，所以a =，
所以222
2
2
2
58cos 233
b b b
a c
b B a
c +-+-===，
所以sin B ==， 所以sin tan 3cos B
B B
=
=， 故答案为：3. 【点睛】
本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
20．【分析】在中由正弦定理可得到在中由正弦定理可得到由是锐角可知结合三角形的面积公式可得到答案【详解】在中由正弦定理得：则在中由正弦定理得：则因为所以由于三角形是锐角三角形故则故的面积为【点睛】本题考查
1
【分析】
在ADC ∆中，由正弦定理
sin sin DC AC CAD ADC =∠∠，可得到1
sin ADC DC
∠=，在
ADB ∆中，由正弦定理
sin sin DB AB
BAD ADB
=∠∠
，可得到
1
2sin 2sin 22
DC
DB ADB
DC BAD AB
∠∠=
=
=，由BAD ∠是锐角，可知4
BAD π
∠=，
4
6
BAC π
π
∠=
+
，结合三角形的面积公式可得到答案．
【详解】
在ADC ∆中，由正弦定理得：
sin sin DC AC CAD ADC
=∠∠，则
11sin 2sin
6
ADC DC DC
π
∠=⨯⨯
=， 在ADB ∆中，由正弦定理得：sin sin DB AB BAD ADB =∠∠，则sin sin DB ADB
BAD AB ∠∠=，
因为1
sin sin ADB ADC DC
∠=∠=
，2BD DC =，所以1
22sin 222
DC
DC BAD ∠=
=
，由于三角形是锐角三角形，故4
BAD π∠=，则26sin sin 464BAC ππ+⎛⎫
∠=+=
⎪⎝⎭
，故ABC ∆的面积为126
222312+⨯⨯⨯=+.
【点睛】
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．
三、解答题
21．（1）3
A π
=；（2）6．
【分析】
（1）根据cos cos 2cos b A a B c A +=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到
()sin 2sin cos A B C A +=，又A B C π+=-，由sin 2sin cos C C A =求解；
（2）根据3
A π
=
，ABC 4bc =，再结合余弦定理求得
b c +即可. 【详解】
（1）因为cos cos 2cos b A a B c A += 所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以()sin 2sin cos A B C A +=， 因为A B C π+=-， 所以sin 2sin cos C C A =， 因为sin 0C ≠，
所以1cos 2
A =． 因为0A π<<，
所以3
A π
=
．
（2）因为3
A π
=，ABC
所以1sin 23
ABC S bc π
=
=△ 解得4bc =，
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()2
2243b c bc b c bc =+-=+-， 所以4b c +=， 所以6a b c ++=． 所以ABC 的周长为6． 【点睛】
方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 22．（1）4
5
；（2）2. 【分析】
（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；
（2）由（1）可知，1
tan 2
A =
，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计
算可得； 【详解】
解：（1）5tan tan 44A A ππ
⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3
A A -=
=+，解得1tan 2A =， 故22
22
cos sin cos2sin cos A
A A A A
+=+214tan 15A ==+． （2）由（1）可知，sin 1
tan cos 2
A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；
联立①②，解得sin A =，cos A =．
又1
sin 42
S bc A =
=，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．
23．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】
（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.
（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为
sin sin B C +=()sin 601B +=求解.
【详解】
（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++， 所以2
2(2)(2)a b c b c b c =+++， 即222b c a bc +-=-，
所以2221
cos 22
b c a A bc +-=
=-， 因为()0,A π∈， 所以120A =.
（2）由（1）知()
sin sin sin sin 60B C B B +=+-，
()1
cos sin sin 60122
B B B =
+=+=， 因为()
0,60B ∈， 所以6090B +=， 解得30,30B C ==， 所以ABC 是等腰三角形. 【点睛】
方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用
三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．
24．（1）3
A π
=；（2 【分析】
第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3
A π
=；
方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3
A π
=；
方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成
tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到
3
A π
=
；第（2）小问：由余弦定理222
2cos ,2,3
a b c bc A a A π
=+-==
可以得到关于
,b c
的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.
【详解】
()
1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=
()2
sin sin A C B A +=，
2sin sin A A A = 又()0,A π∈， 所以sin 0A ≠，
所以tan A = 所以3
A π
=
方案②：由已知正弦定理得
()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C =-=+-=+-
所以2cos sin sin 0,A C C -= 即2cos sin sin ,A C C = 又()0,C π∈， 所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2
A = 所以3
A π
=
方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=
所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅-
()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=
tan tan tan tan B C A B C = 又()0A B C π∈,,,， 所以tan 0,tan 0B C ≠≠，
所以1tan ,2
A A == 所以3
A π
=
()2由余弦定理2222cos ,2,3
a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+-
即()2
43b c bc +=+，
又因为b c += 所以2bc =
所以1sin 2ABC S
bc A ==
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
25．1． 【分析】
设山的高度CD =x ，在ABC 中，利用正弦定理求得CB ，AC ，在Rt BCD 中，由∠CBD =45°
得CD =CB ，然后在Rt ACD 中，由tan CD
AC
α=求解. 【详解】
设山的高度CD =x 米，
由题可得∠CAB =45°，∠ABC =105°，AB =300米，∠CBD =45°． 在ABC 中，得：∠ACB =180°-45°-105°=30°， 利用正弦定理可得sin 30sin 45sin105
AB CB AC
==， 所以(
)
300sin 45300sin105
3002,150
62sin30sin30
CB AC ⨯⨯=
===+，
在Rt BCD 中，由∠CBD =45°得CD =CB ，
在Rt ACD 中可得tan 1CD AC α=
==
26．6；321 14
．
【分析】
在BCD中，根据AD=3CD，BD=27，利用余弦定理求解CD，在A BD中,利用正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
在等边ABC中，AD=3CD，
所以AC=2CD．
又BD7
所以BD2=BC2+CD2-2BC⋅CD⋅cos∠BCD，
即7)2=(2CD)2+CD2-2⋅2CD⋅CD⋅cos120°，
解得CD=2，可得AD=6,
由
27 sin60
AD
ABD
=
∠
,
得
627
sin60
ABD
=
∠
，
解得sin∠ABD=321 14
．。