2018-2019学年度北京八中高三10月月考数学理科试题

北京八中2018学年度高三第一学期10月练习题
科目:理科数学 时间120分钟,满分150分
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
1.已知a<b<0,则下列不等式中正确的是( )
A. b 2<a 2
B.b
a 11< C.1>a
b D.b a -<- 2.已知p:x ≥a,q:|x-1|<1.若p 是q 的必要非充分条件,则实数a 的取值范围是( )
A.a ≥0
B. a ≤0
C.a ≥2
D.a ≤2
3.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( ) A.x y 2
1log = B.12-=x y C.212-
=x y D.3x y -= 4.直线l 与圆x 2+y 2+2x −4y+a=0(a<3)相交于A,B 两点,若弦AB 的中点为(-2,3),则直线l 的方
程为( )
A.x+y −3=0
B.x+y −1=0
C.x −y+5=0
D. x −y −5=0
5.调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/m l .如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/m l ,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,问他至少要经过( )小时才可以驾驶机动车(精确到小时)
A.1小时
B.2小时
C.4小时
D.6小时
6.若变量a,b 满足a+1≤b ≤2a,则2b −a 的最值情况为( )
A.有最小值3
B.有最大值3
C.有最小值2
D.有最大值4
7.椭圆m x 2
+y 2=1(m>1)与双曲线n
x 2
−y 2=1(n>0)有公共焦点F 1(−c,0)、F 2(c,0),P 是它们的一个交点,则以下判断正确的个数是( )
①m 2+n 2=2c 2 ②m 2−n 2=2 ③∠F 1PF 2=90°④△F 1PF 2的面积为1
A.1
B.2
C.3
D.4
8.设函数f(x)=x
1,g(x)=ax 2+bx(a,b ∈R,a ≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则下列判断正确的是( )
A.当a<0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2>0
B.当a<0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2<0
C.当a>0时,x 1+x 2<0,y 1+y 2<0
D.当a>0时,x 1+x 2>0,y 1+y 2>0
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9.函数f(x)=x x -432
+lg(x+1)的定义域是___________.
10.若a=ln 21,b=(31)8.0,c=231
,则a,b,c 的大小关系为___________. 11.已知双曲线22a x −22b
y =1(a>0,b>0)的离心率为25,则C 的渐近线方程为____________. 12.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________.
13.已知函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0(,
1)0(,22x e x x x x ，若f(x)≥a 恒成立，则a 的取值范围是______________. 14.若原点O 到直线l 的距离不大于1,则在下列曲线中：
①y=x 2−2 ②(x −1)2+y 2
=1 ③22
x +y 2=1;④x 2−y 2=1 与直线l 一定有公共点的曲线的序号是______________(写出你认为正确的所有序号)
三、解答题(共6题,满分80分)
15.(本小题13分)
设函数f(x)=c
bx ax ++12是奇函数,a,b,c 都是整数,且f(1)=3,f(2)<5 (I)求a,b,c 的值
(Ⅱ)求函数f(x)的值域
16.(本小题13分)
摩拜、ofo 等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是:每车使用不超过1小时(包含1小时)是免费的,超过1小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算,例如:骑行2.5小时收费为2元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为
41,21,1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为21,4
1, 两人用车时间都不会超过3小时 (I)求甲乙两人所付的车费相同的概率;
(Ⅱ)设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ
17.(本小题13分)
已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于不同两点A,B,且点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴交于点M
(I)求点M的坐标
Ⅱ)求△OAM与△OAB面积之和的最小值.
18.(本小题13分)
已知函数f(x)=
x x
ln
1
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)对任意x>0,不等式f(x)≤kx恒成立,求实数k的取值范围19.(本小题14分)
已知椭圆C
1:
2
2
a
x
+
2
2
b
y
=1(a>b>0)经过点M(1,
2
3
),且焦距为2,过右焦点F且与坐标轴不垂
直的直线与椭圆交于P,Q两点
(I)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点N(n,0),使得|NP|=|NQ|?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由
(Ⅲ)设A是椭圆的左顶点,D是椭圆上任意一点,N是A关于D的对称点,E是D关于原点的对称点,是否存在D使得|ND|=|NE|?若存在,求出D的坐标,若不存在说明理由
20.(本小题14分)
对于集合M,定义函数f
M (x)=
⎩
⎨
⎧
∉
∈
-
M
x
M
x
,1
,1
对于两个集合M,N,定义集合
M△N={x|f
M (x)·f
N
(x)=−1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16}
(I)写出f
A (1)和f
B
(1)的值,并用列举法写出集合A△B
(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,求Card(X△A)+Card(X△B)的最小值(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q),满足P,Q⊆AUB,且(P△A)△(Q△B)=A△B?。