鲁教五四版九年级(上) 中考题同步试卷：2.8 二次函数的应用(14)

鲁教五四版九年级（上）中考题同步试卷：2.8 二次函数的应用
（14）
一、解答题（共30小题）
1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）若抛物线y＝ax2+bx+c与y＝﹣x2+6x﹣5关于原点O中心对称，求此抛物线的解析式；
（2）根据（1）的解题结果，合理猜想：直接写出抛物线y＝a（x﹣m）2+n关于原点O 中心对称的二次函数解析式（不要求写推导过程）；
（3）若（1）中抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点M，与x轴交于点A和点B（点A在左），点C是线段AB的中点，求sin∠CMA；
（4）在（3）的条件下，在抛物线y＝ax2+bx+c上是否存在点P，使△OP A的面积与△MCA的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点A（﹣1，0）和点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△BOD内切圆的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．
3．如图1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（﹣2，0），B的坐标为（4，0）．直线l过B，C两点．点P是线段BC上的一个动点（点P不与B，C两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N．
（1）①求出抛物线的函数表达式；②直接写出直线l的函数表达式；
（2）若直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，求出此时点P的坐标．
（3）如图2，①连接BM，CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当△MBC的面积最大时，直线MN上另有一动点E，在坐标平面内是否存在点F，使
以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理
由．
4．如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）设△COB沿x轴正方向平移t（0＜t≤3）个单位长度时，△COB与△CDB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
考生请注意：下面的（3），（4），（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记哟！
（3）点P是x轴上的一个动点，过点P作直线l∥AC交抛物线与点Q，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设点Q是y轴右侧抛物线上异于点B的点，过点Q做QP∥x轴交抛物线于另一点P，过P做PH⊥x轴，垂足为H，过Q做QG⊥x轴，垂足为G，则四边形QPHG为矩形．试探究在点Q运动的过程中矩形QPHG能否成为正方形？若能，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由；
（5）试探究，在y轴右侧的抛物线上是否存在一点Q，使△QDC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线m：y＝﹣x2+x+4与x轴交于点A、B，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180°得到新的抛物线n，此时A点旋转至E点，M点旋转至D点．（1）求A、B点的坐标；
（2）求抛物线n的解析式；
（3）若点P是线段ED上一个动点（E点除外），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；如果s有最大值，请求出s的最大值，如果没有请说明理由；
（4）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由．
6．如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣m）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，且图象经过点M（2，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴是直线x＝，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设△AEC 的面积为S1，△DEC的面积为S2，求S1：S2的值．
（3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．
8．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
9．如图，直线x＝﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x＝﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB 于D，且AD：BD＝1：3．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．
11．如图1，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，∠yOC＝45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝，抛物线y＝ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．
（1）求∠OBC的度数；
（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE＝S四边形OCDB，求此时P点的坐标；
（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．
14．已知抛物线l：y＝ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN 为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
15．平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y＝ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；
（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O ﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线C1：y＝（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y＝﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．
（1）如图1，若m＝．
①当OC＝2时，求抛物线C2的解析式；
②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且
AP＝BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）如图2，当OB＝2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．
17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m＝2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x＝1是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而
行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC 于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ：S△MEB＝1：3时，求点M的坐标．
20．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、
C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC 沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．
22．如图，抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣2（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m﹣1）．连接并延长P A、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC．点C关于直线l的对称点为C′，连接PC′，即有PC′＝PC．将△PBC绕点P 逆时针旋转，使点C与点C′重合，得到△PB′C′．
（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．
23．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知：直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为A（0，2），同时这条直线与x轴相交于点B，且相交所成的角β为45°．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y＝ax2﹣bx+c的解析式；
（3）判断抛物线y＝ax2﹣bx+c与x轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M，N（点M在点N左边），将此抛物线关于y轴作轴反射得到M的对应点为E，轴反射后的像与原像相交于点F，连接NF，EF得△NEF，在原像上是否存在点P，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP＝OB＝t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D 依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y＝ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t＝1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t 的取值范围．
26．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM＝t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；
②求S与t的函数关系式；
（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．
27．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
28．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．
（1）若抛物线l：y＝ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：；
（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；
（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q 的横坐标的取值范围．
29．已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ＝AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+12的图象与y轴交于点A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．
（1）点B的坐标为，点C的坐标为；
（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM＝AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N（点Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n．
①如图2，当n＜AC时，求证：△P AM≌△NCP；
②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；
③若PM的长为，当二次函数y＝﹣x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．
鲁教五四版九年级（上）中考题同步试卷：2.8 二次函数
的应用（14）
参考答案
一、解答题（共30小题）
1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．y ＝﹣x2﹣3；y＝﹣x﹣3；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．y＝（x﹣m）2+2m﹣2；23．；24．；
25．DNA或△DPA；4﹣t；26．；27．；28．y＝x2﹣x；29．；30．（﹣9，0）；（9，0）；。