2022-2023学年江苏高一下数学同步精品讲义第03讲 正弦定理、余弦定理的应用(解析版)

第11章 解三角形
第03讲 正弦定理、余弦定理的应用
课程标准
重难点
1.掌握正余弦定理的实际应用
1.实际模型抽象为正余弦定理问题
1．三角形内角和定理
在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C
2.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin
A ＋
B 2＝cos
C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C
2
. 3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos
B ．
考法01 测量距离问题
(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，
∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.
(2)如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40 m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A ，B 两点的距离是________．
例 1
能力拓展
知识精讲
目标导航
【答案】(1)60 (2)20 6 m 【解析】(1)tan 30°＝
CD AD ，tan 75°＝CD
DB
， 又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60.
(2)在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ， ∴BD ＝CD ＝40，BC ＝
BD 2＋CD 2＝40 2.
在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin 30°
sin 45°＝20 2.
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA ＝(202)2＋(402)2－2×402×202cos 60°＝2 400， ∴AB ＝206，
故A ，B 两点之间的距离为20 6 m. 【方法技巧】
测量距离的基本类型及方案
类型
A ，
B 两点间不可通或不可视
A ，
B 两点间可视，
但有一点不可达
A ，
B 两点都不可达
图形
方法
先测角C ，AC ＝b ，
BC ＝a ，再用余弦定
理求AB
以点A 不可达为
例，先测角B ，C ，BC ＝a ，再用正弦
定理求AB
测得CD ＝a ，∠BCD ，∠BDC ，∠ACD ，∠
ADC ，∠ACB ，在△ACD
中用正弦定理求AC ； 在△BCD 中用正弦定理求BC ；
在△ABC 中用余弦定理求AB
【跟踪训练】
1．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( ) A ．10 3 海里
B.106
3
海里
C ．5 2 海里
D ．5 6 海里
【答案】D
【解析】如图所示，根据题意，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，AB ＝10，∴C ＝45°.由正弦定理可得
AB sin C ＝BC sin A ，即1022＝BC
3
2
，∴BC ＝56(海里)．故选D. 2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为
3a
2
的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离． 【解析】∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°.∴AD ＝CD ＝AC ＝
3
2
a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，∵BC sin 30°＝CD sin 45°，∴BC ＝6
4
a .
在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 45°＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝3
8a 2.
∴AB ＝
64a .∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为6
4
a .
考法02 测量高度问题
如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两点C 与D .现测得∠BCD
＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB . 【解析】在△BCD 中，∠CBD ＝π－(α＋β)． 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD
sin ∠CBD .
∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin β
sin (α＋β)
.
在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θ
sin (α＋β).
【方法总结】
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
例 2
【跟踪训练】
1.如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .
【解析】由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，
在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°
sin 15°＝800×
2
26－2
4 ＝800(3＋1)(m)． 即山的高度为800(3＋1)m.
考法03 测量角度问题
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航
舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10 海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
[【解析】设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，
可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－1
2(舍去)．
所以护航舰需要1小时靠近货船． 此时AB ＝103，BC ＝10，
在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB
sin 120°，
所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°
AB ＝10×
32103＝12
，
所以∠CAB ＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°. 【方法总结】测量角度问题的基本思路
例 3
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解
【跟踪训练】某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 2 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向． 【解析】如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20. 由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202， BC ＝(3＋1)·10 2.在△ADC 中， 因为DC 2＝AD 2＋AC 2， 所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32
.
所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°，又D 位于A 的正北方向， 又因为∠ADC ＝45°，所以台风移动的方向为北偏45°
题组A 基础过关练
一、单选题
1．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A 地测得纪念塔顶D 的仰角为45°，乙同学在二七广场B 地测得纪念塔顶D 的仰角为30°，塔底为C ，（A ，B ，C 在同一水平面上，DC ⊥平面ABC ），测得63m AB =，
30ACB ∠=︒，则纪念塔的高CD 为（ ）．
A ．40m
B ．63m
C ．403
D ．633【答案】B
分层提分
【解析】
如图所示，45,300,3ACB DAC CBD ∠︒∠∠===，设塔高为m ，因为DC ⊥平面ABC ，所以
,DC CA DC CB ⊥⊥，
所以,3AC m BC m ==，又2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠，即2223
633232
m m m m =+-⨯⨯⨯， 解得63m =.故选：B.
2．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50m BC =，105ABC ∠=，45BCA ∠=．就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）．
A ．20 m
B ．25 m
C ．40 m
D ．502【答案】D
【解析】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=， 由正弦定理得:50
2
1sin sin 2
2AB BC AB ACB BAC =⇒=⇒=∠∠ 故选：D
3．在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则（ ） A ． ABC 是锐角三角形
B ． AB
C 是直角三角形
C．ABC是钝角三角形D．ABC的形状不确定【答案】C
【解析】因为222
a b c
+<，
所以
222
cos0
2
a b c
C
ab
+-
=<，
所以角C是钝角，
所以ABC是钝角三角形，
故选：C
4．“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄
金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中
51 sin18
4
-
︒=，
则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）．
A．51
4
-
B．5
5
C．51
6
+
D．
35
20
【答案】B
【解析】如图所示，
依题意，在三角形ABC 中，512sin184BC
AC -︒==，故512
BC AC -=； 所以
51
2
BD AB -=， 设ABC 的面积为x ，则BCD △面积为
512x -，同理CEF △的面积为51
2
x -， CDE △的面积为x ，
则阴影部分面积与五角形面积的比值为
51
2252551
262
x x
x x
-+⋅
=-⋅+. 故选：B ．
5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos =c b A ，则ABC 为（ ） A ．等腰非等边三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形
【答案】C
【解析】cos =c b A ，所以sin cos sin C A B =.在ABC 中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，故
sin cos 0A B =，
因为sin 0A ≠，所以cos 0B =，因为0πB <<，所以π
2
B =，故AB
C 为直角三角形. 故选：C ．
6．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC ，如图，测得30DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，14AB =米，则岳阳楼的高度CD 约为（ ）（参考数据：
2 1.414≈、
3 1.732≈）
A ．18米
B ．19米
C ．20米
D ．21米
【答案】B
【解析】Rt ADC 中，30DAC ︒∠=，则AC =，Rt BDC 中，45DBC ︒∠=，则BC CD =，
由AC -BC =AB 141)19.124
CD CD -=⇒=≈，CD 约为19米. 故选：B 二、多选题
7．在ABC 中，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若2,60b ac B ==︒，则ABC 是等边三角形 B ．若22sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若222cos sin sin 1A B C ++<，则ABC 是钝角三角形 D ．若4,2,25a b B ===︒，则这样的ABC 有2个 【答案】ACD
【解析】A 中由2b ac =及2222cos60b a c ac =+-︒得a c =，所以ABC 是等边三角形，A 正确. B 选项中，如60,30A B =︒=︒时，ABC 不是等腰三角形，所以B 错误；
C 选项中，化简为2222sin sin 1cos sin B C A A +<-=，由正弦定理得222b c a +<，再由余弦定理得cos 0A <，所以ABC 是钝角三角形，C 选项正确；
D 选项中知sin a B b a <<成立，所以这样的三角形有2个，D 选项正确. 故选：ACD
8．在△ABC 中，若():():()9:10:11a b a c b c +++=，下列结论中正确的有（ ） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C = B ．△ABC 是钝角三角形
C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则△ABC 【答案】ACD
【解析】由题意，设9,10,11a b x a c x b c x +=+=+=，解得4,5,6a x b x c x ===； 所以sin :sin :sin 4:5:6,A B C =A 正确；
由以上可知C 最大，222(4)(5)(6)1
cos 0,2458x x x C x x +-=
=>⨯⨯C 为锐角，B 错误； 由以上可知A 最小，222(5)(6)(4)3
cos ,2564
x x x A x x +-=
=⨯⨯ 291
cos 22cos 121168
A A =-=⨯-=，即cos cos2C A =,
因为C 为锐角，2A 为锐角，所以2C A =，C 正确； 因为1cos 8C =
，所以237sin 1cos 8
C C =-=， 设△ABC 外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得167
2sin 7
c r C ==
， 所以87
7
r =
，D 正确故选ACD. 三、填空题
9．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cm 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为___________cm .
【答案】120 【解析】
如图所示，设圆弧圆心为O ，半径为R ，三个小球的球心自左至右分别为1O ，2O ，3O ，设134O OO θ∠=， 由题意可知，1120
sin 20
O Q OO R θ=
=-， 且()()()2
22122120cos22020cos2220sin h O M O M O N O P OO OO R R R θθθ=-=-==-=---=-即
()2220sin 8R θ-=，
所以()2
20220820R R ⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭，解得120R =，
故答案为：120.
10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知22sin sin 2sin sin B C C B +=，6a =，
1
cos 4
A =-，则ABC 的面积S 为_______． 【答案】
154
【解析】由题意得：由22sin sin 2sin sin B C C B +=，可得2220b bc c --=，即(2)()0b c b c -+= 所以2b c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222
16444c c c ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭
所以1c =，2b =，又由1
cos 4
A =- 可得15
sin 4A =，则111515sin 212244
S bc A ==⨯⨯⨯=． 故答案为：154
四、解答题
11．如图，D 是直角三角形ABC 斜边BC 上一点，3AC DC =.
(1)若30DAC ∠=，求角ADC ∠的大小； (2)若2BD DC =，且1DC =，求AD 的长. 【解析】 (1)在ADC 中，由正弦定理得 sin sin AC DC
ADC DAC
=∠∠，
所以，sin 13
sin 32AC DAC ADC DC ⋅∠∠=
==
又(90)6060ADC B BAD B DAC B ∠=+∠=+-∠=+> 所以，120ADC ∠=.
(2)由2BD DC =，且1DC =知：3,3BC AC ==所以，直角三角形ABC 中，3
cos AC C BC ==
在ADC 中，由余弦定理得
22223
2cos (3)123123
AD AC DC AC DC C =+-⋅=+-⨯⨯
= 所以，2AD =.
12．已知a 、b 、c 分别为ABC 内角A 、B 、C 的边，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+. (1)求A ；
(2)若7a =，ABC 的面积为
33
2
，求ABC 的周长. 【解析】 (1)因为sin sin sin sin b C a A b B c C +=+ 由正弦定理得222bc a b c +=+， 则222bc b c a =+- 由余弦定理得2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=
==，又()0,A π∈， 故3
A π=
；
(2)由ABC 的面积为1333
sin 242
S bc A bc ===
，所以6bc = 由余弦定理2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，因为7a =，所以2213b c +=
所以22213125b c b c bc +=++=+= 故ABC 的周长为75a b c ++=+
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19km ，速度为300km /h ，飞行员先在A 处看到山顶的俯角为45︒，经过2min 后，又在B 处看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：3 1.732≈）
A ．4.3km
B ．5.3km
C ．6.3km
D ．13.7km
【答案】B
【解析】如图，过C 点作直线AB 的垂线，垂足为D .
由题意得130010km 30
AB =⨯
=，30ACB ∠=︒，因为sin sin AB BC
ACB BAC =∠∠，所以
sin 102km sin BAC BC AB ACB
∠=⋅
=∠，又因为()62
sin 75sin 45304+︒=︒+︒=，
所以62
sin 1025(31)13.66km 4
CD BC CBD +=⋅∠=⋅=+≈.故山顶的海拔约为1913.66 5.3km -≈. 故选：B
2．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有,,A B C 三点，且A B C ，，
在同一水平面上的投影111A B C ，，满足11145AC B ∠=︒，11160A
B C ∠=︒，由C 点测得B 点的仰角为15︒，1BB 与1CC 的差为150，由B 点测得A 点的仰角为45︒，则,A C 两点到水平面111A B C 的高度差11AA CC -约为（ ）（3 1.732≈）
A ．273
B ．260
C ．410
D ．560
【答案】D
【解析】111180456075C A B ∠=︒-︒-︒=︒，
C 点测得B 点的仰角为15︒，所以11150
tan15B C =
︒
, 在三角形111A B C 中，由正弦定理得
11111111sin 45,sin 75sin 45sin 75B C A B B C A B ⋅︒
==︒︒︒
，
由于由B 点测得A 点的仰角为45︒， 所以高度差11AA CC -等于1111sin 45150150
sin 75B C A B ⋅︒
+=
+︒
150150cos15sin 45sin 45tan15sin15150150
sin 75sin 75⋅︒
⋅︒⋅︒
︒︒=+=+︒︒ 150cos15sin 45150cos15sin 45150150sin15sin 75sin15cos15⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒
=
+=+︒⋅︒︒⋅︒
()150sin 45150sin 45150150sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒︒=+=+︒-︒︒︒-︒︒
150150150150
cos30sin 30=
+==︒-︒ 300
1504601.7321
≈
+≈-.
故选：D
3．ABC 的外接圆半径2R =，角2
3
C π=，则ABC 面积的最大值为（ ）
A
B
．C ．4 D
．【答案】A
【解析】解：由正弦定理得22sin 22sin
3
c R C π
==⨯⨯= 所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得： 2212a b ab =++， 所以22122ab a b ab -=+≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以4ab ≤，
所以11sin 422ABC S ab C =≤⨯=△故选：A
4．测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗
杆的高度，已知该旗杆MC （C 在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A ，
B 的距离为45
m 2
，测得θ∠=MBA ，56MAB π
θ∠=
-，其中1sin 3
θ=，在A 点处测得旗杆顶点的仰角为ϕ，3cos 5ϕ=，则该旗杆的高度为（单位：
m ）（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
【答案】B
【解析】
在ABM 中，452AB =，6
AMB π∠=，1
sin 3MBA ∠=， ∵
sin sin AB MA
AMB MBA
=∠∠，
∴15MA =，
在Rt ACM △中，4
sin 15sin 15125
MC MA MAC ϕ=∠=⨯=⨯
=.故选：B. 5．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222cos cos cos sin sin 1A C B A C +-+=，且满足关系式
cos cos 2sin sin 3sin B C A B
b c C
+=，则a c +的取值范围是（ ） A ．(3,23]
B ．323⎝⎦
C ．323⎝⎭
D ．(3,23]
【答案】D
【解析】222cos cos cos sin sin 1A C B A C +-+=, 222sin sin sin sin sin 0A C B A C ∴--++=
由正弦定理可得222a c b ac +-=， 再由余弦定理可得1
cos 2
B =
， 0B π<<,3
B π
∴=
.
所以在锐角ABC 中，6
2
A π
π
<<
，
由正弦定理得：
cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A B
b c bc b C b C C
+++==== 所以3
32sin b B
=
所以()2sin sin 2sin 2sin 3sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛
⎫+=
+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为
23
6
3
A π
π
π<+
<
， 所以
3sin 126A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭， 所以(
3,23a c ⎤+∈⎦.故选：D.
6．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A 测得滕王阁顶端仰角为30，此人往膝王阁方向走了42米到达点B ，测得滕王阁顶端的仰角为45︒，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：3 1.732≈）
A ．49米
B ．51米
C ．54米
D ．57米
【答案】D
【解析】设滕王阁的高度为h ，由题设知：45,30CBD CAD ∠∠=︒=︒， 所以BD CD h ==，则42AD AB BD h =+=+，
又3tan 42CD h CAD AD h ∠===
+5731h =≈-米. 故选：D 二、多选题
7．在△ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若2sin a b A =，则6
B π
=
B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．2245AB B ∠︒==，，若6AC =
D ．若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形 【答案】BC
【解析】选项A ，2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1
sin 2
B =
，而
(0,)B π∈，所以6
B π
=
或56
B π
=
，A 错； 选项B ， △ABC 中，
sin sin a b
A B
=，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；
选项C ，由于sin sin AB AC
C B
=，sin
C π
==，又AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角形有两解，C 正确；
选项D ，222b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．
8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C = B ．ABC 是钝角三角形
C ．若6c =，则ABC
D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD
【解析】由正弦定理得：sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，A 正确；
大边对大角，故C 最大，设()4,5,60a k b k c k k ===>，则2222221625361
cos 022458
a b c k k k C ab k k +-+-===>⨯⨯，
故ABC 是锐角三角形，B 错误；
因为6c =，所以4,5a b ==，由1cos 8C =
得：sin C =ABC 的面积为
11sin 4225ab C =⨯⨯=
C 正确；
此时设ABC 内切圆半径为r ，则()11522a b c r r ++==
r =D 正确. 故选：ACD 三、填空题
9．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________. 【答案】9
【解析】解：∵a 2
＝b 2
＋c 2
－bc ，∴bc ＝b 2
＋c 2
－a 2
，∴cos A ＝222
2b c a bc
+-＝12，
∵A ∈(0，π)，∴A ＝3
π
.
∵a ＝3，∴由正弦定理得
sin a A ＝sin b
B ＝sin c C
＝ ∴b ＝B ，c ＝C ，
则a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin 2()3
B π
- ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ()6
B π
+，
∵B ∈2(0,)3π
，所以5666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，
∴当B ＝
3
π
时，△ABC 的周长取得最大值9. 故答案为：9.
10．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km ，水的流速为2km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6min ，则客船在静水中的速度为___________km/h ．
【答案】62
【解析】设AB 与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h. 如图示：
由题意知, 0.63sin 15θ=
=，所以2
2
cos 1sin 13455θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=-=-= 所以由余弦定理得22
21114212211010105v ⎛⎫⎛⎫
=⨯+-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得62v =故答案为：2四、解答题
11．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3a =且
)
()()3sin sin sin b A B c b C -=-．
(1)求角A
(2)若△ABC 为钝角三角形，求△ABC 周长的取值范围． 【解析】 (1)
∵a =
)(sin sin )()sin b A B c b C -=-， ∴()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，
由正弦定理可得()()()a b a b c c b +-=-，即222b c a bc +-=，
所以2221
cos 22
b c a A bc +-=
=，又()0,A π∈， 所以3
A π=；
(2)
解：因为a =3
A π=
，所以由正弦定理有
22sin sin sin a b c
R A B C
====， 因为△ABC 为钝角三角形，3A π=，不妨设B 为钝角，则02
232C B C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩
，所以06C π<<，
所以()22sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 3b c R B R C B C C C π⎛⎫
+=+=+=-+ ⎪⎝⎭
3sin 6C C C π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
因为06
C π
<<
，所以
6
6
3
C πππ<+
<
，所以
1sin 262C π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭，
36C π⎛
⎫<+< ⎪⎝
⎭
3b c <+<
，所以3a b c <++<+
所以△ABC
周长的取值范围为(+.
12．已知△ABC 的面积为S ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且)
222
4S b a c =--.
(1)求B 的大小； (2)若2
3
AD AC =
，且BD =2，求S 的最大值. 【解析】 (1)由题意得， 1
sin 2
S ac B =
，2224)S b a c =--， 又222
cos 2a c b B ac +-=，
所以1
4sin 2
ac B ⨯
=222)b a c -
-222)cos a c b B =+-=-，
即sin =B B
，所以tan B = 又0180B ︒<<，所以120B ︒=； (2) 因为23
AD AC =
，所以21
33AD b DC b ==，，
在ABD △和BDC 中，由余弦定理得，
2222
44
4499cos 282233b c b c BDA b b
+-+-∠==⨯⨯，
2222
11
4499cos 142233
b a b a BDC b b
+-+-∠==⨯⨯，
又cos cos BDA BDC ∠=-∠，所以22
4
4983b c b +-=-2214943b a b +-， 整理，得22
222123
a c
b +=+，即22233182b a
c =+-，
在ABC 中，由余弦定理得， 222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，
所以2
233182a c +-22a c ac =++，
得2
2118222
ac a c ac +=+≥，则18ac ≤，
当且仅当2c a =即36a c ==、时等号成立，
所以1sin 182S ac B =
=≤=
故S
.
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）
A ．()2021-千米
B ．()4021-千米
C ．()2021+
D ．()
4021+ 【答案】D
【解析】
在ABC 中，135AOB ∠=︒，
设,AO a BO b ==，
则(222222cos135222AB a b ab a b ab ab =+-︒=+≥， 当且仅当a b =时取等号，
设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，
又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α
=，()20sin 45b α=︒-， 故()()400sin sin 452sin 245222
ab ααα==︒-+︒--（22.5α=︒时取等号）， 所以)22160022
16002122AB ≥
=-，得)
4021AB ≥， 故选：D 2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，且)2223ABC S a b c =+-，则2
c a b
+的取值范围是（ ）
A
．(
B
．(6, C
．12⎡⎢⎣⎭ D
．)
2 【答案】D 【解析】在锐角ABC
中，由余弦定理及三角形面积定理得：
222)cos ABC S a b c C =
+-=1sin 2ab C =，
即有tan C =(0,)2C π∈，则π3C =，又sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，
由正弦定理、余弦定理得，222222
2223b c a a b c b bc ab a a c
+-+-=+
，化简得：c =，
由正弦定理有：4sin sin sin a b c A B C ====，即4sin a A =，4sin b B =， ABC 是锐角三角形且π3C =，有π(0,)2A ∈，2ππ(0,)32
B A =-∈，解得ππ(,)62A ∈， 因此2π4(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A +=+=+
-1π4(sin sin ))26
A A A A =++=+， 由ππ(,)62A ∈得：π2(,)633A ππ+∈
，sin()6A π+∈，
所以2122))6
c a b A π=∈++． 故选：D
3．在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（ ）
A ．90m
B ．100m
C ．110m
D ．270m 【答案】A
【解析】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=， 则22tan 22.5tan 4511tan 22.5=
=-，解得tan 22.521=， 22tan 67.5tan13511tan 67.5
==--，解得tan
67.52+1=，
所以222540+=
，解得z =
所以()906211803906x =-=-，()
9062+11803+906y ==， 要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，
又1122ABO S OA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即()()
180********+90690540OA OB OC AB -⨯===， 所以C 点到塔底O 的距离为90m ，
故选：A.
二、多选题
4．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）
A ．ABC 是等边三角形
B ．若3A
C =A ，B ，C ，
D 四点共圆
C ．四边形ABC
D 533 D ．四边形ABCD 533- 【答案】AC
【解析】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，
3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，
332sin ,sin B B =∴=
a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2
B π∴∈， ,3B AB
C π
∴=∴△是等边三角形，A 正确；
B 不正确：若,,,A B
C
D 四点共圆，则四边形对角互补，
由A 正确知21,cos 32
D D π∠==-，
但由于1,3,DC DA AC ===
22211cos 232
DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅， ∴B 不正确．
C 正确，
D 不正确：
设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，
(106cos )ABC S θθ∴-=△， 3sin 2
ADC S θ=△，
3sin 2ABC ADC ABCD S S
S θθ∴=+=四边形
13(sin cos 2θθ=⋅-+
3sin()3π
θ=-
(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，
3ABCD S <≤四边形，∴C 正确，D 不正确； 故选：AC.．
三、填空题
5．拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在ABC 中，120A ∠=︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若123O O O
的面积为ABC 的周长的取值范围为__________．
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：
设AB x =，AC y =，120BAC ∠=︒，
所以以AC 、AB 为边作等边三角形，其中一边在BA 、CA 的延长线上；
由AC y =，3CM y ，2y AM =，1133O M CM =；所以，1(2y O -3)； 同理，2(2x O ，3)； 2222221233()11||())()()224123
x y x y O O x y x y +=++=++=+； 所以等边△123O O O 的面积为123222121313sin 60||())2323O O O S O O x y x y =︒⋅++= 解得2()24x y +=，所以26x y +=；
在ABC 中，由120BAC ∠=︒， 所以222222cos120()24BC x y xy x y xy x y xy xy +-︒+++-- 所以ABC 的周长为24624l x y xy xy =+-=-，
又222()224x y x y xy +=++=，且222x y xy +，
所以424xy ≤，解得6xy ≤，当且仅当6x y ===”； 又0x >，0y >，所以06xy <≤，
624[2632l xy =-46)，
即ABC 的周长最小值为[2632,6)． 故答案为：[2632,6)．
四、解答题
6．如图，扇形OMN 33
π，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上一点且满足
23
OBA π∠=.
(1)若1OB =，求AB 的长；
(2)求△ABM 面积的最大值.
【解析】 (1)在△OAB 中，由余弦定理得，2222cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅，
即213122AB AB ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭
，即220AB AB +-=，即()()210AB AB +-=， ∴1AB =； (2)3MOB π∠=
，23OBA π∠=，MOB OBA ∠∠π∴+=，OM ∴∥AB ， MAB OAB S S ∴=，
设OB x =，AB y =，
则在OAB 中，由余弦定理得222,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅， 即22321x y xy xy xy xy =+++⇒，当且仅当1x y ==时取等号， ∴11333sin 224OAB S OB AB OBA x y xy ∠=⋅⋅⋅=⋅⋅=，当且仅当1x y ==时取等号. ∴△ABM 3。