山西省大同市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析

山西省大同市2021届新高考数学一月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）
A ．∅
B ．1{|}2
x x <-
C ．5{|}3
x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】
{}1210|2S x x x x ⎧
⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，
{}5|350|3T x x x x ⎧
⎫=-<=<⎨⎬⎩
⎭，
则15|23S T x x ⎧
⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭
故选D 【点睛】
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
2．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．
的是
A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段
B ．平面DMN ⊥平面11BC
C B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值
D ．DMN ∆可能为直角三角形
【解析】 【分析】
A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；
B 项利用线面垂直的判定定理；
C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;
D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形. 【详解】
A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；
B 项，如图：
当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；
C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；
D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】
本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.
3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12
y x = B ．2x y =
C ．
12
log y = x
D ．1
y x
=-
【答案】C 【解析】
由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】
因为函数12
,2x y x y ==和1
y x =-在(0,)+∞递增，而
12
log y x =在(0,)+∞递减.
故选：C 【点睛】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.
4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3
C ．1或
53
D ．-3或
173
【答案】D 【解析】 【分析】
4=，解方程即得k 的值.
【详解】
4=，解方程即得k=-3或173
.
故答案为：D 【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点
00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离d =
.
5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，
角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，
整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1
cos 3A =-
，再由余弦定理得3bc =，又222
2a b c --=
，代入公式=S 求解. 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭
r r ，若()()
a b a b +⊥-r r r r
，则实数m 的值为（ ）
A ．
12
B ．
2
C ．12
±
D ．2
±
【答案】D 【解析】 【分析】
由两向量垂直可得()()
0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知22
0a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的
值. 【详解】
解：()()
a b a b +⊥-r r r r Q ，()()
0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即22
0a b -=r r ，
将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
r 代入，得出2
34
m =，所以2m =±
. 故选:D. 【点睛】
7．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）
A ．
B ．
2
C ．12
-
D ．
12
【答案】D 【解析】 【分析】
利用109080,1409050︒
︒
︒
︒
︒
=-=+o
，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】
由809010,1409050︒︒︒︒︒
=-=+o
所以(
)sin10sin 9080
cos10︒
︒︒
︒=-=
()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，
所以原式(
)
sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒
︒
︒
︒︒
=-=- 所以原式1sin 302
==
o
故1sin80cos50cos140sin102
︒
︒︒
︒
+= 故选：D 【点睛】
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
8．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8y
x =+，则表中数据m 的值为（ ）
A ．0.9
B ．0.85
C ．0.75
D ．0.5
【答案】A 【解析】 【分析】
计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】
由题意
0123
1.5
4
x
+++
==，
3 5.5715.5
44
m m
y
++++
==，
∴
15.5
2.1 1.50.85
4
m+
=⨯+，解得0.9
m=．
故选：A.
【点睛】
本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)
x y．
9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3
【答案】D
【解析】
【分析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【详解】
年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 累计装机容量158.1 197.2 237.8 282.9 318.7 370.5 434.3 489.2 542.7 594.1 新增装机容量39.1 40.6 45.1 35.8 51.8 63.8 54.9 53.5 51.4 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经
197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8
D ．32log 5+
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】
∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，
∴5
3132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．
11．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）
A ．[0,4]
B ．{0,2,4}
C ．{2,4}
D ．[2,4]
【答案】B 【解析】 【分析】
计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】
{}
{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，
故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
12．已知向量r ，(2,)b m =-r ，若||||a b a b +=-r r r r
，则m =（ ）
A ．12
-
B ．
12
C ．-8
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出向量a b +r r ,a b -r r
的坐标，然后由||||a b a b +=-r r r r 可求出参数m 的值.
【详解】
由向量(1,4)a =r ，(2,)b m =-r
，
则()1,4a b m +=-+r r ，()3,4a b m -=-r r
||a b +r r ||a b -=r r
又||||a b a b +=-r r r r 12
m =.
故选：B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若0a b +≠，则()
22
2
1
a b a b ++
+的最小值为________.
【解析】 【分析】
由基本不等式，可得到2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，然后利用
22
2
22
1()1()2()a b a b a b a b +++≥+≥++ 【详解】
由题意，2222222
2
2
()()2()222
≥a b a b a b ab a b a b +++++++==
，当且仅当a b =时等号成立，
所以22
2
22
1()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++22()12()a b a b +=+时取等号，
所以当3
4
2a b -
==时，22
2
1
()a b a b ++
+．
利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件。

14．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，
1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的离心率为_________.
【解析】 【分析】
由已知可得212=b AF AB a =，结合双曲线的定义可知2
122b AF AF a a
-==，结合222c a b =+ ，从而
可求出离心率. 【详解】
解：1
22,//FO F O OD F B =Q ,1DF DB ∴=，又1AD BF ⊥Q ，则122AF AB AF ==. 2
2b AF a
=Q ，212=b AF AB a ∴=，2122b AF AF a a ∴-==，即22222b a c a ==-
解得c =
，即e =故答案为
: 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出2
2b AF a
=.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为1
2n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n
n n n a b a a +=
--，数
列{}n b 的前项和为n T ，则满足2017
2018
n T >的最小正整数n 的值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】
本题先根据公式1,1
S n a =⎧=初步找到数列{}a 的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得m
的值，即可确定数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b 的表达式计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和n T ，再代入不等式2017
2018
n T >进行计算可得最小正整数n 的值． 【详解】
由题意，当1n =时，11
1124a S m m +==+=+．
当2n …
时，11222n n n n n n a S S m m +-=-=+--=． 则4
4216a ==，5522230a -=-=．
1a Q ，4a ，52a -成等差数列，
15422a a a ∴+-=，即430216m ++=⨯，
解得2m =-．
12a ∴=．
2n n a ∴=，*n N ∈．
∴11
1211
(1)(1)(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b a a +++===-------． 12n n T b b b ∴=++⋯+
12231
111111
212121212121
n n +=
-+-+⋯+------- 11
121n +=--．
Q 20172018n T >，112017
1212018n +∴->-．
即111
212018n +<-，
1212018n +∴->，即122019n +>， 10210242019=<Q ，11220482019=>，
111n ∴+…，即10n …
． ∴满足2017
2018
n T >
的最小正整数n 的值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n 项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．。