上海市莘格高级中学2020-2021学年高二数学理期末试卷含解析

上海市莘格高级中学2020-2021学年高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知如右图，空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，=x+y+z,则x+y+z=
A. B. C.1 D.
参考答案：
B
略
2. 过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】直线的倾斜角．
【分析】设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．利用斜率计算公式可得tanθ=1，即可得出．
【解答】解：设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
则tanθ==1，∴θ=．
故选：B．
3. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且n?β，则下列叙述正确的是（）A．m∥n，m?α?α∥βB．m∥n，m⊥α?α⊥βC．α⊥β，m⊥n?n∥αD．α∥β，m?α?m∥n 参考答案：
B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理分别分析解答．
【解答】解：对于A，m∥n，m?α，n?β，?α与β可能相交；故A 错误；
对于B，m∥n，m⊥α?n⊥α，又n?β，?α⊥β；故B正确；
对于C，n?β，α⊥β，m⊥n?n与α可能相交；故C错误；
对于D，n?β，α∥β，m?α?m∥n或者异面；故D 错误；
故选B．
【点评】本题考查了面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，熟练运用相关的定理是关键．
4. 已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D．32
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作A M⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得
|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．
【解答】解：由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴，解得
p=8．
∴抛物线的方程为y2=16x．
其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．
过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．
∴|AK|=|AM|．
∴∠MAK=45°．
∴|KF|=|AF|．
∴=32．
故选D．
【点评】熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．
5. 已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率为()．
参考答案：
B
略
6. 若关于x的不等式＞m解集为｛︱0＜＜2｝，则m的值为
A.1
B.2
C.3
D.0
参考答案：
A
7. 设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以是（）
A．B．C ．D．
参考答案：
A
对求导可求得，
，
函数的定义域是，定义域关于原点对称，
令，
在，
是奇函数，函数图象关于原点对称，排除C选项和B选项，
当时，，排除D选项，故选A.
8. 编辑一个计算机运算程序：1﹡1=2，m﹡n=k，m﹡(n+1)=k+3，则1﹡2009的输出结果是（）
A．2009 B．4018 C．6011 D．6026
参考答案：
D
令，，则
∴，且
∴
∴
9. 命题“?x＞1，log2x＞0”的否定形式是（）
A．?x0＞1，log2x≤0B．?x0≤1，log2x≤0
C．?x＞1，log2x≤0D．?x≤1，log2x＞0
参考答案：
A
【考点】命题的否定．
【分析】命题是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定即可．
【解答】解：命题“?x＞1，log2x＞0”是一个全称命题，
其否定是一个特称命题．
故为：?x0＞1，log2x≤0
故选：A
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由题意不难判断六边形EFGHKL在正方体面后、下面、右面上的射影，（前后、左右、上下的射影相同）即可得到结论．
【解答】解：E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，
则六边形EFGHKL在正方体后面上的射影，
在左侧面上的射影也应该是在底面ABCD上的投影为即是B图，
故选B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有
______________个顶点.
参考答案：
略
12. 函数y=lg（2x﹣x2）的定义域是．
参考答案：
（0，2）考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接由对数式的真数大于0，然后求解二次不等式得答案．
解答：解：由2x﹣x2＞0，得x2﹣2x＜0，
解得0＜x＜2，
∴函数y=lg（2x﹣x2）的定义域是（0，2）．
故答案为：（0，2）．
点评：本题考查了对数型函数的定义域的求法，考查了二次不等式的解法，是基础题．
13. 已知，则的最大值为__________________；
参考答案：
略
14. 已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A,B是C上的两个点，线段AB的中点为
M（2,2），则△ABF的面积等于________.
参考答案：
2
15. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。

若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系
为 .参考答案：
略
16. 已知A 为射线
上的动点，B 为x 轴正半轴上的动点，若直线AB 与圆
相
切，则|AB|
的最小值为
．
参考答案：
17. 在下列命题中：①若向量a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则向量a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为__________
参考答案：
0 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数
.
求函数的最小正周期和单调递增区间； 若，求
的值；
（Ⅲ）当
时，若
恒成立，求的取值范围.
参考答案：
解：(I)
∴函数最小正周期是
. 当，即
,
函数单调递增区间为
(II)
，得
，
=
=
（Ⅲ）
，
，
的最小值为2，
由恒成立，得恒成立.
所以的取值范围为(0，4]
略
19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=1，∠B=45°，△ABC 的面积S=2 （1）求边b 的长；
（2）求△ABC 的外接圆的面积．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）先根据三角形面积公式求得c 边的长，进而利用余弦定理求得b 的值． （2）根据正弦定理利用
=2R 求得三角形外接圆的直径，根据圆的面积公式即可得解．
【解答】解：（1）∵S=acsinB=2， ∴×1×c×sin45°=2， ∴c=4
，
∴b 2=a 2+c 2﹣2accosB=1+32﹣2×1×4×cos45°，
∴b 2=25，b=5．
（2）∵b=5，∠B=45°， ∴△ABC 的外接圆的直径等于
=5
，可求△ABC 的外接圆的面积S=π×（）2=．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，圆的面积公式，正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．作为正弦定理和余弦定理的变形公式也应熟练掌握，以便做题时方便使用，属于基础题．
20. （本题满分12分）已知
． （1）求
的单调区间；（2）求函数
在
上的最值．
参考答案：
依题意得，
，定义域是
．
（1）,
令，得或
，
令
，得
，
21. 已知函数 f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间；
（2）分离参数得，令（x∈[1，2]），通过求导得到函数g （x）的单调性，从而求出g（x）的最大值、最小值，进而求出a的范围．
解答：解：（1）f′（x）=e x﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，f（x）在（lna，+∞）上单调递增．
（2）由，得，令（x∈[1，2]），
则
令，h′（x）=x（e x﹣1），
当1≤x≤2时，h′（x）＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，
∴在[1，2]上的最小值为，最大值为，∴当时，函数在[1，2]上有且仅有一个零点．
点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，（2）中分离出a，求出相关函数的单调性是解答本题的关键，本题是一道中档题．
22. 已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】当P为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a＜1；根据一元二次方程根的判别
式，得到当Q为真命题时，或．因为“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，说明命题P、Q中一个为真，另一个为假，最后据此进行分类讨论，可得a的取值范围．
【解答】解：先看命题P
∵函数y=log a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，
∴命题P为真时?0＜a＜1…（2分）
再看命题Q
当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a﹣3）2﹣4＞0?或…（4分）
由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…（6分）
（1）当P正确且Q不正确?…（9分）
（2）当P不正确且Q正确，?…（12分）
综上所述，a取值范围是…（14分）
【点评】本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．。