【精品】2017-2018学年安徽省宿州市五校联考高二(上)期末数学试卷(理科)

的焦距是 2，则 m 的值是（ ）
A．9
B．12 或 4
C．9 或 7
5．（5 分）下列曲线中离心率为 的是（ ）
D．20
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）过点（﹣ 1， 3）且平行于直线 x﹣ 2y+3=0 的直线方程为（
）
A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣ 1=0
C．x﹣2y﹣ 5=0 D．2x+y﹣5=0
．
14．（5 分）已知向量 =（1，0，1）， =（﹣ 2，﹣ 1，1）， =（3，1，0）则
=
．
15．（5 分）已知空间三点 A（0，2，3），B（﹣ 2，1，6），C（1，﹣1，5），若
，
且 分别与
垂直，则向量 =
．
16．（ 5 分）若椭圆
过抛物线 y2=8x 的焦点，且与双曲线 x2﹣y2=1 有相
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 利用△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，可得 | PF2| =| F2F1| ，根据 P 为 直线 x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】 解：∵△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形， ∴ | PF2| =| F2F1| ∵ P 为直线 x= 上一点
，其焦距是 2，即 2c=2，
则 c=1； 但不能确定焦点的位置，分两种情况讨论： ①、当椭圆的焦点在 x 轴上时，
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有 m＜8，有 8﹣m=1， 解可得 m=7； ②、当椭圆的焦点在 y 轴上时， 有 m＞8，有 m﹣8=1， 解可得 m=9； 综合可得： m=9 或 m=7， 故选： C． 【点评】 本题考查椭圆的几何性质，注意分析椭圆的焦点位置． 5．（5 分）下列曲线中离心率为 的是（ ）
）
A．
B．
C．
D．
12．（ 5 分） O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y2=4 x 的焦点， P 为 C 上一点，若 | PF| =4 ，则△ POF的面积为（ ）
A．2
B．2
C．2
D．4
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二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（ 5 分）命题 “存在实数 x，使 x＞1”的否定是
【解答】 解：经过两点 A（4， y），B（2，﹣ 3）的直线的斜率为 k= ．
又直线的倾斜角为 45°， ∴ =tan45°=1，即 y=﹣1．
故选： C．
【点评】 本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2．（5 分） “１＜x＜2”是“ｘ＜2”成立的（ ）
A．充分不必要条件
C．﹣ 1
D．1
2．（5 分） “１＜x＜2”是“ｘ＜2”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若 = ， = ， = ，则 =（ ）
A． + ﹣
B． ﹣ +
C．﹣ + +
D．﹣ + ﹣
4．（5 分）椭圆
A．
B．
C．
D．
【分析】 通过验证法可得双曲线的方程为
时，
．
【解答】 解：选项 A 中 a= ，b=2，c= 选项 B 中 a=2，c= ，则 e= 符合题意
= ，e= 排除．
选项 C 中 a=2，c= ，则 e= 不符合题意
选项 D 中 a=2，c= 则 e= ，不符合题意
故选： B．
【点评】 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，
7．（ 5 分）已知双曲线 C：
的焦距为 10，点 P（ 2，1）在 C 的渐近线上，
则 C 的方程为（
）
A．．
D．
8．（5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧 视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）如图，正方体 AC1 中， E、 F 分别是 DD1、 BD 的中点，则直线 AD1 与
答案．
【解答】 解：根据题意球的半径 R 满足 （ 2R）2=6a2， 所以 S 球=4πＲ2=6πａ2．
故选： B．
【点评】 长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．
11．（ 5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点， P 为直线
x= 上一点，△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（
10．（ 5 分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（
）
A．3πａ2
B．6πａ2
C．12πａ2
D．24πａ2
【分析】 本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分
别为 2a、 a、 a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径， 即球的半径 R 满足（ 2R）2=6a2，代入球的表面积公式， S 球=4πＲ2，即可得到
【解答】 解：如图，取 AD 的中点 G， 连接 EG，GF，∠ GEF为直线 AD1 与 EF所成的角 设棱长为 2，则 EG= ， GF=1， EF=
cos∠GEF= ，
故选： C．
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【点评】 本小题主要考查异面直线所成的角， 考查空间想象能力、 运算能力和推
理论证能力，属于基础题．
的一个焦
点，抛物线与双曲线交点为
，求抛物线方程和双曲线方程．
19．（12 分）如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面 ABCD， CD⊥PC，
（ 1）证明： CD⊥平面 PAC； （ 2）若 E 为 AD 的中点，求证： CE∥平面 PAB．
20．（ 12 分）已知圆 C：x2+（y﹣1）2=5，直线 L：mx﹣ y+1﹣m=0． （ 1）求证：对 m∈ R，直线 L 与圆 C 总有两个交点；
a，b
和 c 的关系求离心率问题．
6．（5 分）过点（﹣ 1， 3）且平行于直线 x﹣ 2y+3=0 的直线方程为（
）
A．x﹣2y+7=0 B．2x+y﹣ 1=0
C．x﹣2y﹣ 5=0 D．2x+y﹣5=0
【分析】 由题意可先设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 再由直线过点（﹣ 1，3），
代入可求 c 的值，进而可求直线的方程
2017-2018 学年安徽省宿州市五校联考高二（上）期末数学试卷 （理科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．（ 5 分）过两点 A（ 4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为 45°，则 y=（ ）
A．﹣
B．
上， ∴ a2+b2=25，
=1，
∴ b= ，a=2
∴双曲线的方程为
．
故选： A． 【点评】 本题考查双曲线的标准方程， 考查双曲线的几何性质， 考查学生的计算
能力，属于基础题． 8．（5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧
视图为（ ）
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A．
B．
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∴ ∴ 故选： C．
【点评】 本题考查椭圆的几何性质， 解题的关键是确定几何量之间的关系， 属于
基础题． 12．（ 5 分） O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y2=4 x 的焦点， P 为 C 上一点，若
C．
D．
【分析】 根据三视图的特点， 知道侧视图从图形的左边向右边看， 看到一个正方
形的面，在面上有一条对角线， 对角线是由左下角到右上角的线， 得到结果．
【解答】 解：侧视图从图形的左边向右边看，
看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，
故选： D．
【点评】 本题考查空间图形的三视图，考查侧视图的做法，本题是一个基础题，
同的焦点，则该椭圆的方程为
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 .）
17．（ 10 分）直线 l 的倾斜角为 135°，且经过点 P（ 1， 1）． （ 1）求直线 l 的方程； （ 2）求点 A（ 3， 4）关于直线 l 的对称点 A′的坐标．
18．（ 12 分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线
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（ 2）求直线 L 与圆 C 截得的线段的最短长度，以及此时直线 L 的方程； （ 3）设直线 L 与圆 C 交于 A、 B 两点若 | AB| = ，求 L 的倾斜角．
21．（12 分）如图， F1、F2 分别是椭圆 C：
（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，
A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，∠ F1AF2=60°． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）已知△ AF1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值．
的焦距为 10，点 P（ 2，1）在 C 的渐近线上，
则 C 的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 利用双曲线 C：
的焦距为 10，点 P（2，1）在 C 的渐近线上，
建立方程组，求出 a， b 的值，即可求得双曲线的方程．
【解答】 解：∵双曲线 C：
的焦距为 10，点 P（ 2， 1）在 C 的渐近线
4．（5 分）椭圆
的焦距是 2，则 m 的值是（ ）
A．9
B．12 或 4
C．9 或 7
D．20
【分析】 根据题意，分两种情况讨论：①、椭圆的焦点在 x 轴上，②、椭圆的焦
点在 y 轴上，利用椭圆的几何性质可得 m﹣2=1 或 2﹣m=1，解可得 m 的值，
即可得答案．
【解答】 解：根据题意， 椭圆的方程为： 椭圆
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．（ 5 分）过两点 A（ 4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为 45°，则 y=（ ）
A．﹣
B．
C．﹣ 1
D．1
【分析】 由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得 y 的值．
故 “＜１x＜2”是 “＜ｘ2”成立的充分不必要条件．
故选： A．
【点评】 本题考查的知识点是必要条件， 充分条件与充要条件判断， 其中熟练掌
握集合法判断充要条件的原则 “谁小谁充分，谁大谁必要 ”，是解答本题的关
键．
3．（ 5 分）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若 = ， = ， = ，则 =（ ）
【解答】 解：由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0
∵过点（﹣ 1，3）
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代入可得﹣ 1﹣6+c=0 则 c=7 ∴ x﹣2y+7=0 故选： A． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解， 解决本题的关键根据直线平行的条件
设出所求的直线方程 x﹣2y+c=0．
7．（ 5 分）已知双曲线 C：
EF所成的角余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（ 5 分）设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为（
）
A．3πａ2
B．6πａ2
C．12πａ2
D．24πａ2
11．（ 5 分）设 F1、F2 是椭圆 E： + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点， P 为直线
x= 上一点，△ F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】 设 A={ x| 1＜x＜2} ，B={ x| x＜2} ，判断集合 A，B 的包含关系，根据 “谁
小谁充分，谁大谁必要 ”的原则，即可得到答案．
【解答】 解：设 A={ x| 1＜x＜2} ， B={ x| x＜ 2} ，
∵ A?B，
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A． + ﹣ 【分析】 将向量
B． ﹣ +
C．﹣ + +
D．﹣ + ﹣
分解成 + ，然后将利用相等向量和向量的三角形法则
将 与 化成用 、 、 表示即可．
【解答】 解： = +
=﹣ + ﹣
=﹣ + ﹣ 故选： D．
【点评】本题主要考查了空间向量的加减法， 解题的关键是利用向量的三角形法 则，属于基础题．
22．（ 12 分）三棱锥 P﹣ABC中，侧面 PAC与底面 ABC垂直， PA=PB=PC=．3
（ 1）求证： AB⊥BC；
（ 2）设
，求 AC与平面 PBC所成角的大小．
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2017-2018 学年安徽省宿州市五校联考高二 （上） 期末数 学试卷（理科）
参考答案与试题解析
考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．
9．（5 分）如图，正方体 AC1 中， E、 F 分别是 DD1、 BD 的中点，则直线 AD1 与
EF所成的角余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E，得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．