2018届高考数学黄金考点精析精训考点25双曲线与抛物线的方程及几何性质文

考点25 双曲线与抛物线的方程及几何性质
【考点剖析】
1.最新考试说明：
（1）了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用 .
（2）了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质 .
（3）理解数形结合的思想 .
（4）了解圆锥曲线的简单应用 .
2.命题方向预测：
纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.
高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，过焦点的直线较多.
选择题或填空题抛物线与椭圆、双曲线综合趋势较强，涉及直线与抛物线位置关系的解答题增多.
3.课本结论总结：
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2. 双曲线的几何性质
>
3.抛物线方程及其几何性质
y2=－2px（p
＞0）
0 4.名师二级结论：
双曲线：
一条规律
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2
、b 2
，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2
、b
2
的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2
n
2＝
λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范
(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2
＝b 2
＋c 2
，而在双曲线中c 2
＝a 2
＋b 2
.
(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．
双曲线的标准方程中，对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．
若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.
(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±b
a x ，
y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝±a
b
x . 抛物线： 一个结论
焦半径：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p
2.
两种方法
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2
＝ax(a≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2
＝by(b≠0)． 5.考点交汇展示：
（1）与导函数及其应用交汇
在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.
【答案】0y a --=或0y a ++=（Ⅱ）存在
【解析】（Ⅰ）由题设可得)M a ，()N a -，或()M a -，)N a .
∵12y x '=，故24
x y =在x =C 在,)a 处的切线方程为
y a x -=-0y a --=.
故2
4
x y =在x =-处的到数值为C 在(,)a -处的切线方程为
y a x -=+0y a ++=.
0y a --=0y a ++=. ……5分
（2）与解三角形交汇
【2018届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期期中联考】已知双曲线E ：
22x a ﹣2
2
y b =1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b ，则E 的离心率为（ ）
【答案】B
【解析】由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由
P 关于原点的对称点为Q 则OP OQ =
∴四边形1PFQF 为平行四边形
则11,PF FQ PF QF ==
由3PF FQ =，根据双曲线的定义12PF PF a -=
11,,,PF a OP b OF c ∴=== 190OPF ∴∠=︒
在1 O PF 中， 112,3,PQ b QF a PF a ===
则()()2
2
2
23b a a +=，整理得222b a =
则双曲线的离心率c e a ===
(3)与平面向量交汇
【2017届浙江省温州市高三8月模拟】过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线分别交抛物线于
,A B 两点，交直线1x =-于点P ，若(),,PA AF PB BF R λμλμ==∈
，则
λμ+=______________．
【答案】0
【考点分类】
热点一 双曲线的标准方程及其几何性质
1.【2017天津，文5】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的
渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为
（A ）
221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）22
13y x -=
【答案】D 【解析】
试题分析：
由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222
02tan 60c c a b b
a ⎧
⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，
双曲线方程为：2
2
13
y x -=，本题选择D 选项. 2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2
22
1x y a -=的离心率的取值范围是（ ）
A. )+∞
B.
C. (1
D. (1,2) 【答案】C
【解析】由题意222
222
11
1c a e a a a
+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e <<故选C. 【方法总结】 1．双曲线方程的求法
(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2
＋ny 2
＝1(mn <0)
(2)与双曲线2222=1x y a b -有共同渐近线的双曲线方程可设为22
22=x y a b
λλ-≠（0）．
(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2
－n 2y 2
＝λ(λ≠0).
2．已知双曲线的离心率e 求渐近线方程注意应用e =，并判断焦点的位置．
3．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时若焦点不确定时，m ＝b a (m >0)或m ＝b
a
，故离心率有两种可能.
热点二 抛物线的标准方程及其几何性质
1.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、
E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 （ ）
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B
2. 【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( )
【答案】C
【方法总结】
1.抛物线的定义实质上是一种转化思想即 2．抛物线上点到焦点距离转化到点到准线距离．
3．抛物线上点到准线距离转化到点到焦点距离起到化繁为简的作用．注意定义在解题中的应用.研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用.
【热点预测】
1.【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 【答案】A
【解析】22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线,则()()
2230m n m n +->
∴223m n m -<<,由双曲线性质知：()()
222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=,解得1m =,∴13n -<<,故选A ．
2.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦点重
合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且
e 1e 2<1
【答案】A
【解析】由题意知2
2
11-=+m n ，即2
2
2=+m n ，
222
122222
1111
()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n
，代入222=+m n ，得12,1>>m n e e ．故选A ． 3.【2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线的两
个焦点分别为，
，点是双曲线上一点，且
，则该双曲线的渐
近线方程为（ ） A. B.
C.
D.
【答案】C
4.【2018届广东省阳春市第一中学高三上第二次月考】若圆
关于直线
对称，则双曲线
的离心率为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】圆的半径为：
，满足题意时，直线过圆心，即，
双曲线的离心率为：.
本题选择C 选项.
5.若双曲线22
:
1916
x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3 【答案】B
【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．
6.过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）
(B)（D ）【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为
2
2
03y x -=，将2x =代入22
03
y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.
7.已知双曲线C ：122
22=-b
y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为
（ ）
A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14
32
2=-y x 【答案】B ．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5
4
c e a =
=，所以5c =，4a =，2
2
2
9b c a =-=所以所求双曲线方程为22
1169
x y -=，故选B ．
8. 【2018届湖北省部分重点中学高三起点】抛物线
的焦点为，过焦点倾斜
角为的直线与抛物线相交于两点
两点，若，则抛物线的方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线方程为
，代入抛物线
可得
，记
，则由抛物线的定义可得
，则抛物线方
程为
，应选答案C.
9.【2017届湖北黄冈中学高三上学期周末测试】已知F 是双曲线左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE
∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）
A ．(1,2)
B ．(1,3) D 【答案】A
【解析】由题中ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，也就是||||AF EF <，即
2
b a
c a
<+,由222,c e a b c a =+=,转化可得23012e e e --<⇒<<．故本题答案选A.
10.【2017届河南百校联盟高三9月质监乙卷】已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b -=>>的右
焦点F 和()0,A b 的连线与C 的一条渐近线相交于点P ，且2PF AP =
，则双曲线C 的离心
率为（ ）
A ．3
B ．4 D ．2 【答案】D
【解析】由题意得2(,
)33c b P ，所以2233
b b
c e a =⨯⇒=，选D ． 11.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2
=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9
【解析】1109M M x x +=⇒=
12.【2017（0a >，0b >）的右
焦点F 作渐进线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22y px
=（0p >）于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若曲线的离心率的平方为 ．
【解析】
12. 【2017浙江，21】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39
()24
B ，，抛物线上的点
)2
3
21)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）)1,1(-；（Ⅱ）27
16
【解析】
试题解析：
（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则212
141
2-=+-
=
x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．
（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930,
42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是)
1(2342
2+++-=k k k x Q ，因为
1)2x +=)1(12++k k |PQ|= 1
)1)(1()(122
2
++--
=-+k k k x x k Q ，所以|PA||PQ|=3)1)(1(+--k k
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2
)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f(k)在区间)2
1,1(-上单
调递增，)1,21(上单调递减，因此当k=
12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
． 13. 【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy 中，曲线2
2y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会；（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得
122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，
所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.
令0x =得121,2y y ==-，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为()123--=，所以
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，
由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===， 又1OC =，所以2OD =，
所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.
14.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2
4
x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1； （2）7y x =+． 【解析】
将y x m =+代入2
4
x y =得2440x x m --=．
当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±
从而12||AB x x -=．
由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．。