巧用斜边中线妙解题

巧用斜边中线妙解题
一、直接用
例1 如图1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，D 为斜边AB 的中点，AB ＝8cm ，则CD 的长为 cm ，∠ACD ＝ .
解析：∵D 为斜边AB 的中点，即CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的中线，
∴CD=12
AC ＝4cm. ∴∠ACD ＝∠A ＝40°.
例2 如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC ，交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB.若DG ＝3，EC ＝1，则DE 的长为 .
解析：∵DE ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴DE ⊥AD ，∠DAG=∠ACB. ∵点G 是AF 的中点，即DG 为Rt △ADF 斜边AF 上的中线，
∴DG ＝AG .
∴∠GAD ＝∠GDA.
∴∠DGC ＝2∠DAG .
∴∠DGC ＝2∠ACB.
又∵∠ACD ＝2∠ACB ，
∴∠DGC ＝∠ACD.
∴DC ＝DG ＝3.
在Rt △DEC 中，DC=3，EC=1，
∴DE=22DC EC =22.
二、判定直角三角形后再用
例3 如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AC 的中点，则DE ＝ .
A
B D E
C
图3 图2
图1
解析：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC.
∵E 为AC 的中点，即DE 为Rt △ADC 斜边AC 上的中线，
∴DE ＝12
AC ＝4. 三、添加辅助线构造模型后再用
例4 如图4，BE ，CF 是△ABC 的两条高，G ，H 分别EF ，BC 的中点，试说明GH ⊥EF.
解析：连接HE ，HF.
在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，
∴HF ＝12
BC. 同理在Rt △BEC 中，HE ＝
12BC. ∴HF=HE.
∵G 为EF 的中点，
∴GH ⊥EF.
E
F G
H
A
B C 图4。