山西省太原市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

山西省太原市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把60化为弧度是（ ） A ．
3
π B ．
4
π C ．
5
π D ．6
π
2．若sin 0θ>，tan 0θ<，则θ是（ ） A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
3．函数()f x ） A ．(1,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[2,)+∞
4．已知函数()tan 2f x x =，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是最小正周期为
2π
的偶函数 B ．()f x 是最小正周期为2π的偶函数 C ．()f x 是最小正周期为2
π
的奇函数
D ．()f x 是最小正周期为2π的奇函数
5．sin 45cos15cos 45sin15-=（ ）
A B C ．12
D ．6．已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在(1,6)内恰有3个零点 B ．()f x 在(1,6)内至少有3个零点 C ．()f x 在(1,6)内最多有3个零点
D ．以上结论都不正确
7．设sin 43a =︒，cos46b =︒，tan 46c =︒，则下列结论成立的是（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c b a <<
D ．b a c <<
8．为得到sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移3
π个单位 B ．向左平移6π
个单位
C ．向右平移
3
π
个单位 D ．向右平移6
π个单位
9．已知()22,0,
,0,
x x x f x lnx x ⎧+≤=⎨>⎩若关于的方程()f x k =恰有两个不同的实数解，则实数k
的取值范围是（ ） A ．{}1-
B ．(1,0)-
C ．(0,)+∞
D ．{1}(0,)-⋃+∞
10．已知()4
sin 605
α+=，30120α<<，则cos α=（ ）
A B ．C D ． 11．人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB （1TB 1024GB =）级别跃升到PB （1PB 1024TB =），EB （1EB 1024PB =）乃至ZB （1ZB 1024EB =）级别.国际数据公司（IDC ）统计了从2008年至2011年全球产生的数据量如下表：
研究表明，从2008年起，全球产生的数据量y （单位：ZB ）与时间x （单位：年）的关系满足函数x y ab =，记11
(0.490.8 1.2 1.82)4b =⨯+++，21(1.63 1.50 1.52)3
b =⨯++，则下列最符合上述数据信息的函数是（ ） A ．10.49x
y b =
B ．2008
1
0.49x y b -=
C ．20.49x
y b =
D ．2008
2
0.49x y b -=
12．函数()sin 2sin 20362f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+--≤≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值域为（ ）
A ．12⎡⎢
⎣
B ．12⎢
⎣
C ．1122⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．12⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
二、填空题
13．()sin 30-︒=___________.
14．某简谐运动的图象如图所示，则该简谐运动的函数解析式为___________.
15．已知实数1x 满足ln 2x x +=，2x 满足ln(1)1x x -=+，则12x x +=___________.
16
．已知函数()21(0)f x x ωω=+>在区间3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增，则ω的取值范围
为___________.
三、解答题
17．计算下列各式的值： （1）3331log 15log 10log 42
-+； （2）()ln2
322log 2log log 8e ⋅⋅.
18
．已知sin α=
2απ<<π. （1）求cos α，tan α的值；
（2）求sin(3)
cos tan()2παπαπα+⎛⎫-- ⎪⎝⎭
的值. 19
．已知cos sin αα-=5744ππα<<，求下列各式的值： （1）sin 2α； （2）cos sin αα+； （3）
2sin 22sin 1tan αα
α
-+. 20．已知函数2
()sin 2sin 22cos 66f x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. （1）求()f x 的周期；
（2）求使()2f x ≥成立的x 的取值集合. 21．已知函数2
()sin 2sin 22cos 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭. （1）求()f x 的单调减区间； （2）求证：()f x 的图象关于直线6
x π
=对称.
22．已知函数2
1()log 1x f x x
+=-. （1）求证：()f x 是奇函数；
（2）求不等式()2
111022f x x f x ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭
的解集.
23．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-（0a >，1a ≠），()()()h x f x g x =-. （1）求证：函数()h x 是奇函数；
（2）当1a >时，求不等式()
2
111022h x x h x ⎛⎫
+-+-
> ⎪⎝⎭
的解集.
参考答案
1．A 【分析】
根据角度制与弧度制的关系，可得结果. 【详解】 ∵1180
π
=
，
∴6060180
3
π
π
=⨯=
.
故选：A 2．B 【分析】
根据sin 0θ>，可判断θ可能在的象限，根据tan 0θ<，可判断θ可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】
由sin 0θ>，可得θ的终边在第一象限或第二象限或与y 轴正半轴重合， 由tan 0θ<，可得θ的终边在第二象限或第四象限， 因为sin 0θ>，tan 0θ<同时成立，所以θ是第二象限角. 故选：B 3．D 【分析】
根据函数结构，构建不等式组即可得到结果. 【详解】
要使函数有意义，则
210
log (1)0
x x ->⎧⎨
-≥⎩，解得2x ≥， ∴
函数()f x [2,)+∞， 故选：D 4．C 【分析】
先求函数的最小正周期，再判断函数的奇偶性得解.
【详解】
解：()tan 2f x x =的最小正周期为2
T π
=,
令2,,,2
24
k x k k Z x k Z π
ππ
π≠+
∈∴≠
+∈， 所以函数的定义域{|,}24
k x x k Z ππ
≠
+∈关于原点对称. 又()tan(2)tan 2()f x x x f x -=-=-=-， 所以函数是奇函数. 故选：C 5．C 【分析】
利用两角差正弦公式可得结果. 【详解】
()
1sin 45cos15cos 45sin15sin 4515sin 302
-=-==
. 故选：C 6．B 【分析】
根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可． 【详解】 解：依题意，
f （2）0>，f （3）0<，f （4）0>，f （5）0<，
∴根据根的存在性定理可知，在区间(2,3)和(3,4)及(4,5)内至少含有一个零点，
故函数在区间(1,6)上的零点至少有3个， 故选：B ． 7．A 【分析】
利用正弦函数与正切函数的单调性进行比较即可． 【详解】
因为cos46cos(9044)sin 44b =︒=︒-︒=︒，
因为函数sin y x =在(0,)2
π
上单调递增，
由0434490︒<︒<︒<︒，
则sin0sin43sin44sin90︒<︒<︒<︒， 故01a b <<<，
函数tan y x =在(0,)2
π
上单调递增，
由0454690︒<︒<︒<︒， 则tan0tan45tan46︒<︒<︒， 所以1c >， 则a b c <<． 故选：A ． 8．D 【分析】
由sin(2)sin 2()36y x x ππ⎡
⎤=-=-⎢⎥⎣
⎦，利用平移变换求解.
【详解】
因为sin(2)sin 2()36y x x ππ⎡
⎤=-=-⎢⎥⎣
⎦，
所以为得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象向右平移6π
个单位；
故选：D. 9．D 【分析】
画出函数()f x 的图象与直线y k =，观察图象，得到直线与曲线有两个交点的情况的k 的取值范围． 【详解】
作出函数()f x 的图象与直线y k =，
观察图象，0k >或1k =-时，直线与曲线有两个交点，故实数k 的取值范围是{1}(0,)-⋃+∞． 故选：D 10．A 【分析】
利用同角关系得到()cos 603
5
α+=-，进而利用配角法与两角差余弦公式可得结果.
【详解】
∵30120α<<，∴9060180α<+<， 又()4sin 605α+=
，∴()cos 6035
α+=-， ∴()()()cos cos 6060cos 60cos60sin 60sin 60⎡⎤α=α+-=α++α+⎣⎦
314525=-⨯+=
故选：A 11．D 【分析】
由题得选项AB 显然错误，再代入验证即得解. 【详解】
解：由题得选项AB 显然错误，指数不可能是x .
11
(0.490.8 1.2 1.82) 1.084
b =⨯+++≈
21
(1.63 1.50 1.52) 1.553
b =⨯++=
如果选D, 20080.49 1.55x y -=⨯，2009年的数据量为0.49 1.550.7595⨯=， 如果选C, 20080.49 1.08x y -=⨯，2009年的数据量为0.49 1.080.5292⨯=， 由于0.7595更接近0.8， 故选：D 12．A 【分析】
首先利用两角差正弦公式化简函数，结合正弦函数的图象与性质得到结果. 【详解】
()sin 2sin 2sin 2cos 22363312f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+--=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
又02
x π≤≤
，∴
12
13212
12
x π
π
π
≤+
≤
，
s 2in 211x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭，
122x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭
∴函数()212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为12⎡⎢⎣. 故选：A 13．1
2
-##
【分析】
根据诱导公式直接求值即可. 【详解】
()()1
sin 30sin 302-︒=-︒=-.
故答案为：1
2
-.
14．3cos 2
y x π
=
【分析】
由cos()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式
【详解】
由图象可知，振幅为3，3122
T
=-=， 所以周期4T =，
可设函数的解析式为3cos()2
y x π
ϕ=+，
因为曲线过点(0,3)，
则02,2
k k Z π
ϕπ⨯+=∈，解得2,k k Z ϕπ=∈，
所以所求解析式为3cos(2)3cos 2
2
y x k x ππ
π=+=．
故答案为：3cos 2
y x π
=
15．1 【分析】
由题意，11ln 2x x +=，22ln(1)+1x x -=，令21x t -=，从而得ln 2t t +=，判断函数
()ln f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，进而得1t x =，所以求得121x x =+. 【详解】
解：由题意，11ln 2x x +=，22ln(1)+1x x -=， 令21x t -=，则21-=t x ，所以ln 2t t +=， 令()ln f x x x =+，
函数()ln f x x x =+在(0,)+∞上为增函数（增+增=增）， 所以可知1t x =，所以211-=x x ，即121x x =+. 故答案为：1. 16．1350,,646⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
【分析】
由题意可知，()22,2,22,3k k k Z ππωπππωπ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
⊆，从而可得结果.
【详解】 由题意可知，
31222222T πππ
πωω
-≤=⋅=，即01ω<≤，
∵函数()21(0)f x x ωω=+>在区间3,
2π
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，
∴()22,2,22,3k k k Z ππωπππωπ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
⊆， 当0k =时，32πωπ≤，即106
ω<≤； 当1k =时，222322πωπππ
ωππ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即3546ω≤≤； 故ω的取值范围为1350,,646⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
. 故答案为：1350,,646⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
17．
（1）1；
（2）2.
【分析】
（1）利用对数的运算法则计算化简求值；
（2）利用对数的运算法则和换底公式计算化简求值.
（1）
解：原式
=3
3331533log log log log 2=log 2)11022
(++⨯=. （2）
解：原式=()322log 2log log 28⋅⋅=32log 2log 32⋅⋅=2.
18．
（1）13
-
，-.
（2
）【分析】
（1）利用同角基本关系式即可得到结果；
（2）利用同角基本关系式与诱导公式即可得到结果.
（1）
∵sin α=2απ<<π，
∴1cos 3α==-，
sin tan cos ααα
==- （2）
(
)sin(3)sin 1sin tan tan cos tan()2πααπααααπα+-===⋅-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
19．
（1）
725
（2
）
（3）21100- 【分析】
（1
）由cos sin αα-=
（2）根据5744ππα<<，7sin 2025α=>，确定α的范围，再平方求解； （3）利用商数关系化简，将（1）（2）的结论代入求解.
（1）
解：由cos sin αα-= 2218cos 2cos sin sin 25αααα-⋅+=，即181sin 225
α-=， 所以7sin 225α=
； （2） 因为
5744ππα<<，7sin 2025α=>， 所以5342
ππα<<，
所以cos sin 0αα+<，
所以
cos sin αα+=
=； （3）
()22sin cos sin sin 22sin sin 1tan 1cos αααααααα
--=++， (
)7sin 2cos sin 21cos sin 100ααααα-===-+. 20．
（1）π；
（2）{|,}3x k x k k Z π
ππ+∈. 【分析】
（1）根据三角恒等变换公式，化简得()2sin(2)16
f x x π=++，再由三角函数的周期公式可得()f x 的最小正周期；
（2）由（1）化简不等式()2f x ，得到1sin(2)62
x π+，再利用正弦函数的图象与性质，即可求出满足条件的实数x 的取值集合．
（1）
解：sin(2)sin 2cos cos2sin 666x x x πππ
+=+， sin(2)sin 2cos cos2sin 666
x x x πππ-=-，21cos (cos21)2x x =+ ∴2()sin(2)sin(2)2cos 66f x x x x ππ=+
+-+ sin 2cos cos2sin sin 2cos cos2sin cos216666x x x x x
πππ
π
=++-++
2cos 212sin(2)16
x x x π++=++ 所以()f x 的最小正周期22||2T πππω===．
（2）
解：由()2f x ，得2sin(2)12()6x k Z π++∈，即1sin(2)62x π+， 根据正弦函数的图象，可得5222()666k x k k Z πππππ+++∈， 解之得()3
k x k k Z πππ+∈， ∴使不等式()2f x 成立的x 取值集合是{|,}3
x k x k k Z πππ+∈． 21．
（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为[22k ππ+，32]2k ππ+，k Z ∈，求出x 的范围即可；
（2）要证()f x 的图象关于直线6x π=对称，即证()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. （1）
2()sin 2sin 22cos 2cos 2166f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， 由3222262
k x k ππ
πππ+++，k Z ∈得：263k x k ππππ++，k Z ∈， ()f x ∴的单调减区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）
证明：∵()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭， ∴52sin 212sin 2133
66f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 212sin 2166x x f x πππ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∴()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， ∴()f x 的图象关于直线6x π=
对称.
22．
（1）证明见解析
（2）1(,1)2
【分析】
（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可；
（2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可. （1）
101x x
+>-，即11x -<<， ∴函数21()log 1x f x x
+=-的定义域为(1,1)-． 在(1,1)-上任取一个自变量x ， 则2211()log log ()11x x f x f x x x
-+-==-=-+-， ()f x ∴为奇函数；
（2）
任取1211x x -<<<， 1212121222221
1111()()log log log ()1111x x x x f x f x x x x x +++--=-=--+-， 由题设可得121011x x +<
<+，211011x x -<<-， 故12221
11log ()011x x x x +-<+-， 12()()0f x f x ∴-<，
∴函数()f x 在(1,1)-上是增函数；
∵()2111022f x x f x ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭
，()f x 为奇函数， ∴()211111222
2f x x f x f x ⎛⎫⎛⎫+->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又函数()f x 在(1,1)-上是增函数，
∴2211111112211122x x x x x x ⎧⎪-<+-<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+->-⎪⎩
， 解得：112
x <<， ∴不等式的解集为1(,1)2
. 23．
（1）证明见解析.
（2）1(,1)2
. 【分析】
（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义判断即可；
（2）先证明函数的单调性，借助奇偶性与单调性，把不等式转化为具体不等式即可. （1）
由1010x x +>⎧⎨->⎩
得()h x 的定义域为(1,1)-． ()()()log (1)log (1)
()()()log (1)log (1)()
a a a a h x f x g x x x h x f x g x x x h x =-=+--∴-=---=--+=-
所以()h x 是奇函数.
（2）
任取1211x x -<<<，
12121212211111()()log log log ()1111a a a x x x x h x h x x x x x +++--=-=⨯--+-， 由题设可得1a > ，121011x x +<
<+，211011x x -<<-， 故1221
11log ()011a x x x x +-⨯<+-，
12()()0h x h x ∴-<，
∴函数()h x 在(1,1)-上是增函数；
∵()2111022h x x h x ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭
，()f x 为奇函数， ∴()211111222
2h x x h x h x ⎛⎫⎛⎫+->--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又函数()h x 在(1,1)-上是增函数， ∴22111
11112211
122
x x x x x x ⎧⎪-<+-<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+->-⎪⎩， 解得：1
12x <<，
∴不等式的解集为1
(,1)2.。