中考数学压轴题(有答案)之欧阳法创编

中考初中数学压轴题精选（有
答案）
时间：2021.03.09
创作：欧阳法
一．解答题（共30小题）
1．（2014•攀枝花）如图，以点P （﹣1，0）为圆心的圆，交x 轴于B 、C 两点（B 在C 的左侧），交y 轴于A 、D 两点（A 在D 的下方），AD=2，将
△ABC 绕点P 旋转180°，得到△MCB．
（1）求B 、C 两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB 、MC ，并判断四边形ACMB 的形状（不必证明），求出点M 的坐标；
（3）动直线l 从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC 重合时停止，设直线l 与CM 交点为E ，点Q 为BE 的中点，过点E 作EG⊥BC 于G ，连接MQ 、QG ．请问在旋转过程中∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG 的度数；若变化，请说明理由．
2．（2014•苏州）如图，已知l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切，⊙O 的半径为2cm ，矩形ABCD 的边AD 、
AB 分别与l 1，l 2重合，AB=4cm ，AD=4cm ，若⊙O 与矩形ABCD 沿l 1同时向右移动，⊙O 的移动速度为3cm/s ，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s ，设移动时间为t （s ）
（1）如图①，连接OA 、AC ，则∠OAC 的度数为 _________ °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达⊙O 1的位置，矩形ABCD 到达A 1B 1C 1D 1的位置，此时点O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上，求圆心O 移动的距离（即OO 1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm ），当d ＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．
3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=﹣x+b （b 为常数，b ＞0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，半径为4的⊙O 与x 轴正半轴相交于点C ，与y 轴相交于点D 、E ，点D 在点E 上方．
（1）若直线AB 与有两个交点F 、G ．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使
∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M （，），以点M为圆心，OM长为半径作
⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x 轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD 相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为_________ ．（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线
DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的
直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是
否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R （R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是
否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O 是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y 轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
9．（2014•陕西）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使
∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③
的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在
线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，
AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
10．（2014•成都）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D ，垂足为E ．设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．
（1）求证：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，=，求PD 的长；
（3）在点P 运动过程中，设=x ，tan∠AFD=y，求y 与x 之间的函数关系式．（不要求写出x 的取值范围）
11．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．
（1）写出方案一中圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．
①求y关于x的函数解析式；
②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．12．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边
AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD 移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD 的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG 与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
13．（2014•东昌府区三模）已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．
（1）求证：AC 与⊙O 相切；
（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O 的
半径．
14．（2014•安徽模拟）阅读材料：如
图，△ABC 中，AB=AC ，P 为底边
BC 上任意一点，点P 到两腰的距离分别为r 1，r 2，腰上的高为h ，连接AP ，则S △ABP +S △ACP =S △ABC ，即：AB•r 1+AC•r 2=AB•h，∴r 1+r 2=h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在 三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC 内任意一点P 到各边的距离分别为r 1，r 2，r 3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 _________ ；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n 边形A 1A 2…An 内部任意一点P 到
各边的距离为r 1，r 2，…r n ，请问r 1+r 2+…r n 是否为定
值（用含n 的式子表示），如果是，请合理猜测出这
个定值．
15．（2014•安徽名校一模）如图△ABC 中
∠A=90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为
AC 边中点，求证：DE 是⊙O 的切线．
16．（2014•灌南县模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，
AC 是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD 于点D ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=10，AD=2，求AC 的长．
17．（2014•普陀区二模）如图，在等腰△ABC 中，
AB=AC=5，BC=6，点D 为BC 边上一动点（不与点
B 重合），过D 作射线DE 交AB 边于E ，使
∠BDE=∠A，以D 为圆心、DC 的长为半径作
⊙D．
（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长．
（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD的长为多少时，⊙D与⊙E相切？18．（2014•江西模拟）如图，矩形ABCD的边
AB=4，BC=3．一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度．P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P的刻度数为n，
∠PAB=α．
（1）当n=136时，α=_________ ，求出α与n 的关系式；
（2）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明；
（3）在P点的运动过程中，F点在直线CD上的位置随着α的变化而变化，当F点在线段CD上时、在CD的延长线上时、在DC的延长线上时，对应的α值分别是多少？（参考数据：tan56.3°≈1.5）
（4）连接BP，在P点的运动过程中，是否存在
△ABP与△CEF相似的情况？若存在，求出此时n 的值以及相应的EF的长；若不存在，请说明理由．19．（2014•广东一模）如图，正方形ABCD的边长是8cm，以正方形的中心O为圆心，EF为直径的半圆切AB于M、切BC于N，已知C为BG的中点，AG交CD于H．P，Q同时从A出发，P以1cm/s 的速度沿折线ADCG运动，Q以cm/s的速速沿线段AG方向运动，P，Q中有一点到达终点时，整个运动停止．P，Q运动的时间记为t．
（1）当t=4时，求证：△PEF≌△MEF；
（2）当0≤t≤8时，试判断PQ与CD的位置关系；（3）当t＞8时，是否存在t使得=？若存在请求出所有t的值，若不存在，请说明理由．20．（2013•营口）如图，点C是以AB为直径的⊙O 上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．
21．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB 为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．22．（2013•曲靖）如图，⊙O的直径AB=10，C、D 是圆上的两点，且．设过点D的切线ED交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．（1）求证：DF⊥AF．
（2）求OG的长．
23．（2013•德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC 是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．
24．（2013•贺州）已知：⊙O的直径为3，线
段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点
A，M．
（1）求证：点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．
25．（2013•兰州）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．26．（2013•南宁）如图，在△ABC中，
∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．27．（2013•长沙）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．
28．（2013•广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．
29．（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM 相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON 于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
30．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，
∠B=∠CAD．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当
BD=5，CD=4时，求AF的值．
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心
的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y
轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将
△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形
ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时
针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点
为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于
G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大
小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变
化，请说明理由．
考点：圆的综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC 证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH 长，进而得到点M的坐标．
（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．
解答：解：（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2，
∴OA=．
∵点P坐标为（﹣1，0），
∴OP=1．
∴PA==2．
∴BP=CP=2．
∴B（﹣3，0），C（1，0）．
（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．
如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．
理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．
∴MH=OA=，PH=PO=1．
∴OH=2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．
（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°．
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，
∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．
∴∠MQG=2∠MBG．
∵∠COA=90°，OC=1，OA=，
∴tan∠OCA==．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∴∠MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．
点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、
三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半是解决第三小题的关键．
2．（2014•苏州）如图，已知l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都
相切，⊙O 的半径为2cm ，矩形ABCD 的边AD 、
AB 分别与l 1，l 2重合，AB=4cm ，AD=4cm ，若
⊙O 与矩形ABCD 沿l 1同时向右移动，⊙O 的移动
速度为3cm/s ，矩形ABCD 的移动速度为4cm/s ，设
移动时间为t （s ）
（1）如图①，连接OA 、AC ，则∠OAC 的度数为 105 °；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达
⊙O 1的位置，矩形ABCD 到达A 1B 1C 1D 1的位置，此
时点O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上，求圆心O 移动
的距离（即OO 1的长）；
（3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在
直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm ），当d
＜2时，求t 的取值范围（解答时可以利用备用图画
出相关示意图）．
考点： 圆的综合题．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案
（2）首先得出，∠C 1A 1D 1=60°，再利用A 1E=AA 1﹣OO 1﹣2=t ﹣2，求出t 的值，进而得出OO 1案即可；
（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，②当直线AC 与⊙O 第二次相切时时间为t 2，分别求出即可．
解答： 解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=4cm ，AD=4cm ，
∴CD=4cm ，
∴tan ∠DAC===，
∴∠DAC=60°， ∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；
（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，
∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，
在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，
∴A1E==，
∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，
∴t﹣2=，
∴t=+2，
∴OO1=3t=2+6；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，
如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，
设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，
∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，
由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，
∴∠O2A2F=60°，
在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，
∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+，
∴4t1+﹣3t1=2，
∴t1=2﹣，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，
记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），
解得：t2=2+2，
综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．
点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是键．
3．（2014•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，一
次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x
轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x
轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D
在点E上方．
（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范
围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使
∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存
在，请说明理由．
考点：圆的综合题．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求再求出FG2，再根据式子写出b的范围，
（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽似得出点P的坐标，再求出OP所在的直线解析式．
解答：解：（1）①如图，
∵∠COE=90°
∴∠CFE=∠COE=45°，（圆周角定理）
②方法一：
如图，作OM⊥AB点M，连接OF，
∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，
∴OM所在的直线函数式为：y=x，
∴交点M（b，b）
∴OM2=（b）2+（b）2，
∵OF=4，
∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，
∵FM=FG，
∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG2=64×（1﹣b2）（4≤b＜5）
方法二：
①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，
∵直线的函数式为：y=﹣x+b，
∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（b，0），
∴AB==b，
∴sin∠BAO===，
∴sin∠MAO===，
∴OM=b，
∴在RT△OMF中，
FM==
∵FG=2FM，
∴FG2=4FM2=4（42﹣b2）=64﹣﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG2=64×（1﹣b2）（4≤b＜5）
（2）如图，
当b=5时，直线与圆相切，
∵在直角坐标系中，∠COE=90°，
∴∠CPE=∠ODC=45°，
∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，
∵P是切点，
∴OP⊥AB，
∴△APO∽△AOB，
∴=，
∵OP=r=4，OB=5，AO=，
∴=即AP=，
∵AB===，
作PM⊥AO交AO于点M，设P的坐标为（x，y），
∵△AMP∽△AOB，
∴=
∴=，
∴y=，
∴x=OM===
∴点P的坐标为（，）．
点评：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，利用三角形相似求出点P的坐4．（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD
中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动
点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点
F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
考点：圆的综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出出答案；
（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以长；
（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，
当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB•cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC==5，
∴此时CP=r=5；
（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
连接AC、EP，则AC⊥EP，
∴AM=CM=，
由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，
∴CP=CE==，
∴EF=2=；
（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，设AQ⊥BC，
∵=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC﹣BQ=4．
∵cosB=，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∴∠BGC＞∠B=∠GAE，即∠BGC≠∠GAE，
又∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B=∠GAE，
∴当∠AEG=∠GAE时，A、E、G重合，则△AGE不存在．
即∠AEG≠∠GAE
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴=，即=，
解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，
∴CE===．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．
5．（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M
（，），以点M为圆心，OM长为半径作
⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x
轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接
AM．点P是上的动点．
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作
QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于
点E．
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积
为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．
考点：圆的综合题．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；
（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点重合时，OP•OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；
②由OD=2，Q的纵坐标为t，即可得S=，然后分别从当动点P与B点重合
Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答解答：解：（1）过点M作MH⊥OD于点H，
∵点M（，），
∴OH=MH=，
∴∠MOD=45°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOM=45°，
∵OM=AM，
∴∠OAM=∠AOM=45°，
∴∠AMO=90°，
∴∠AMB=90°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，
∴OM==2，OD=2OH=2，
∴OB=4，
∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OQE=90°，∠POE=45°，
∴OE=5，
∴E点坐标为（5，0）
②∵OD=2，Q的纵坐标为t，
∴S=．
如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，
∵OP=4，OP•OQ=20，
∴OQ=5，
∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，
∴t=QF=，
此时S=；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，
∴OP=2，
∵OP•OQ=20，
∴t=OQ=5，
此时S=；
∴S的取值范围为5≤S≤10．
点评：此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
6．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，
∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于
点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不
必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD
相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，
PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交
AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的
值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的
四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点
P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点
F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定
值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
考点：圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形性质．
专题：压轴题；探究型．
分析：（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．（2）易证：OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，
△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．
（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．解答：解：（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．
∵AB=BC=2，
∴AC=2．
∴OA=．
∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE+PF=OA=．
（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴BD=5．
∴OA=OB=OC=OD=．
∵PE∥OB，PF∥AO，
∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．
∴，．
∴==1．
∴+=1．
∴EP+FP=．
∴PE+PF的值为．
（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4
∵DG与⊙O相切，
∴∠GDA=∠ABD．
∵∠ADG=30°，
∴∠ABD=30°．
∴∠AOD=2∠ABD=60°．
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．
∴AD=OA=4．
同理可得：BC=4．
∵PE∥BC，PF∥AD，
∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．
∴，．
∴==1．
∴=1．
∴PE+PF=4．
∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．
点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式决本题的关键．
7．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O
是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，
0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点
D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动
点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP
的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线
与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使
△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R
（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设
动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线
与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是
否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最
小面积S的值；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形性质．
专题：综合题；压轴题；存在型；分类讨论．
分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=D ．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF
小值．
解答：解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵点P是AC中点，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×PE•DE
=PE•DE
=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE2=DP2﹣
=（）2﹣
=．
∴DE=，
∴S四边形DEPF=DE
=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
8．（2014•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O
是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y
轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x
轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接
PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间
是t秒（t＞0）．
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求
证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含
a的代数式表示b；
（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和
F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接
QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得
以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为
顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若
不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明；
（2）分两种情况：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上；②当0＜t≤1时，点E在y轴的正半上，再根据（1）求解，
（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出解答：证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；
（2）解：分两种情况：
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，
∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，。