数学悖论的举例

数学悖论

上个世纪，第三次数学危机，就是有名的罗素悖论的出现，罗素悖论：把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为其元素，假设令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，则有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A∉A}。问题：Q∈P还是Q∉P？若Q∈P，则根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，而Q中的任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q∉Q，引出矛盾。若Q∉P，根据第二类集合的定义，A∉A，而P中的任何集合都有A∈A的性质，所以Q∈P，还是矛盾。

其实罗素悖论在我们生活中也很常见，像著名的理发师理论，理发师说了这样一句话：我给所有不给自己理发的人理发。这就违反了逻辑，如果他给自己理发，就违反了第一个要素，如果他不给自己理发，那违反了第二个要素。像古代也有这些，国王处置犯人，让他选择上吊还是砍头，让他说一句真话。