云南省玉溪市玉溪一中高一数学下学期4月月考试题

云南省玉溪市玉溪一中2017-2018学年高一数学下学期4月月考试题
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩
⎭，则()R A
C B =（ ）
A ．∅
B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝
⎦ C ．1,12
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．(]1,1-
2.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等 于( ) A.1
4 B.12 C.1 D.2
3.已知2
.12
=a ，8
.0)
2
1(-=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. a b c <<
B. b a c <<
C. c a b <<
D. a c b <<
4.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c)(sin B ＋sin C)＝ (a －3c)sin A ，则角B 的大小为( ) A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
5.已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且2)1()1(=+-g f ，4)1()1(=-+g f ， 则)1(g 等于( ) A.4
B.3
C.2
D.1
6.已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且3a ，52
1
a ，4a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是
（ ） A
B
C ．
D
7.已知函数x x x f 2cos 2
1
2sin 23)(+=
，若其图象是由x y 2sin =的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位得到的，则ϕ的最小值为( ) A.
6
π
B.
6
5π C.
12
π D.
12
5π 8.已知数列{a n }满足7
5
1-
=+n n a a ，且51=a ，设{a n }的前n 项和为n S ，则使得n S 取得最大
值的序号n 的值为( ) A.7
B.8
C.7或8
D.8或9
9.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →
＝( ) A.89
B.109
C.259
D.269
10.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2
-=.则函数
3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为( )
A.{1，3}
B.{－3，－1，1，3}
C.{2－7，1，3}
D.{－2－7，1，3}
11. 已知24cos 0352παπα⎛
⎫+=-<< ⎪⎝
⎭，
，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（ ）
A B ．．12.在△ABC 中，B BC A AC cos 3cos ⋅=⋅，且5
5
cos =C ，则A ＝( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知向量a ，b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________. 14.已知函数x
a x f -=)( )0,0(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是
________.
15.在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 16.数列{a n }中，已知对任意*N ∈n
,13321-=++++n n a a a a ，则2
232221n a a a a ++++ 等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共计70分.
17．（本小题满分10分）
已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=，0>a 且1≠a . (1)判断)(x f 的奇偶性并予以证明； (2)当1>a 时，求使0)(>x f 的x 的解集.
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22
，－22，n ＝(x sin ，x cos )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)若m ⊥n ，求x tan 的值； (2)若m 与n 的夹角为3
π
，求x 的值.
19．（本小题满分12分）
在△A BC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ,b ,c ，若B c a C b cos )2(cos -=, (1)求∠B 的大小；
(2)若7=b ，4=+c a ，求△A BC 的面积． 20．（本小题满分12分）
设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7， 且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项；
(2)令13ln +=n n a b ，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝
2
1
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.
22．（本小题满分12分）
正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令22
)2(1n
n a n n b ++=
，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N *
， 都有T n ＜5
64 .
参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13.
4
π
14. (0，1) 15. 6 16. 12(9n －1)
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
解:(1)要使函数f(x)有意义.则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，
1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－
1<x<1}.且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数.
(2)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0⇔x ＋1
1－x >1，
解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}.
18．（本小题满分12分） 解:(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2
，－22，n ＝(sin x ，cos x)，m ⊥n .所以m ·n ＝0，
即
22sin x －2
2
cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.
(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝1
2，
即
22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，
因为0<x<π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π
12.
19．（本小题满分12分）
解：(1)由已知及正弦定理可得sin Bcos C ＝2sin Acos B －cos Bsin C ，
∴ 2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝sin(B ＋C)． 又在三角形ABC 中，sin(B ＋C)＝sin A ≠0， ∴ 2sin Acos B ＝sin A ，即cos B ＝
21，B ＝3
π
． (2)∵ b 2
＝7＝a 2
＋c 2
－2accos B ，∴ 7＝a 2
＋c 2
－ac ， 又 (a ＋c)2
＝16＝a 2
＋c 2
＋2ac ，∴ ac ＝3，∴ S △ABC ＝
2
1
acsin B ， 即S △ABC ＝
2
1
⨯3⨯23＝433．
20. （本小题满分12分）
解:(1)由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，
（a 1＋3）＋（a 3＋4）＝6a 2⇒a 2＝2.
设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2
q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，
所以2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2
－5q ＋2＝0.解得q ＝2或q ＝12，
∵q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1
.
(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n
，∴b n ＝ln 23n
＝3nln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴数列{b n }为等差数列. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝n （b 1＋b n ）2
＝n （3ln 2＋3nln 2）2
＝3n （n ＋1）2
ln 2.
故T n ＝3n （n ＋1）
2
ln 2.
21．（本小题满分12分）
解: (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得
PA 2
＝117
32cos 30424
+-︒=. 故PA ＝2.
(2)设∠PBA ＝α，由已知得αsin =PB .
在△PBA sin sin(30)
αα=
︒-，
化简得ααsin 4cos 3=. 所以4
3
tan =α，即tan ∠PBA
22．（本小题满分12分）
解: (1)0)()1(2
22=+--+-n n S n n S n n ，得[S n －(n 2
＋n )](S n ＋1)＝0.
由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2
＋n .
于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
＋n －(n －1)2
－(n －1)＝2n .综上， 数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明:由于a n ＝2n ，b n ＝
n ＋1
（n ＋2）2a 2n
，
则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2
＝116⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣
⎢⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1
（n －1）
2－
⎦
⎥⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2＜116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564
.。