中考数学教学指导：例谈化归思想在中学数学解题中的应用.doc

例谈化归思想在中学数学解题中的应用
化归思想是屮学数学解题屮的一类重要思想，其核心目的是为了简化求解过程，实现复 杂问题简单化、抽象问题具体化.自从新课改理念提出以来，广大数学教师对数学解题思想 的探究就从未停止.化归思想以其高度的实用性和有效性，赢得了师生的一致认可，是实现 対学生综合素养教学的重要手段.
一、化未知问题为已知知识
未知问题向已知知识点转化是化归思想使用的常见类型，通过化归思想的使用，实现了未知 与已知的联系.
例1如图，在矩形ABCD 中，点E 在
边上，沿CE 折柱矩形ABCD,使点B 落到AD 边
上的点 F 处，若 4B = 4,BC = 5,则 tan ZAFE
的值为( ).
4 A. 一 3
解析 欲求三角函数tanZAFE 的值，由于对应边长未知，我们必须利用化归思想将其 向已知边角转换•从折叠图形的性质可知ZEFC = ZB = 90°. CF = BC = 5 •结合同角的余 角相等定理可知，ZDCF = ZAFE 时，我们便可以将欲求的未知三角函数转化到已知 的三角函数中.即是，在Rt ADCF , CF = 5、CD = 4 ,得到DE = 3，所以
DF 3
tan ZAFE = tan ZDCF = =—・
DC 4
综上，选C 项.
二. 化复杂问题为基础知识
数学难题的求解尤其注重分析和转换过程，通过化归思想的使用，可以将难题转变成儿 个基础题进行求解，实现了对难题求解的简化•此后，我们再将这些基础题进行综合性归纳, 即川实现简化求解
例2如图，正方形ABCD 的边长为2, M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运 动到点B 停止，连接EM 并延长交CD 于点F,过点M 作EF 的垂线交BC 于G,连接 EG 、FG ・
(1)设AE = MEFG 的面积为y,试求y 关于兀的函数，并标注白变量的取值范围;
D. C.—
(2)P是MG的中点，请写出点P运动路线的长.
解析动点问题往往是学生们较为害怕的问题，很多学生见到动点问题往往会无从下手. 对此，我们必须将动点视为定点，帮助学生寻找突破口.当E点在直线上运动时，存在三种情况，即是与A点重合;位于AB之间;与B点重合这三种情况.首先，当点E与点A重合时，我们可知，对应的可以求出y = 2.然后，当E点与A点不重合时，由AAEM全等于
\MDF可知，ME = MF，于是在Rt \AME中，AE = x,AM =1 ,得到
ME = 3+\,EF = 2ME.至此，我们需要进一步化归，寻找MG的边长条件.于是，我们绘制MN 垂直于BC,利用三角形相似的性质，可以得到AAME相似于\NMG.对此，进一步可得比例关系丄二一二其中一匕二—，于是可得MG = 2ME = 2yJx2 + \.最后，
NM MG MG 2
在RtA£FG中，可知其面积函数y = -EFxA/G = 2x2+2,其中XG[0,2].对于第二问，我们还是需要使用化归思想，只要找到E点分别位于A点和B点时对应的点P与点P的位置，即可实现求解.如上图所示，我们在原图中得到了对应点的位置，便可以很容易算出其长度值为2.
三、化特殊问题为一般问题
特殊问题往往是屮学数学的难点，但在化归思想的使用下，我们可以将特殊问题转化成一般问题进行求解.通常情况下，在化归转换之后，原本的特殊问颔在数学处式、宗理的使用下即可顺利求解.
例3如图所示，两个半圆中大半圆
的弦CD与小半圆相切，且AB//CD,其中，CD = 6cm，试
求图屮阴影部分的面积.
解析首先，对于该图中的阴影部分面积，我们并没有直接的公式进行求解.此时，我们不难联想到化归思想，将阴影面积转换成大半圆与小半圆的面积差来进行求解•从图中不难看出两圆半径与弦CQ的关系，由垂径定理及勾股定理可知，FC2-EF2=CE2=9. 我们若假设大圆半径为/?,
小圆半径为广，即是疋-厂2 =9.此时，我们利用化归思想可以得到阴影部分的面积为（F—厂2）龙/2.此时，答案显而易见，只要将己知的长度关系代入即可求出阴影而积为9龙/2.
总之，化归思想是中学数学教学的重要思想方法之一，对培养学生数学思维、简化训练求解过程、提高学生综合能力上有着重要作用.作为屮学数学教师，我们必须敢于创新，积极推广化归思想在数学解题中的应用.。