C++经典问题算法分析分解

C++经典问题算法分析分解
一、百钱买百鸡问题（枚举算法）
★算法分析：1、对百钱买百鸡问题的所有结果进行逐一统计验证（枚举验证）。

2、公鸡最多只能买20只，母鸡最多只能买33只，小鸡最多只能
买300只。

3、用for循环进行逐一验证
4、对小鸡的费用应用x/3代替x*(1/3)，因为1/3在整型变量下
的值为0。

5、需保证小鸡的数量是3的倍数，即x%3==0。

★源代码：
图1-1
★执行结果：
图1-2
二、填写运算符问题（枚举算法）★算法分析：1、5个数字需要填入4个运算符。

2、每两个数字之间有4种运算符可以选择。

3、当运算符中填入除号时，右边的被除数不能为0.
4、乘除的优先级大于加减的优先级。

5、可以用循环的方法逐一填入各种运算符。

★源代码：
图2-1
三、汉诺塔问题（递归算法）
★算法分析：1、汉诺塔问题可以运用递归算法解决。

2、递归是函数本身调用直接或者间接调用自己的方法。

3、在汉诺塔问题中需要的步骤数是2^n-1。

4、汉诺塔问题步骤解析：
（1）把1座上（n-1）个盘子借助3座移动到2座。

（2）把1座上的第n个盘子移动到3座。

（3）把2座上的（n-1）个盘子借助1座移动到3座。

（4）我们假设用h（n，a，b，c）表示把1座n个盘子借助2 座移动到3座。

由此可得出结论：（1）上是h（n，1,3,2）, (2)上是（n-1，2,1,3）★源代码：
图3-1 ★执行结果：
图3-2 ★形象示例：
A B C
图3-3
★故事缘由：
据说古代有一个梵塔，塔内有3个座A、B、C。

A座上有64个圆盘，盘子大小不等，大的在下，小的在上。

有一个和尚想把这64个盘子从A座移动到C 座，但每次只能移动一个圆盘，并在移动过程中始终保持大盘在下，小盘在上。

在移动过程中只能利用B座。

现在需要写出移动的步骤。

这就是汉诺塔问题。

当时这个和尚觉得很难，于是他想，要是有一个人能把前面的63个圆盘移动到B座，自己再把最后一个圆盘移动到C座，那就简单了。

所以他找了另一个和尚来做这件事。

但是另一个和尚也觉得很难，于是又找来了第三个和尚把B 座上的前62个圆盘移动到A座上，自己再把第63个盘子移动到C座。

一次类推，解决汉诺塔问题，一共有64个和尚参与了这项题目。

即是如此，不难看出，每个和尚所做的事是一样的，这就是说解决汉诺塔问题有一种简单而高效地方法，那就是递归调用。

所谓递归调用，就是函数本身直接或间接的调用自己的方法。

递归算法，也是九大经典算法之一。

但是当时没有那么多和尚来完成这件事，确切的说，只能有他自己一个和尚来完成这件事，于是他想起了一位美国学者所发现的一种非常简单的方法。

首先把3个座排列成品字形，如果圆盘的数字是偶数，就按顺时针方向依次排列成A、
B、C。

如果圆盘的数量是奇数是，就按顺时针排列成A、
C、B。

开始时按顺时针方向把第1个圆盘从现在的塔上移动到下一个座，当圆盘数目为偶数时，若圆盘在A上，则把它移动到B座。

若圆盘在B座，则把它移动到C座，若圆盘在C座，则把它移动到A 座。

接着，把另外两座上可以移动的圆盘移动到新的座上。

最后反复进行上面所述的两个步骤，最后就能完成汉诺塔问题。

其实这种方法很简单，就是按照一定的规则向一个方向移动。

例如当圆盘的数量为3时，其移动方向是A-C、A-B、C-B、A-C、B-A、B-C、A-C。

其实这也是汉诺塔问题的非递归算法。

四、阶乘问题（递归算法）
★算法分析：1、阶乘（factorial）是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号。

2、阶乘可用自身调用自身的递归调用方法解决。

★源代码：
图4-1
★执行结果：
图4-2
五、水仙花数问题
★算法分析：1、所谓水仙花数，就是一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。

例如153就是一个水仙花数。

2、关于求一个三位数的各个位数的问题。

百位数可以直接用该数
除以100解决，因为该数是一个整型变量，其结果也必定是整
型数字，即百位数。

同理，十位数可以用先除10在除10取余
数的方式解决。

个位数直接除10取余数。

3、关于立方的计算，可以直接三个数相乘，也可以调用cmath
库函数进行求解。

★源代码1：
图5-1
★执行结果1：
图5-2
图5-3 ★源代码2：
图6-1 ★执行结果2：
图6-2
六、最大公约数与最小公倍数问题
★算法分析：1、计算两个数的最大公约数比较简单的方法是从两
个数较小的那个数字中开始依次递减，得到的这两个数中第一个公因子即为
所求的最大公约数。

2、计算两个数的最小公约数比较简单的方法是从两个数中较大的
那个数字开始一次加1，得到的第一个公倍数就是两数的最小
公倍数。

3、如果i为a和b的公因数，那么一定满足a%i=0且b%i=0。

所以在算法优化中只需要i从min（a，b）开始依次递减1，，并逐个判断i是不是a和b的公因数，这样得到的第一个公因
数就是其最大公约数。

4、最小公倍数的求解与3一致。

5、跳出一重循环可以在循环体判断条件中添加break语句。

★源代码：
图7-1
★执行结果：
图7-2
七、哥德巴赫猜想问题
★算法分析：1、所谓的哥德巴赫猜想是指每一个大于2的偶数都
可以表示成两个素数之和。

我国数学家陈景润曾经作出重要的贡献。

2、不可能对所有偶数进行举例（因为程序必须是有穷的，而偶数
是无穷的）。

3、判断一个偶数a是不是可以表示成两个素数的和是本算法的核
心。

一个正偶数a一定可以表示成为a/2种正整数相加的形式。

因为a=1+（a-1）=2+(a-2)=3+(a-3)=……a/2+(a-a/2)共
a/2种形式。

所以在这a/2种形式中只要有一种满足两数皆是
素数时即可证明哥德巴赫猜想的正确性。

★伪代码描述：
算法：验证哥德巴赫猜想的正确性
输入：一个数i
i ？
Repeat：
If i是素数and a-i是素数
Then 设置标志，跳出循环
Endif
I<-i+1
Until i>a/2
Else a不满足哥德巴赫猜想
End loop
End
★源代码：
图8-1 图8-2
八、完全数问题
★算法分析：1、完全数是满足所有的真因子（除自身外的约数）的和等于它本身。

例如6是完全数，即6=1+2+3。

2、判断完全数，需要找出数的所有约数，约数是所求数能被除尽
的所有数。

所以只要找出所有约数即可。

3、完全数的性质：
（1）能写成连续自然数之和。

例如6=1+2+3。

（2）全部因数的倒数和为2。

例如1+1/2+3/1+1/6=2。

（3）除6以外的完全数能表示成连续奇次方立方之和。

例如
28=1^3+3^3。

（4）可以表示成2的一些连续正整次幂之和。

例如28 = 2^2
+ 2^3+2^4。

（5）完全数全部以6或8结尾。

（6）除6以外的完全数，把它的各个位数相加，直到变成个
位数，那么这个个位数一定是1。

即除6以外的完全数，
被9除后都是余1。

例如496,4+9+6=19，
1+9=10,1+0=1。

（7）数学家欧几里得推算出来的完全数获得公式：如果2^p-1 为质数，那么（2^p-1）×2^(p-1)就是一个完全数。

当
2^p-1是质数时，称梅森素数。

★源代码：
图9-1 ★执行结果：
图9-2。