高中数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.2 2.2.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 Word版含解析

[A 组 基础巩固]
1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )
A ．(－1,0)，(1,0)
B ．(－6,0)，(6,0)
C ．(－6，0)，(6，0)
D ．(0，－6)，(0，6)
解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．
答案：D
2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2
＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5
解析：由题意得m 2＝2×8＝16，
∵m 是正数，∴m ＝4，
∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，
∴e ＝32.故选A.
答案：A
3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，
tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12
解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率
e ＝2c 2a ＝53.
答案：A
4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k
＝1(0＜k ＜9)有( ) A ．等长的长轴
B ．相等的焦距
C ．相等的离心率
D ．等长的短轴
解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.
其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B
答案：B
5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭
圆的方程为( )
A.x 212＋y 2
8＝1
B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 2
8＝1
C.x 23＋y 2
2＝1
D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 2
2＝1
解析：由题意知a ＝3，
又∵e ＝33，∴c ＝1，
∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，
所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 2
2＝1.故选D.
答案：D
6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭
圆的方程是________．
解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，
∴e ＝c a ＝4a ＝12，
∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，
∴方程是y 264＋x 2
48＝1.
答案：y 264＋x 2
48＝1
7．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．
解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭
圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)． 答案：(±3，0)
8．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．
解析：如图所示，在Rt △PF 1F 2中，
|F 1F 2|＝2c ，
∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3
. 由椭圆定义知
2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.
答案：33
9．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴
的长、焦点坐标及顶点坐标．
解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2
m ＝1.
(1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，
∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，
∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，
∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．
(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，
∴c ＝m －4，
∴e ＝c a ＝m －4m
＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝
⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝
⎛⎭⎪⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8
＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值． 解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，
a 2＝k ＋8，
b 2＝9，得
c 2＝k －1.
由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34
，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，
a 2＝9，
b 2＝k ＋8，得
c 2＝1－k .
由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234.
故满足条件的k 值为k ＝28或－234.
[B 组 能力提升]
1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )
A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米
B.(m ＋R )(n ＋R )千米 C ．mn 千米 D ．2mn 千米
解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，
由题意，可得⎩⎨⎧
a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，
解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，
故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).
即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).
答案：A
2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭
圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段
PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A.23
B.33
C.53
D.73
解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，
∴|PF 1|＝2b ， ∴|PF 2|＝2a －2b ，
∴|AF 2|＝a －b .
在Rt △OAF 2中有
b 2＋(a －b )2＝
c 2，
将b 2＝a 2－c 2代入整理得
3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，
即3－3e 2＝21－e 2，
即9e 4－14e 2＋5＝0，
解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，
∴e ＝53.故选C.
答案：C
3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，
∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，
故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2
64＝1.
答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2
64＝1
4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b c x 的
对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，
设QF 与直线y ＝b c x 交于点M . 由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，
∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.
在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ，
可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，
故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2
a .
由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2
a ＝2a ，
整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，
故e ＝c a ＝22.
答案：22
5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．
解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ
的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13
，设椭圆的焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，
e ＝c a ＝23＋1
＝3－1.
6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程． 解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为b
a ，
故CD 方程为y ＝b
a (x －c )．
与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.
∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
c ，－bc a ，
将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc
a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，
∴e ＝c a ＝2
2.
(2)由(1)知CD 的方程为y ＝2
2(x －c )，b ＝c ，a ＝2c .
与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.
∵平行四边形OCED 的面积为
S ＝c |y C －y D |＝2
2c (x C ＋x D )2－4x C x D
＝2
2c c 2＋2c 2
＝6
2c 2＝6，
∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2.
故椭圆方程为x 24＋y 2
2＝1.。