微专题 14 答案

1. 答案：26
2、假设存在满足条件的d a ,1及正整数k n ,，
使得k n k n k n n a a a a 34232
1,,,+++依次成等比数列，因为k n k n k n n a a a a 342321,,,+++都是正数， 所以k n k n k n n a a a a 34232
1ln ,ln ,ln ,ln +++构成等差数列， 即4321ln )3(,ln )2(,ln )(,ln a k n a k n a k n a n +++构成等差数列，
设其通项为4,3,2,1,=+m t sm ，，
不妨设数列4321,,,a a a a 的通项为4,3,2,1,=+=m a dm a m
，0≠d ， 所以t sm a dm k m n +=+
-+)ln(])1([， 即k
n km t sm a dm -++=+)ln(对4,3,2,1=m 恒成立， 不妨设c k n =-，令c kx t sx a dx x g ++-
+=)ln()(，0>x 则2/)
()()()(c kx t sx k c kx s a dx d x g ++-+-+=
2222))(()()2(c kx a dx a sc kt d c x scd ktd dkc x dk ++-++-++=， 因为0≠d ，0,0,0≠+>+>c kx a dx x ，
所以函数)(/x g 至多有两个零点，即)(x g 在),0(+∞∈x 上至多有三个单调区间，
从而)(x g 至多会有三个零点，这与4,3,2,1=x 都是)(x g 的零点相矛盾，
因此不存在满足条件的1,a d ，使得k n k n k n n a a a a 34232
1,,,+++依次成等比数列．
3、答案：（1）12/)22(++=n x n y ，所以曲线122+=+n x y 在点)2,1(处的切线斜率为22+n ，从而切线方
程为)1)(22(2-+=-x n y ．令0=y ，解得切线与x 轴的交点的横坐标1
111+=+-=n n n x n ． （2）证明：由题设和（1）中的计算结果知：
2122321-=n n x
x x T 222)212()43()21(n n -= 当1=n 时，4
11=T ； 当2≥n 时，因为n
n n n n n n n n n x n 1222)2(1)12()
2()12()212(222222
12-=-=-->-=-=- 所以n n n T n 41
132
21
)21
(2=-⨯⨯⨯⨯> ．
综上可得对任意的*N n ∈，均有n T n 41>．。