区间上的连续函数(老黄学高数第120讲)

老黄学高数
第120讲 区间上的 连续函数
若函数f在区间I上的每一点都连续，则 称f为I上的连续函数.
对于闭区间或半开半闭区间的端点， 函数在这些点上连续是指左连续或右连续。
如：(1)y=c, y=x, y=sin x和y=cos x都是R上的连续函数.
(2)函数y=
在(-1,1)每一点处都连续,
在x=1左连续，在x= -1右连续，∴在[-1,1]上都连续.
.
证明：若f在x0连续，则|f|与f2也在x0连续.
又问：|f|或f2也在I连续，那么f在I是否必连续？
证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，
都有|f(x)-f(x0)|<ε.又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，
∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε. ∴|f|在点x0连续.
反之则不成立，例如设f(x) =
则|f|,f2均为常量函数，
∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.
取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有
|f2(x)-f2(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε/M·M=ε，
∴f2在点x0连续.
.
证明：若f在x0连续，则|f|与f2也在x0连续.
又问：|f|或f2也在I续，
=ε，
即δ=ε|x0|2-δε|x0|，(1+ε|x0|)δ=ε|x0|2，所以
从而，可确定δ=
>0.
按定义证明下列函数在其定义域内连续： (1)f(x)=1/x；(2)f(x)=|x|.
(2)f(x)=|x|在R上都有定义. 任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε. ∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.
概念：若函数f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点， 则称f在[a,b]上分段连续. 如：函数y=[x]和y=x-[x]在区间[-3，3]上是分段连续的.
按定义证明下列函数在其定义域内连续： (1)f(x)=1/x；(2)f(x)=|x|. 证：(1)f(x)=1/x的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)， 对任意x,x0∈D时，由三角不等式：|x|≥|x0|-|x-x0|，
从而有
对任给的正数ε，只要取δ=
>0, 就有
当|x-x0|<δ时，
即|f(x)-f(x0)|<ε，∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.
=ε，
按定义证明下列函数在其定义域内连续： (1)f(x)=1/x；(2)f(x)=|x|. 如何确定δ? 要使当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，只需
.
证明：若f在x0连续，则|f|与f2也在x0连续.
又问：|f|或f2也在I连续，那么f在I是否必连续？
已证：|f|也在x0连续，
又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，
使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M/2，
∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε/M.