高考数学 专题36 圆的方程热点题型和提分秘籍 文

专题36 圆的方程
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。

2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

热点题型一 求圆的方程
例1、 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )
A ．(x －5)2
＋y 2
＝5或(x ＋5)2
＋y 2
＝5 B ．(x ＋5)2
＋y 2
＝5 C ．(x －5)2
＋y 2＝5 D ．(x ＋5)2
＋y 2
＝5
(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。

【解析】(1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|
5，解得a
＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2
＋y 2
＝5。

(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A (1,2)，B (2,2)，C (3,1)。

【提分秘籍】
1．求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。

2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。

(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。

提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。

【举一反三】
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
【答案】A
热点题型二 与圆有关的最值问题
例2、已知实数x ，y 满足x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0，求： (1)y x
的最大值； (2)y －x 的最小值； (3)x 2
＋y 2
的最值。

【解析】(1)设y x
＝k ，得y ＝kx ，所以k 为过原点的直线的斜率。

又x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0表示以(2,0)为圆心，半径为3的圆，如图所示。

当直线y ＝kx 与已知圆相切且切点在第一象限时k 最大。

此时：
【提分秘籍】
与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如μ＝
y －b
x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。

(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。

(3)形如(x －a )2
＋(y －b )2
形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

【举一反三】
设P (x ，y )是圆(x －2)2
＋y 2
＝1上的任意点，则(x －5)2
＋(y ＋4)2
的最大值为( ) A ．6 B ．25
C ．26
D ．36 【答案】D
【解析】因为圆(x －2)2
＋y 2
＝1的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，－4)的距离为－
2
＋＋
2
＝5，所以圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x －5)2
＋(y ＋
4)2
的最大值为36。

热点题型三 与圆有关的轨迹问题
例3．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2
＋y 2
＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹。

【解析】如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y
2，线段MN 的中点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42。

但应除去两点：⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－215，285(点P 在OM 所在的直线上时的情况)。

【提分秘籍】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【举一反三】
已知圆x 2
＋y 2
＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点。

(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求PQ 中点的轨迹方程。

1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若
20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .
【答案】[-
【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由22
25050
x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5
:5x A y =-⎧⎨=-⎩或
1
:7
x B y =⎧⎨
=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标
的取值范围为[-.
1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x 2
＋y 2
－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－34
C. 3
D ．2
【答案】A
【解析】由已知可得圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －4)2
＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|a ＋4－1|a 2＋1
＝1，解得a ＝－4
3，故选A.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 【答案】C
3．[2015·重庆卷]已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210
【答案】C
【解析】根据直线与圆的位置关系求解．
由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴ 圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴ 2＋a －1＝0，
∴ a ＝－1，∴ A (－4，－1)． ∴ |AC |2
＝36＋4＝40.
又r＝2，∴ |AB|2＝40－4＝36.
∴ |AB|＝6.
4．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.
【答案】4
【解析】设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d＝3，
即|3m－3|
m2＋1
＝3，解得m＝－
3
3
，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝
|AB|
cos 30°
＝4. 5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．
【答案】(x－1)2＋y2＝2
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【答案】C
【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r。

∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a。

∵|CA|2＝|CB|2，
∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。

∴a＝1，b＝1.∴r＝2。

∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。

2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( ) A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
【答案】C
【解析】圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫
－m
2，0，即－m
2＋3＝0，
∴m ＝6。

3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0 D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0 【答案】C
【解析】将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0。

4．点P (4，－2)与圆x 2
＋y 2
＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1 B ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1 C ．(x ＋4)2
＋(y －2)2
＝4 D ．(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝1 【答案】A
5．过圆x 2
＋y 2
＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是( ) A ．(x －4)2
＋(y －2)2
＝1 B ．x 2
＋(y －2)2
＝4 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝5 D ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝5 【答案】D
【解析】设圆心为O ，则O (0,0)，则以OP 为直径的圆为△ABP 的外接圆。

圆心为(2,1)。

半径r ＝
|OP |
2
＝5。

∴圆的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5。

6．在圆x 2
＋y 2
－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．5 2
B ．10 2
C ．15 2
D ．20 2 【答案】B
7．若实数x ，y 满足x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为__________。

【答案】10
【解析】方程可化为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，设x －2y ＝m ，则圆心到直线x －2y －m ＝0的距离d ＝|5－m |
5
∈[0，5]，解得m 的最大值为10。

8．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________。

【答案】(x －2)2
＋(y ＋3)2＝5
【解析】∵圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)， ∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上。

又已知圆心在2x －y －7＝0上，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝－32x －y －7＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
y ＝－3，即圆心C (2，－3)，
半径r ＝|AC |＝22
＋[－3－－
2＝5，
∴所求圆C 的方程为(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝5。

9．圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________。

11
【答案】x 2＋y 2＝36
【解析】如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°。

而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝
1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6。

所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36。

10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R)的图形是圆。

(1)求t 的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点
P (3,4t 2
)恒在所给圆内，求t 的取值范围。