2025年北师大版八年级下册数学期末复习专题8 旋转的性质在几何中的应用

= 2( + 2)．
在Rt△中，由勾股定理得
2 + (6 − )2 = [ 2( + 2)]2 ，解得
=
7
．
5
∴ =
23
,
5
1
2
=
∴ △ = ×
7
.
5
23
5
7
5
× =
161
．
50
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应用4 运用旋转的性质进行推理
5.母题教材P89复习题T11 如图,在
△中,∠ = 90∘ , = ,
由旋转可知∠ = ∠, = = 3,
= ,∠ = 90∘ .
∴ ∠ = 90∘ − ∠ = 45∘ = ∠.
又∵ = , ∴ △≌△(SAS). ∴ = .
∵ = ,∠ = 90∘ , ∴ ∠ = ∠ = 45∘ .
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6.如图①,等腰直角三角形的直角顶点为正方形的
中心,点,分别在和上.现将△绕点逆时针旋转
(0∘ < < 90∘ ),连接,（如图②）.
∘−
90
（1）图②中,∠ =_______
（用含 的式子表示）;
（2）在图②中猜想与的数量关系,并证明你的结论.
∴ ∠ = 135∘ .
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3.
如图,在△中, = ,
∠ = 90∘ ,点,在上,且∠ = 45∘ .
（1）画出将△绕点逆时针旋转90∘ 后的三角形；
【解】如图,△即为所求.
（2）若 = 3, = 4,求的长.
连接,如图所示.
是边上一点（点不与点,重
合）,连接,将线段绕点逆时
针旋转90∘ 得到线段,连接交于点,连接.
（1）求证：△≌△；
【证明】由旋转可知 = ,
∠ = ∠ + ∠ = 90∘ .
∵ ∠ = 90∘ = ∠ + ∠,
∴ ∠ = ∠ =
1
×
2
(180∘ − 45∘ ) = 67.5∘ .
（3）求证： 2 = 2 + 2 .
【证明】∵ ∠ = ∠ = 45∘ ,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90∘ .∴ 2 = 2 + 2 .
又∵ = ,∴ 2 = 2 + 2 .
∠ = ∠′ = 90∘ .
在Rt△′中,
′ = 2 + ′2 = 22 + 22 = 2 2.
（2）连接,若 = 3,求∠的度数.
∵ = ′,∠′ = 90∘ ,
∴ ∠′ = ∠′ = 45∘ .
由旋转可知 = ′ = 1,
将线段绕点逆时针旋转90∘ 得到
线段，连接，．若与的数量关系满足
= + 2，求△的面积．
【解】∵ = ,∠ = 90∘ ，
∴ ∠ = ∠ = 45∘ .
∵ 将线段绕点逆时针旋转90∘ 得
到线段，
∴ = ,∠ = 90∘ = ∠. ∴ ∠ = ∠.
第三章 图形的平移与旋转
专题8 旋转的性质在几何中的应用
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应用1 运用旋转的性质求角度
1.母题教材P90复习题T20 如图,将
一个钝角三角形（其中
∠ = 120∘ ）绕点顺时针旋转得
到△1 1 ,使得点落在延长线
上的点1 处,连接1 .
（1）写出旋转角的度数；
【解】旋转角为60∘ .
（2）求证：∠1 = ∠1 .
【证明】由旋转的性质知 = 1 ,
∠ = ∠1 .
由（1）可知∠1 = 60∘ .
∴ △1 为等边三角形.
∴ ∠1 = 60∘ .
∴ ∠1 + ∠ = 180∘ .∴ 1 //.
△.
（2）当 = 时,求∠的度数；
【解】∵ = ,∠ = 90∘ ,
∴ ∠ = ∠ = 45∘ .
∵ △≌△,
∴ ∠ = ∠ = 45∘ , = .
又∵ = ,∴ = .
【解】 = .证明如下:
∵ 四边形为正方形，
∴ ∠ = 90∘ , = .
∵ ∠ = ，
∴ ∠ = 90∘ − .
又∵ = ，∴ △≌△(SAS)．
∴ = ,∠ = ∠ = 45∘ . ∴ ∠ = 90∘ ．
在Rt△中， = = 3 2，
∴ = 2 + 2 = 6．
设 = ，则 = , = 6 − ,
= + 2． ∴ 易得
∴ ∠ = ∠1 . ∴ ∠1 = ∠1 .
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应用2 运用旋转的性质求线段长度
2.如图,把正方形中的△绕点
顺时针旋转得到△′, = 2, = 1.
（1）连接′,求′的长；
【解】∵ 四边形是正方形，
∴ ∠ = 90∘ .
由旋转可知 = ′ = 2，
∠ = ∠′.
在△′中,
′2 + ′ 2 = (2 2)2 + 12 = 9, 2 = 32 = 9，
∴ ′2 + ′ 2 = 2 . ∴ ∠′ = 90∘ .
∴ ∠′ = ∠′ + ∠′ = 45∘ + 90∘ = 135∘ .
∴ ∠ = 45∘ . ∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90∘ .
∴ = 2 + 2 = 42 + 32 = 5. ∴ = 5.
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应用3 运用旋转的性质求面积
4.如图， = = 3 2，
∠ = 90∘ ，连接，点在边
上（点不与点，重合），连接，