苏教版 高中数学必修第一册 基本不等式的应用 课件2
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利用基本不等式解决实际问题 【例 3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有 36 m 长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
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[解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
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在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最 小值问题； (出答案．
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基本不等式的实际应用 【例4】 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的
旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进 出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的 旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单元：元).
(1)用x表示y； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照 已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其 相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一 般用单调性.
3.2.2 基本不等式的应用
知识导入
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设 计才能使所用篱笆最省呢？
问题 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大，那么在面积相等的矩形中，什 么样的图形周长最小？ 提示 在面积相等的矩形中，正方形的周长最小.
训练 1.
于 A.10
已知 a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥2am＋b恒成立，则 m 的最大值等
√B.9
C.8
D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使2a＋1b≥2am＋b恒成立， 只需 m≤(2a＋b)2a＋1b恒成立， 而(2a＋b)2a＋b1＝4＋2ba＋2ab＋1≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
2. 已知x>0，y>0，且满足x＋2y＝1.求x＋2y的最小值.
解 因为 x>0，y>0，所以8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18， 当且仅当1x6y＝xy，x＋2y＝1，即 x＝23，y＝16时，等号成立， 所以8x＋1y的最小值为 18.
【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [ 思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，用基本不等式 解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式.把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案.
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法一：由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以2 6xy≤18，得xy≤227， 即Smax＝227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18，
解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y． ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝23y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0．∴S≤236－2y＋y2＝227． 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5． 故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
基本不等式与最大(小)值
对于正数 a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和 a＋b 为定值时，积 ab 有_最__大__值___； 积 ab 为 定 值 时 ， 和 a ＋ b 有 __最___小__值____.(2) 取 等 号 的 条 件 当且仅当__a_＝___b____时， ab＝a＋2 b.
解 (1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知得 xa＝360，得 a＝36x0. ∴y＝225x＋36x02－360(x>0). (2)∵x>0，∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.
利用基本不等式解决实际问题 【例 3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有 36 m 长的钢筋网 材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
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[解] 设每间虎笼长x m，宽y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18． 设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
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在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最 小值问题； (出答案．
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基本不等式的实际应用 【例4】 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的
旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进 出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的 旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单元：元).
(1)用x表示y； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
(2)∵0<x<12， ∴1－2x>0， ∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋21－2x2＝14×14＝116. ∴当且仅当 2x＝1－2x0<x<21，即 x＝14时，ymax＝116.
利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照 已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其 相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一 般用单调性.
3.2.2 基本不等式的应用
知识导入
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能 使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设 计才能使所用篱笆最省呢？
问题 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大，那么在面积相等的矩形中，什 么样的图形周长最小？ 提示 在面积相等的矩形中，正方形的周长最小.
训练 1.
于 A.10
已知 a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥2am＋b恒成立，则 m 的最大值等
√B.9
C.8
D.7
解析 因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使2a＋1b≥2am＋b恒成立， 只需 m≤(2a＋b)2a＋1b恒成立， 而(2a＋b)2a＋b1＝4＋2ba＋2ab＋1≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
2. 已知x>0，y>0，且满足x＋2y＝1.求x＋2y的最小值.
解 因为 x>0，y>0，所以8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy≥10＋2 16＝18， 当且仅当1x6y＝xy，x＋2y＝1，即 x＝23，y＝16时，等号成立， 所以8x＋1y的最小值为 18.
【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [ 思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时，上式等号成立， 故当 x＝1 时，ymax＝1.
规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，用基本不等式 解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式.把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案.
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法一：由于2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以2 6xy≤18，得xy≤227， 即Smax＝227，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18，
解得xy＝＝43..5， 故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
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法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y． ∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y9－32y＝23y(6－y)． ∵0<y<6，∴6－y>0．∴S≤236－2y＋y2＝227． 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4．5． 故每间虎笼长为4．5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
基本不等式与最大(小)值
对于正数 a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和 a＋b 为定值时，积 ab 有_最__大__值___； 积 ab 为 定 值 时 ， 和 a ＋ b 有 __最___小__值____.(2) 取 等 号 的 条 件 当且仅当__a_＝___b____时， ab＝a＋2 b.
解 (1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知得 xa＝360，得 a＝36x0. ∴y＝225x＋36x02－360(x>0). (2)∵x>0，∴225x＋36x02≥2 225×3602＝10 800. ∴y＝225x＋36x02－360≥10 440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立. 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.