林木胸径与材积的关系——Logistic衍生模型

林木胸径与材积的关系——Logistic 衍生模型
张连翔，林 阳
（辽宁省干旱地区造林研究所，辽宁 朝阳，122000）
摘 要： 基于著名的Logistic 模型，以时间因子作媒介，推导出一个能较准确描述林木V D -关系的一元材积模型——Logi stic 衍生模型。

这是一个既有理论依据，又有实用价值的新模型。

实践证明，Logistic 衍生模型具有较强的数据拟合能力和广泛的适用性，除林木V D -关系外，尚可应用于林木H D -关系和植病S I -关系等项研究，具有理论和实用上的双重意义。

关键词： Logistic 衍生模型；林木V D -关系； H D -关系；一元材积式
分类号： S 757．1
林木胸径与材积的关系（V D -关系）是测树学中的一个重要概念，作为一元材积式，广泛应用于森林调查中。

特别是随着电子计算机的普及应用，不仅使材积表的准确度得到提高，更使复杂模型的求解以及多个材积式的选优与检验成为可能。

尽管迄今为止各国林学家相继提出了几十个类型各异的一元材积模型[1]，然而令人遗憾的是，有关方法和模型大都属经验式的，缺乏理论依据，同时模型的拟合精度也不很尽如人意。

因此，有必要从理论上研究胸径与材积的关系，探讨建立既有理论依据，又有较高拟合精度的一元材积回归模型。

基于Logistic 模型，笔者推导出一个能准确描述林木胸径与材积关系的新模型——Logistic 衍生模型，经实例验证，效果良好，具有理论和实用上的双重意义。

1 Logistic 衍生模型的导出
众所周知，林木生长包括3个基本过程，即细胞分裂、细胞延长和细胞分化。

虽然从理论上讲细胞和组织的生长潜力是无限的，可按指数式增长，但因受“环境阻力”的影响，使整个生长曲线呈现慢—快—慢—停的“S ”形生长节律。

显示同样生长进程的调查因子有直径、树高、材积和质量等。

因此可见，在林木生长过程中，时间始终是一个重要因子，利用时间动态方程描述林木生长进程，已有不少学者进行过较为深入的探讨[1]。

本文的目的，是利用林木生长进程中的时间因子作媒介，推导出一个新的V D -关系模型。

在林木生长进程中，胸径和材积的生长大体可视为2个同步过程，时间是它们的共同因子。

对于这2个生长过程，可分别用方程（1）、（2） 表示[2,3]：
()]t b a K D 111ex p 1-+= （1） ()]t b a K V 222ex p 1-+= （2）
整理方程（1）、（2），解出t ，可得： 111ln b D D K a t ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--= （3） 22
2ln b V V K a t ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--= （4） 显然，在林木生长进程中，对应于每一个i t ，林木的2个表观生长过程均有相应的i D 和i V ，这些V D -数值的关系及其变化，便构成了林木的V D -关系。

联立式（3）、（4）并整理得：
()[]()[]b D D K a V V K -=-12 （5）
式中：()[]12112ex p b b a b a a -=；12b b b =。

为明了起见，用21K K K K V D 代，代，进一步变换式（5），容易得到：
()1
1+-=b D V D K a K V （6） 式中：V —材积；D —胸径；V K —环境条件所允许的最大材积；D K —环境条件所允许的最大胸径；b a ,—待定参数。

且有a ＞0，b ＞0，∈D （0，D K ），∈V （0，V K ）。

在此，把式（6）称之为Logistic 衍生模型。

2 Logistic 衍生模型的性质
Logistic 衍生模型具有以下几点重要性质：
① 因a ＞0和b ＞0，当→D 0时，V 的极限为零，当D K D →时，V K V →，这种 特征符合一般V D -关系。

② 在开区间（0，D K ）内，模型有连续的导数，形式为： ()()[]
221111dD d +--=-b D b D D V D K a D D K K abK V （7） 式（7）左边的值恒为正数，表明方程（6）在此区间内单调上升，没有极值和拐点，即随D 的增加，V 也逐渐增大，但相对速率则由于D 的不同而异，这种特征也符合一般V D -关系。

3 Logistic 衍生模型的求解
Logistic 衍生模型参数的求解并不很复杂，首先按求解Logistic 模型参数K 的方法[4,5]确定V K 和D K ，然后把式（6）还原为下面的形式：
()()b D V D K a V K 11-=- （8）
这样，即可用对数线性最小二乘法求得参数b a ,。

亦即：
()()1ln ln 1ln -+=-D K b a V K D V （9） 最后，再将式（9）变换为式（6）的形式。

但是，笔者已经注意到，上述方法求解模型参数并不是最优的，在可能的情况下，可采用非线性方法最优拟合具有4个参数（b a K K D V ,,,）的Logistic 衍生模型（式（6）），诸如Marquardt 方法[6]、单纯形法[7]等，这时，上面采用对数线性化方法求得的参数可用于确定迭代初值。

Logistic 衍生模型的非线性最优拟合方法及其有关问题（稳定性、收敛速度和收敛精度等）尚待进一步探讨。

不过，从实际应用来看，对于一组V D -关系数据，既使用目测法粗估V K 和D K ，也可获得令人满意的效果，显示出Logistic 衍生模型较强的数据拟合能力。

4 例证研究
应用凉水林场落叶松人工林资料[1]，分别拟合下列一元材积模型：
bD a V += （10）
b aD V
= （11） 2bD a V
+= （12） 2bD aD V
+= （13） ()[]
11+-=b D V D K a K V （14） 用剩余平方和Q ))((2V V Q -∑=∧和决定系数SS Q SS R R )((2
2-=。

其中SS 为总平方和；)(Q SS -为回归平方和）两项指标评价模型的优劣[5]。

显然，Q 愈小，2
R 愈大，说明模型的拟合效果愈好（见表1）。

表1 凉水林场落叶松人工林资料对不同模型的拟合结果*
一元材积模型 剩余平方和)(Q 决定系数)(2R D V
015.0092.0+-= 0.006 0.940594 342295.2000185.0D V
= 0.00049958 0.995054 2000548.0011538.0D V
+-= 0.00056622 0.994394 2000598.0001611.0D D V +-= 0.00046643 0.995382 ()[]110.25637229.330.0603552.1+-=D V 0.00011128 0.998898 *表中Logistic 衍生模型的参数V K 和D K 的取值系按目测法给出的。

从表1清晰可见，尽管采用目测法粗估V K （0.30）和D K （25.0）两参数，但与其它4个常用的一元材积模型相比，本文提出的Logistic 衍生模型还是以其剩余平方和)(Q 最小和决定系数（2R ）最大而无可争辩地成为最优者。

这一结果甚至比采用Marquardt 方法最优拟合b aD V =模型获得的结果（995222.0,00048256.02
==R Q ）还要好得多。

因此，有理由相信，Logistic 衍生模型有希望成为最受欢迎的一元材积模型。

5 结论与讨论
以Logistic 模型为基础，以时间因子为媒介，成功地推导出一个既有理论依据、又有实用价值，能准确描述林木胸径与材积关系的一元材积模型——Logistic 衍生模型，实际应用效果良好，可在森林调查中推广应用。

Logistic 衍生模型具有较强的数据拟合能力和广泛的适用性。

特别是对试验数据不很完整，即在有关调查因子的生长末达平衡位置便终止试验时，该模型依然好用，这是很有意义的。

除林木V D -关系外，Logistic 衍生模型尚可应用于林木H D -关系以及生物量预估等更广泛的研究领域。

推而广之，任一生物个体或其种群，若有经济意义的2个相关因子()B A ,的生长节律或发展进程同呈“S ”形关系，则可应用本文提出的Logistic 衍生模型由其中一个易测因子()B 实现对另一因子()A 的精确估计，反之亦然：
()[]
11+-=b B A B K a K A （15） 需要说明的是，对于前期生长较慢的树种来说，在林木达到可测胸径之前，已有少量的材积积累，可能会出现V D -关系中时间因子的非同步现象，对此，Logistic 衍生模型未予考虑。

但这并不对模型的准确程度构成较大影响。

这也正是前面提及的胸径和材积的生长“大体可视为两个同步过程”的基本理由之所在。

参 考 文 献：
[1] 孟宪宇主编．测树学[M]．北京：中国林业出版社，1996，132-135；193-200
[2] 张连翔，刘学增．逻辑斯谛曲线上两个重要特征点的分析及其应用[J]．河北林学院学报，1992，7(2)： 154-158
[3] 张连翔，刘学增．静电处理林木种子对苗木年高生长节律的影响[J]．西北林学院学报，1991，6(4)：54-58
[4] 徐汝梅．昆虫种群生态学[M]．北京：北京师范大学出版社，1987，111-118
[5] 王振中，林孔勋．逻辑斯谛曲线K 值的四点式平均值估计法[J]．生态学报，1987，7(3)：193-197
[6] 张连翔，郑红旗．用Marquardt 方法最优拟合Gerrand-Chiang 模型[J]．辽宁林业科技，1996，(2)：34-35
[7] 董德元，杨 节，苏敏文，等．试验研究的数理统计方法[M]．北京：中国计量出版社，1987，309-317
Research on the Logistic Extension Model About the Relationship Between the Diameter at Breast Height and Volume of Trees
ZHANG Lian-Xiang, LIN Yang
(Research Institute of Afforestation in Arid Zones of Liaoning Province, Chaoyang, 122000)
Abstract: Based on the famous Logistic model and time factor as medium, an one-way tree volume model-Logistic extension model, which can accurately describe the relationship between the diameter at breast height and volume of trees has been deduced. It is a new model both has theoretical basis and practical value. It has been found that the Logistic extension model has strong data fitting ability and widespread applicability, except the relationship between the diameter at breast height and volume. It can still be used in the research on the relationship between the diameter at breast height and height and the relationship of plant disease(I-S). It is of both theoretical and practical significance.
Key words: Logistic extension model, the relationship between the diameter at breast height and volume of trees, the diameter at breast height and height, one-way tree volume model。