2020-2021苏州高新区实验初级中学(新实初中)高一数学下期中一模试卷及答案

2020-2021苏州高新区实验初级中学（新实初中）高一数学下期中一模试卷及
答案
一、选择题
1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l
的方程为（ ） A ．4330x y --= B ．3430x y --= C ．3440x y --= D ．4340x y --=
2．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积
为（ ） A ．6π
B ．5π
C ．4π
D ．3π
3．设圆C ：2
2
3x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．60,5
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．16,25⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
4．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤ B ．a c b ≤≤ C ． c a b ≤≤ D ．c b a ≤≤ 5．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+= B ．4x 2y 5-= C ．x 2y 5+= D ．x 2y 5-= 6．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
7．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45
B ．62+25
C ．32+45
D ．32+25
8．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和
15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130
B ．140
C ．150
D ．160
10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．43
B
．
10
33 C ．23 D ．
833
11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条
直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥
12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC V 是等腰三角形，
BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1
AF
FA 的值为( )
A ．1
B ．
1
2
或2 C ．
2
2
或2 D ．
13
或3 二、填空题
13．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.
14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是
22，则圆
M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．
15．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .
16．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1
O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则1
2
V V 的值是_____
17．一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________
18．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面
ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________
20．若直线:20l kx y --=与曲线()2
:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.
三、解答题
21．已知过原点的动直线l 与圆1C :2
2
650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出
k 的取值范围；若不存在，说明理由．
22．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成
角的正弦值.
23．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.
（1）求证：EF P 平面ABD ；
（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .
24．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线
34100x y -+=上任意一点．
（1）求圆C 的方程；
（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．
25．如图，已知四棱锥
的底面
是菱形，
平面
，点为
的中点.
（1）求证：∥平面
；
（2）求证：
.
26．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切． （1）求圆C 的标准方程；
（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．
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一、选择题
1．D 解析：D 【解析】
设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01
tan 2
k α==
，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα==
=-，又经过点（1,0），所以直线方程为
4
(1)3
y x =-，即4340x y --=，选D.
2．A
解析：A 【解析】
分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.
详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，
PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，
所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球， 外接球的直径等于长方体的对角线，
即2R =
=
246R ππ=，故选A.
点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：
①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；
②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球； ④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO
OPQ PO
∠=
，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π
∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得
知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】
由分析可得：22200PO x y =+
又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--
要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „
故2222
000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605
x 剟 即0x 的取值范围是6
[0,]5
， 故选：B ． 【点睛】
解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO „，从而得到不等式求出参数的取值范围．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】
由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，
=．
即：2
2
1244x x y y +-++-
229612x x y y =+-++-，
化简得：425x y -=．
故选B ．
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:
因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,
因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,
过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,
过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,
所以1122,25,42EF BE C F BC ====, 所以所求截面的周长为62+45, 故选:A 【点睛】
本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】
对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.
【点睛】
本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．
9．D
解析：D 【解析】
设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线1
19,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥， 在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得22
11
56AC AC A A =
-=
同理可得2211200102BD D B D D =
-==，
因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分， 所以2211
()()1450822
AB AC BD =
+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.
点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.
10．B
解析：B 【解析】
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1
10
4323333
V =⋅=. 故选：B.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】
1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，
所以1BD CC ⊥，
又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，
1C F Q 平面11AAC C ，
所以1C F BD ⊥，
因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，
在四边形11AAC C 中，123
1AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，
由222
11C D DF C F =+得(
)()2
2
19143x
x ⎡⎤+=+++-⎣⎦
， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以
11
2AF FA =或者1
2AF
FA =， 故选：B.
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案
解析：
3
【解析】
【分析】
棱11111
,,
A A A
B A D与平面
11
AB D所成的角相等，所以平面
11
AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sinθ.
【详解】
因为棱11111
,,
A A A
B A D与平面
11
AB D所成的角相等，
所以平面11
AB D就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，
1
A AOθ
∠=，
设棱长为：1，
1
26
,
2
AO AO
==，易知
2
3
2
sin
6
θ==
3
【点睛】
本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.
14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交
【解析】
【分析】
根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【详解】
解：圆的标准方程为222
:()(0)
M x y a a a
+-=>，
则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2
d =
，
Q 圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，
2
2
2222
a a ∴-=
即24a =，2a =，
则圆心为(0,2)M ，半径2R =，
圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =， 则2MN =
，
3R r +=Q ，1R r -=， R r MN R r ∴-<<+，
即两个圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．
15．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：
【解析】
试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有
，
故底面面积，故圆柱的体积
.
考点：圆柱的体积
16．【解析】设球半径为则故答案为点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体锥体或台体则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出则常 解析：
32
【解析】
设球半径为r ，则213223
423
V r r V r π⨯==
π．故答案为32
．
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
17．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别 解析：21π
【解析】 【分析】
设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积． 【详解】
∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，
设球O 的半径为R ，则2
2
2
323213234R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== . 故答案为：21π．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．
18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α
解析：②④ 【解析】 【分析】
对每一个选项分析判断得解.
【详解】
根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确． 故答案为②④ 【点睛】
本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线
【解析】 【分析】
在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解. 【详解】
连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，
11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，
所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交， 其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，
Q M 是1BB 的中点，111
,//2
BM DD BM DD ∴=
， BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，
正方体各棱长为1，BN BD ∴==
,1,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，
2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠
32152
=+⨯=，AN ∴=
故答案为
【点睛】
本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.
20．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则
解析：4,23⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
由题意可知，曲线C 为圆()()2
2
111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围. 【详解】
对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线， 对于曲线()2
111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥， 曲线C 的方程两边平方并整理得()()2
2
111x y -+-=， 则曲线C 为圆()()2
2
111x y -+-=的右半圆，如下图所示：
当直线l 与曲线C 相切时，0k >()
2
22123
111k k k k ---=
=++-，解得43
k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =. 结合图象可知，当4,23k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
三、解答题
21．（1）()3,0；（2）2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3）存在，2525k ≤≤
或3
4
k =±
． 【解析】 【分析】
（1）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】
（1）由22650x y x +-+=得()2
234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则
∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴11⋅=-C M AB k k 即
13y y
x x
⋅=--
， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2
23953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭
为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所
示，不包括两端点），且525,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，525,3F ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，
当直线L 与圆L 22
340
232
1k k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
=+得3
4k =±，又2023
5554DE DF
k k ⎛- ⎝⎭=-=-=-
332525,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线L ：()4y k x =-与曲线L 只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 22．（1）见解析；（27 【解析】 【分析】
（1）连接辅助线构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，通过二面角D AE C --为60°，利用平面法向量求出点B 的坐标，再利用法向量求直线AC 与平面ECD 所成角的正弦值. 【详解】 （1）如图，
连接BD ，且BD AC O ⋂=，则在矩形ABCD 中O 为BD 中点， 且在PBD △中，E 为PD 的中点， ∴//OE PB
且OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ；
（2）如图以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，
1AP =，3AD BC ==，
设AB CD a ==，()0,0,0A ， ()3,0C a ，()
3,0D ，312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
∴()
3,0AC a =u u u r ，312AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，()
3,0AD =u u u
r
设平面AEC 、平面AED 和平面ECD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u r ，()2222,,n x y z =u u r
，
()3333,,n x y z =u u r
则有11
00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，
∴1
11
110220
y z ax +=⎨⎪+=⎩，
令1x
)
1n a =-u r
，
同理可得()21,0,0n =u u r
，()
3n =u u r ，
∵二面角D AE C --为60°
∴
1212
1
cos 602n n n n ⋅︒==u r u u r
u r u u r ，
12
=
， 解得32
a =
，
∴32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
，()
3n =u
u r ，
设AC u u u r 与3n u
u r 所成角为θ，
∴33cos n AC n AC
θ⋅===u u r u u u r u u r u u u r 即直线AC 与平面ECD
. 【点睛】
本题考查用线面平行判定定理证明线面平行，用空间向量求线面所成角，考查推理论证能力、运算求解能力和转化与化归思想，是中档题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF . 【详解】
（1）E Q ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴P BD ； 又Q EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
EF ∴P 平面ABD .
（2）BD CD ⊥Q ，EF P BD ，EF CD ∴⊥；
AE ^Q 平面BCD ，AE CD ∴⊥；
又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
CD \^平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ， ∴平面AEF ⊥平面ACD . 【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面. 24．（1）()()22
314x y -+-=（2
）【解析】 【分析】
（1）首先列出圆的标准方程()()()2
2
20x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于
,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222
S PM PM =⨯⨯⨯=，这样
求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】
解：（1）设圆C 的方程为()()()2
2
20x a y b r r -+-=>．
由题意得()()()()222
222
250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩
解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=．
另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨
=-⎩解得3,
1,x y =⎧⎨=⎩
从
而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()2
2
314x y -+-=． （2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以1
2
PMC S PM CM PM =
⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥
，所以PM ==
因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以
3PC ≥=，
则PM =
，即2PMC S S =≥V
故四边形PMCN的面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
25．（1）详见解析；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：(1)设BD与AC交于点O,利用三角形的中位线性质可得,从而证明
平面;(2)由平面,得,根据菱形的性质可得,从而证得
平面,进而.
试题解析：（1）连结交于，连结，点，分别为的中点，所以为
的中位数，，又面，面，所以面.
（2）在菱形中，，又因为面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以
.
26．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）因为圆与直线x+y﹣1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先判定过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，再进行求解.
规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.
试题解析：（1）圆的半径r==，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．
圆的圆心坐标为C（1，﹣2），则过P点的直径所在直线的斜率为﹣，
由于过P点的最短弦所在直线与过P点的直径垂直，
∴过P点的最短弦所在直线的斜率为2，
∴过P点的最短弦所在直线的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0.
考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.。