用递推思想解决排列组合中的教学难点-最新教育资料

用递推思想解决排列组合中的教学难点
作为高中代数中的一个独立分支，排列组合涉及的概念和原理不多，但内容抽象，相对独立性强，不容易掌握，成为教与学的难点。

排列组合中的相当一部分题目又是很难用比较清晰简洁的语言讲授的。

即使教师觉得讲清楚了，由于学生认知水平、思维能力的限制，不少学生还是会感到一知半解。

针对这一现象，我尝试在解题时根据已知条件尽快地发现规律，并利用规律解决问题。

比如相邻数之间的关系叫递推关系，有了递推关系就可以利用前面的数求出后面的未知数，这种思想称为递推思想。

本文运用递推思想尝试解决排列组合中的几个难点。

一阶梯问题
从一楼到二楼共10 级台阶，可以一步一级，也可一步二级，问小明上这10 级阶梯共有多少种不同方式？
解析：可以分类进行： ( 1) 若走0 个二级，则走了10 个一级，共有C01E・种共1种;
2) 若走1 个二级，则走了8 个一级，共有C1・■种共9 种；
若走2 个二级，则走了 6 个一级，共有C2・■种共
28 种；
若走3 个二级，则走了 4 个一级，共有C37^・种共
35种；
5)若走4 个二级，则走了2 个一级，共有C4 ■种
15 种；
(6)若走5个二级，则走了0个一级，共有C5M ■种共1 种。

故共有1+15+35+28+9+1= 89种不同方式。

也可根据到第n 级台阶只能由第n－1 级或第n－2 级达到，则
f(n)=f(n －1)+f(n －2)，且f(1)=1 ，f(2)=2 ，
故：f(3)=3 ，f(4)=5 ，f(5)=8 ，f(6)=13 ，f(7)=21 ，
f(8)=34 ，f(9)=55 ，f(10)=89 。

二环形涂色问题
在如图所示的6 个区域涂上四种不同的颜色，且相邻两个区
域不能同色。

解析：依题意只能选用4 种颜色，可分五类：
(1)②与⑤同色、④与⑥同色，
则有A44;
(2)③与⑤同色、④与⑥同色，
则有A44；
(3)②与⑤同色、③与⑥同色，
则有A44；
(4)③与⑤同色、②？摇与④同色，则有A44；
(5)②与④同色、③与⑥同色，
则有A44。

共120种。

上述分类较多且易漏，是学生学习中的一个难点。

其实只需确定①
中颜色，②③④⑤⑥就是一个环形涂色问题。

环形涂色又如何解决呢？
如图，把一个圆分成n(n >2)个扇形，每个扇形用m种颜色
中的一种去涂，要求相邻不同色，有多少种涂色方法？
(1)当n=2 时，有A2m=m(m 1)种
(2)当分成n个扇形，如图，A1与A2不同色，A2与A3不同
色，
…，An-1与An不同色，共有m(m- 1)n —1种涂色方法，但由
于An与A1令卩，所以应排除An与A1同色和An与A1异色；若An、A1 同色把它们看成一个扇形，与前n - 2个扇形加在一起
为n-1个扇形，此时有an—1种染色法，若An与A1异色，则满足条件。

再看前面问题，4种颜色①中用去一种，另有3种，故m=3 n=5, a ・=6, a・+6=3X4=12, a・=6。

a4+6=3X 8=24,所以a4=18; a5+18=3X 6=48,所以a・=30。

故共有4X 30=120种涂色方法。

上述｛an｝的通项公式有an=( —1)n(m —1)+(m —1)n ,即
a・=(—1)5?2+25=30。

三传接球问题
在排列组合中,传接球问题通常用树图求解。

当传接次数不多时可以很快得出结果,当次数增多、人数增多时,树图表示就困难了。

例如,四人进行传球练习,要求从甲开始,每次只能传给别人：
■
可以看到，第n次在甲手中的可能性，即是第n —1次不在
甲手中的可能性。

故由甲开始第n次回到甲手中为an，第n—1次一定不在甲手中，则an+an－1=3n－1 。

若4 人进行传接球练习，要求每人接球后再传给别人，开始甲发球，并作第一次传球，则第5次传球仍回到甲手中共有多少种传球方式？
a5+a4=34,所以a5=60 种。

上述三类问题在排列组合中都运用了列举法，列举法对学生来说最直接、最简单。

但是，列举的元素较多时，分类、分步就较麻烦。

为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导学生之间进行交流与合作。