高一数学第二次月考补救练习(教师)

高一数学第二次月考补救练习
向量
1．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u v u u u u v
，则()PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v 等于（ ）
A ．
4
9
B ．49
-
C ．
43
D ．43
-
【答案】B
【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线， 又由点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r
∴P 是三角形ABC 的重心∴()
PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 2
||PA AP PA u u u r u u u r u u u r =⋅=-
又∵AM ＝1∴2||3PA =u u u r ∴()
4
9
PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r
故选B ．
2．已知1OA =u u u v ，3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，点C 在AOB ∠内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为30°，设
(),OC mOA nOB m n R =+∈u u u v u u u v u u u v ，则m
n
的值为（ ）
A ．2
B ．
52
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==u u u v u u u v
，
，则 10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
（，），（，），（，），
33
30n tan ∴︒=
= 3m n ∴=． 3．【多项选择】设a r 、b r
是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A ．若a b a b +=-r r r r ，则存在实数λ使得λa b =r r
B ．若a b ⊥r r
，则a b a b +=-r r r r
C ．若a b a b +=+r r r r ，则a r 在b r
方向上的投影向量为a r
r r
r r r r
【详解】当a b a b +=-v v v v 时，则a r 、b r 方向相反且a b ≥v
v ，则存在负实数λ，使得λa b =r r ，A 选项正确，D 选
项错误；
若a b a b +=+v v
v v ，则a r 、b r 方向相同，a r 在b r 方向上的投影向量为a r ，C 选项错误；
若a b ⊥r r ，则以a r 、b r 为邻边的平行四边形为矩形，
且a b +v v 和a b -v v 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-v v v v ，B 选项正确. 故选：AB.
4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433
AD AB AC =-+u u u v u u u
v u u u v ，若()BC DC R λλ=∈u u u v u u u v ，则λ=__________．
【答案】-3
【详解】∵D 为ABC ∆所在平面内一点, 1433
AD AB AC =-+u u u v u u u
v u u u v ，
∴B ，C ，D 三点共线.若BC DC λ=u u u v u u u v (),R λ∈∴AC AB AC AD λλ-=-u u u v u u u v u u u v u u u v
，
化为： AD uuu v =1AB λu u u v +1AC λλ-u u u v ，与AD uuu v =−13
AB u u u v +43AC u u u v ，比较可得： 113λ=-，解得3λ=-. 即答案为-3.
5．如图，在ABC V 中，
1
2
CD AE DA EB ==，若DE CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=________________.
【答案】
23
【详解】因为在ABC V 中，
1
2CD AE DA EB ==，21,33DA CA AE AB ∴==u u u r u u u r u u u r u u u r 212111()333333
DE DA AE CA AB CA CB CA CA CB ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又因为DE CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r
所以：λμ+=2
3
故答案为：23
1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()
22
213
S a c b =+-，则tan B 的值为（ ） A ．
43
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】A
【详解】由1sin 2S ac B =，222
cos 2a c b B ac
+-=，
由()
22213S a c b =
+-，可得12sin cos 23ac B ac B =，整理得4sin cos 3
B B =，因此，4tan 3B =.
故选：A.
2．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、
c ，已知cos 0b a C +=，()sin 2sin A A C =+，则2bc
a
=（ ） A
．
4
B
．
2
C
．
4
D
【答案】A
【详解】()sin 2sin 2sin A A C B =+=Q ，由边角互化思想可得2a b =.
cos 0b a C +=Q ，即222
02a b c b a ab
+-+⋅=，
所以，2
2
2
30a b c +-=，2
2
2
2
37c a b b ∴=+=
，则c =
，因此，2bc a ==
. 故选：A.
3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若32AC AB BA BC CA CB ⋅-⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu r
，2cos cos b b C c B =+，则cos C 的值为（ ） A ．
1
3
B ．13
-
C ．
18
D ．18
-
【答案】D
【详解】解：由32AC AB BA BC CA CB ⋅-⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu r
可得3cos cos 2cos bc A ac B ab C -=， 则22223b c a +=， ①
又2cos cos b b C c B =+，所以2sin sin cos sin cos B B C C B =+， 即2sin sin()sin B B C A =+=，所以2a b = ②
由①②可得：2
2112
c b =，由余弦定理可得22222211512cos 248
b b a b
c C ab b -+-===-,
4．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（ ）
A
．32⎫⎪⎪⎝⎭
B
．2⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D
．
)
2
【答案】A
【详解】由2
2
2
a c
b +=+
和余弦定理得222cos 22
a c
b B a
c +-==
，又()0,B π∈，6B π∴=. 因为三角形ABC 为锐角三角形，则02
02A C ππ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ
⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得32A ππ<<，
1cos sin cos sin cos sin cos cos 662A C A A A A A A A
πππ⎛⎫⎛⎫
+=+--=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
3cos 23A A A π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭， 3
2
A π
π
<<
Q
，即
25336A πππ<+<
，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝
⎭，
则3cos sin 22A C <+<，因此，cos sin A C +
的取值范围是3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：A.
5．【多项选择】下列说法正确的有（ ） A ．在ABC ∆中，::sin :sin :sin a b c A B C = B ．在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则a b =
C ．在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >，若A B >，则sin sin A B >都成立
D ．在ABC ∆中，sin sin sin +=+a b c
A B C
【答案】ACD
【详解】设ABC ∆的外接圆半径为R ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===. 对于A 选项，::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，A 选项正确；
对于D 选项，
2sin 2sin 2sin sin sin sin sin b c R B R C a
R B C B C A
++===++，D 选项正确；
对于B 选项，由二倍角公式得2sin cos 2sin cos A A B B =，
则2222222222b c a a c b a b bc ac
+-+-⋅=⋅
，即()()22222222
a b c a b a c b +-=+-， 整理得4422220a b a c b c --+=，即(
)()22
2
220a b
a
b c -+-=，
则220a b -=或222+=a b c ，所以a b =或2
C π
∠=
，B 选项错误；
对于C 选项，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>（大边对大角），C 选项正确. 故选：ACD.
6．【多项选择】在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(
)
2
sin2tan 2sin cos 2C A C C =+-，则下列结论中错误的是（ ） A ．ABC V 可能是直角三角形 B ．角B 可能是钝角 C ．必有2A B = D ．可能有2a b =
【答案】BC
【详解】依题意得)
2sin sin 2sin cos (22cos cos 2cos (12cos )cos cos A A
C C C C C C A A
=
-+-=⋅⋅-，整理得cos [2(sin cos cos sin )sin ]0C A C A C A ⋅+-=，即cos (2sin sin )0C B A ⋅-=，所以cos 0C =或sin 2sin A B =.
因此当cos 0C =时，ABC V 是直角三角形，故A 选项正确；
而当sin 2sin A B =时，由正弦定理可得2a b =，因此选项D 正确；选项C 错误；无论是cos 0C =还是
sin 2sin A B =，均可得角B 为锐角，故B 错误.故选BC.
故选：BC
复数
1．已知i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,复数z 满足()1 234z i i -=-,则复数z 为（ ） A ．11255
i -
- B ．11255
i -
+ C ．
11255
i + D ．
11255
i - 【答案】D
【详解】解：因为()1234i z i -=-所以3412i
z i
-=
-，
故选:D.
2．已知a 为实数，若123
2
i a i +>+（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2- C ．13
D ．1
2
【答案】D
【详解】解：2212(12)()221()()11i i a i a a i a i a i a i a a ++-+-==+++-++Q
，22210,123,
12a a a a -⎧=⎪⎪+∴⎨+⎪>⎪+⎩
1
2a ∴=. 故选：D 3．若是关于x 的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
.
【答案】B
【详解】由题意知：，整理得：
，
因为、为实数，所以，解得
，
故选B.
4．【多项选择】设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 一定不为实数 D ．对应的点在实轴的下方
【答案】CD
【详解】2
2
549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭
+-->-Q ，()2222110t t t ++=++>，
所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；
当222530220
t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或1
2t =时，z 为纯虚数，故B 错误；
因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；
由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.。