专题2-4 中档大题规范练04三角+概率+立体几何+选讲第0

1.三角大题
在中，内角的对边分别为，已知，且
.
（1）求的值；
（2）若，为的面积，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
（2）由正弦定理得
，
在中，由得，
.
2.概率大题
某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元，抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.
（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片.
①记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析
；
因此的分布列为
的数学期望是
点睛：解决该题的关键是第一问可以应用排列数来解决，分析出对应的满足条件的排列，从而求得结果，第二问注意反面思维的运用，以及分布列的求法，最后应用离散型随机变量的期望公式求得结果.
3.立体几何
如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点
为线段上一动点.
（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；
（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（2）或
试题解析：
（Ⅰ）证明：连、，
∵点为线段的中点，
∴、、三点共线.
∵点、分别为和的中点，∴．
在直三棱柱中，，∴平面，
∴，
又，
∴四边形为正方形，
∴，
∵、平面，
∴平面，
而，
∴平面.
由题意得|，
∴，
解得或.
∴当或时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
点睛：
空间向量的引入为解决立体几何中的探索性问题提供了有力的工具．解决与平行、垂直有关的探索性问题时，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．
4.选讲1（极坐标参数方程）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.
(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)设,求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）.
(Ⅱ) .
（Ⅱ）设，则
，
的面积
，
当且仅当，即时等号成立
面积的最大值为．
（用直角坐标方程求解，参照给分）
5.选讲2（不等式）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.
【答案】(1) 不等式的解集为{或};(2) .。