2018-2019学年度高中数学人教A版必修4周测卷：第一章三角函数(含解析)

周测卷：三角函数
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在0°～360°的范围内,与-510°终边相同的角是( )
A、330°
B、210°
C、150°
D、30°
2.已知函数f(x)=sin(πx-)-1,下列命题正确的是( )
A、f(x)是周期为1的奇函数
B、f(x)是周期为2的偶函数
C、f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D、f(x)是周期为2的非奇非偶函数
3.若将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A、y=2sin(2x+)
B、y=2sin(2x+)
C、y=2sin(2x-)
D、y=2sin(2x-)
4.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为( )
A、 B、
C、 D、
5. 已知ω>0,0<ϕ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+ϕ)图象的两条相邻的对称
轴,则ϕ等于( )
(A) (B) (C) (D)
6.化简等于( )
A、sin 4-cos 4
B、cos4-sin 4
C、-sin 4-cos 4
D、sin 4+cos 4
7.若函数f(x)=sin(ϕ∈[0,2π])是偶函数,则ϕ等于( )
A、 B、 C、 D
8.函数y=cos2x+sin x(-≤x≤)的最大值与最小值之和为( )
A、 B、2 C、0 D、
9.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|ϕ|的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数g(x)=Acos(ωx+ϕ)图象的一个对称中心可能为( )
A、(-2,0)
B、 (1,0)
C、 (10,0)
D、(14,0)
11.设函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A≠0,ω>0,|ϕ|<)的图象关于直线x=对称,它的周
期是π,则( )
A、f(x)的图象过点(0,)
B、f(x)在[,]上是减函数
C、f(x)的一个对称中心是(,0)
D、f(x)的最大值是A
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[1,3]时,f(x)=2-|x-2|,则( )
A、f(sin)>f(sin)
B、f(sin)<f（cos）
C、f(cos)<f(cos)
D、f(tan)<f(tan)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知扇形的半径是2 cm,面积为8 cm2,则此扇形的圆心角的弧度数是 .
14.已知α∈(π,),tan α=2,则cos α= .
15.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是 .
16.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题:
①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-);
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)的图象关于点(-,0)对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中正确的命题序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上).
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(本小题满分14分)
(1)计算-cosπ·tan(-π);
(2)已知tan α=,求下列各式的值.
①;
②sin αcos α.
18.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<2π)的部分图象如图所示,且f(0)=f().
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式,并写出它的单调递增区间.
19.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x2+4[sin(θ+)]x-2,θ∈[0,2π).
(1)若函数f(x)为偶函数,求tan θ的值;
(2)若f(x)在[-,1]上是单调函数,求θ的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=1+2sin(2x-).
(1)当x∈[,]时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(3)若不等式f(x)-m<2在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分14分)
当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
x(月
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 份)
t(气
17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 温)
(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿的月平均气温做一个函数模型;
(2)当平均气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
参考答案
1.答案：B
解析:因为-510°=-360°×2+210°,因此与-510°终边相同的角是210°.故选B.
2. 答案：B
解析:因为f(x)=sin(πx-)-1=-cos πx-1,
所以周期T==2.
又f(-x)=-cos(-πx)-1=-cos πx-1=f(x),
所以f(x)为偶函数.故选B.
3. 答案：D
解析:因为T==π,=,
所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],
所以y=2sin(2x-).故选D.
4. 答案：D
解析:因为sin>0,cos<0,
所以点(sin,cos)在第四象限.
又因为tan α==-,
所以α的最小正值为2π-π=π.故选D.
5. 答案：A
解析:由题意得周期T=2(-)=2π=,
得ω=1,
所以f(x)=sin(x+ϕ),
所以f()=sin(+ϕ)=±1,+ϕ=+kπ,
ϕ=+kπ,
因为0<ϕ<π,所以ϕ=.故选A.
6. 答案：B
解析:原式==
=|sin 4-cos 4|,
因为π<4<π,
所以cos 4>sin 4.
所以|sin 4-cos 4|=cos 4-sin 4.故选B.
7. 答案：C
解析:函数f(x)=sin=sin(+),
因为函数f(x)=sin(+)为偶函数,
所以=+kπ.
所以ϕ=+3kπ,k∈Z.
又ϕ∈[0,2π],所以当k=0时,ϕ=.故选C.
8. 答案：A
解析:因为f(x)=1-sin2x+sin x=-(sin x-)2+,
又-≤x≤,所以-≤sin x≤.
当sin x=-时,f(x)min=;
当sin x=时,f(x)max=,
所以f(x)min+f(x)max=+=.故选A.
9. 答案：A
解析:由y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,知f()=0,即3cos（+ϕ）=0, 所以+ϕ=kπ+(k∈Z),
所以ϕ=kπ+-(k∈Z),|ϕ|的最小值为.故选A.
10. 答案：C
解析:由函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象知,A=2,且
T==2×(6+2)=16,解得ω=;把点(2,-2)代入f(x)的解析式,得2sin(×2+ϕ)=-2,解得ϕ=-;所以函数g(x)=2cos(x-),令x-=kπ+,k∈Z;解得x=8k+10,k∈Z;当k=0时,x=10,所以函数g(x)图象的一个对称中心为(10,0).故选C.
11. 答案：C
解析:因为周期T=π,所以=π,所以ω=2. 又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2×+ϕ=+kπ,k∈Z.
因为|ϕ|<,所以ϕ=.
所以f(x)=Asin(2x+).
所以图象过点(0,),故A不正确;
又当x=时,2x+=π,即f()=0,
所以(,0)是f(x)的一个对称中心.
由于A的符号不确定,故B,D不正确.故选C.
12. 答案：B
解析:x∈[-1,1]时,x+2∈[1,3],
f(x)=f(x+2)=2-|x|,
所以f(x)在(0,1]上为减函数.
由1>sin >sin >0知f(sin )<f(sin ), 0<cos <cos <1,
所以f(cos )>f(cos ),
0<tan <tan =1,
所以f(tan )>f(tan ).
由于f()<f()=f(-),
所以f(sin )<f(cos ).
故选B.
13.解析:由扇形的面积公式得S=lR,
因为扇形的半径长为2 cm,面积为8 cm2,
所以扇形的弧长l=8(cm).
设扇形的圆心角的弧度数为α,
由扇形的弧长公式得l=|α|R,且R=2,
所以扇形的圆心角的弧度数是4.
答案:4
14.解析:由tan α==2,sin2α+cos2α=1联立得cos2α=,由α∈(π,)知cos α<0,
所以cos α=-.
答案:-
15. 解析:联立两曲线方程,
得
两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin 2x=cos x解的个数.
方程可化为2sin xcos x=cos x,
即cos x(2sin x-1)=0,
所以cos x=0或sin x=.
①当cos x=0时,x=kπ+,k∈Z,
因为x∈[0,3π],
所以x=,π,π,共3个;
②当sin x=时,因为x∈[0,3π],
所以x=,π,π,π,共4个.
综上,方程组在[0,3π]上有7个解,故两曲线在[0,3π]上有7个交点.
答案:7
16.解析:①y=4sin(2x+)=4cos[-(2x+)]
=4cos(2x-),
因此命题①正确;
②因T==π,故命题②不正确;
③将x=-代入函数解析式中,得y=0,即点(-,0)是函数图象与x轴的交点,函数图象关于点(-,0)对称,故命题③正确;
④f(-)=0,不是y=f(x)的最大值或最小值,故④不成立.
综上知①③正确.
答案:①③
17.(本小题满分14分)
解:(1)原式=-cos tan
=-·sin·-cos tan
=-××(-)-×1
=-
=.
(2)①原式===20.
②原式====.
18.解:(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为直线x==,
则=-=,
所以T=π.
所以函数f(x)的最小正周期是π.
(2)由图可知,A=2,因为T=π,
所以ω==2.
又因为f()=-2,
所以2sin（+ϕ）=-2,
即sin(+ϕ0=-1.
所以+ϕ=2kπ-,k∈Z,
即ϕ=2kπ-,k∈Z.
因为0<ϕ<2π,
所以ϕ=.
则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin（2x+）,
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,
即函数的单调递增区间为[-+kπ,-+kπ],k∈Z.
19.解:(1)因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x),即x2+4[sin(θ+)]x-2=
(-x)2+4[sin(θ+)](-x)-2.
所以sin(θ+)=0.
因为θ∈[0,2π),
所以θ=π或θ=π,
所以tan θ=-.
(2)因为f(x)在[-,1]上是单调函数.
所以-2sin(θ+)≥1或-2sin(θ+)≤-,
即sin(θ+)≤-或sin(θ+)≥.
所以2kπ+≤θ+≤2kπ+或2kπ+≤θ+≤2kπ+,k∈Z. 解得2kπ+≤θ≤2kπ+或2kπ≤θ≤2kπ+,k∈Z.
因为θ∈[0,2π),
所以θ的取值范围为[0,]∪[,].
20.解:(1)因为≤x≤,
所以≤2x-≤π.
当2x-=,即x=π时,f(x)max=3.
当2x-=,即x=时,f(x)min=2.
(2)最小正周期T==π.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)得
-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)由题设条件可知
f(x)<m+2对x∈[,]恒成立,
又当x∈[,]时,f(x)max=3,
所以m+2>3,
所以m>1.
故m的取值范围是(1,+∞).
21.解:(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴作出图象,并以光滑的曲线连接各散点,得如图所示的曲线.
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数,
依散点图所绘制的图象,我们可以考虑用t=Acos(ωx+ )+k来描述.
由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,
则A==4.2,k==13.7.
显然=12,故ω=.
又x=2时t取最大值,取ωx+ϕ=0,
得ϕ=-ωx=-×2=-.
所以t=4.2cos(-)+13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式.
(2)如图所示,作直线t=13.7与函数图象交于两点,
(5,13.7),(11,13.7).
这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.。