多Chirp成分信号双线性时频分布的交叉项分析

第3卷第1期2004年2月 江南大学学报(自然科学版)Journal of Southern Yangtze U niversity(N atural Science Edition)
V ol.3　N o.1
Feb.　2004　
文章编号:1671-7147(2004)01-0001-04 收稿日期:2003-05-22;　修订日期:2003-09-20.
基金项目:江苏省自然科学基金项目(BK 2002068)资助课题.
作者简介:于凤芹(1962-),女,辽宁北镇人,工学硕士,副教授,上海大学控制理论与控制工程专业在读博士研究生.
曹家麟(1950-),男,上海人,教授,博士生导师.主要从事信号时频分析与编码的研究.
多Chirp 成分信号双线性时频分布的交叉项分析
于凤芹1,2,　曹家麟2
(1.江南大学通信与控制学院,江苏无锡214036;2.上海大学机械电子与自动化学院,上海200072)
摘　要:以广泛出现在许多工程应用领域和物理现象中的多Chirp 成分信号为对象,研究了双线性
时频分布对这种信号时频分布的交叉项特点,推导了几种分布的交叉项的数学表示,从模糊平面分析了交叉项抑制的机理,提出了双线性时频分布对多Chirp 成分信号时频表示存在局限,仿真试验结果显示理论分析正确.
关键词:多Chirp 成分信号;双线性时频分布;交叉项干扰;中图分类号:T N 911.7文献标识码:A
An Analysis of Cross 2Terms I nterference of Bilinear Time 2Frequency
Distributions for Multi 2Component Chirp Signals
Y U Feng 2qin 1,2,　C AO Jia 2lin 2
(1.School of C ommunication and C ontrol ,S outhern Y angtze University ,Wuxi 214036,China ;2.C ollege ofMachano 2electronics and Automation ,Shanghai University ,Shanghai 200072,China )
Abstract :An analysis on cross 2terms interference of bilinear time 2frequency distributions for multi 2com ponent chirp signals ,which often appear in s ome engineering applications and many natural phenomena ,is given in this paper.The mathematic descriptions of cross 2terms interference of several bilinear time 2frequency distribu 2tions are presented.By com paring the shape of the kernel and the location of cross 2terms in the ambiguity function domain ,the limitations of cross 2terms interference reduce of the existing bilinear time 2frequency dis 2tributions for multi 2com ponent chirp signals are proposed.The simulation result corresponds with the theoretic analysis we have done.
K ey w ords :multi 2com ponent chirp ;bilinear time 2frequency distributions ;cross 2terms interference
Chirp 信号,又称线性调频信号(LFM :Linear
Frequency M odulation ),是一种特殊的非平稳信号,它广泛出现在通信、雷达、声纳和地震勘探等系统中[1].此外,Chirp 信号在时频平面呈直线型,因而常作为衡量一种时频分析方法是否有效的试验信号[2].作者以含有多Chirp 成分信号为对象,研究了
现有的几种双线性时频分布对这种信号时频表示
中的交叉项的特点,推导了几种分布的交叉项的数学表示,分析了交叉项的结构和特点,通过对双线性时频分布的核函数在模糊平面的形状与多Chirp 成分信号的自项和交叉项在模糊平面分布特点分析,指出了现有的双线性时频分布对该类信号时频
表示在交叉项抑制方面存在局限,仿真结果直观地验证了理论分析的正确性.
1　几种主要的双线性时频分布及其交叉项
对于非平稳信号x(t),定义其瞬时相关函数为
k x(t,τ)=x(t+τ
2
)x3(t-
τ
2
)(1)
对瞬时相关函数作关于t的傅立叶反变换,得到模糊函数(AF:Ambiguity Function)
AF x(τ,ν)=∫∞-∞x(t+τ2)x3(t-τ2)e j2πtνd t
(2)对瞬时相关函数作关于τ的傅立叶变换,得到Wigner2Ville分布(WVD)为
WVD x(t,f)=∫∞-∞x(t+τ2)x3(t-τ2)e-j2πtf dτ
(3) WVD将一维时间信号影射到二维时间———频率平面,表示非平稳信号的能量在时频平面同时随频率和时间变化.模糊函数将一维时间信号变换到二维时延———频偏平面,表示信号与其时间延迟和频率偏离信号在时频平面的相关性.如同平稳信号一样,非平稳信号的相关函数与能量表示也存在着二维傅立叶变换关系,由式(2)和式(3),可以直接得到
WVD x(t,f)=∫∞-∞∫∞-∞AF x(τ,ν)e-j2π(tν+τf)dνdτ
(4) AF和WVD都是信号的双线性函数,对于多分量信号或者具有复杂调制规律的信号,信号间的相互作用产生交叉项干扰,它降低了信号时频分布的分辨率,模糊了信号的原本特征,使时频分布难以解释.为了改善时频分布性能,人们对AF或WVD提出了各种平滑的改进方法,产生了种种时频分布.这种双线性时频分布可以用统一的形式表示为
p(t,f)=∫∞-∞∫∞-∞AF x(τ,ν) (τ,ν)e-j2π(tν+τf)dνdτ=∫∞-∞∫∞-∞x(u+τ2)x3(u-τ2)
(τ,ν)e-j2π(tν+τf-uν)d u dνdτ(5)在这种统一的表示形式里,不同的时频分布只是体现在核函数形式的选择上,作为能量型时频分布, p(t,f)应具有许多数学性质,因而对核函数产生了种种约束条件[3].不同的核函数,就产生了拥有不同数学性质的时频分布,由式(5)可见,当 (τ,ν) =h(τ),即仅对变量τ加窗函数h(τ)来达到减小交叉项的目的,得到的分布是伪Wigner2Ville分布(PWVD)
PW VD x(t,f)=∫∞-∞x(t+τ2)x3(t-τ2)h(τ)e-i2πfτdτ
=WVD x(t,f)f3H(f)(6)显然PWVD只能平滑掉变量τ方向的交叉项并且使该方向上的分辨率降低.在两个方向都平滑是平滑伪Wigner2Ville的分布如下(SPWV)
SPWV x(t,f)=∫∞-∞x(t-u+τ2)x3(t-u-
τ
2
)g(u)h(τ)e-i2πfτdτ(7)对WVD在时频两个方向滤波,得到平滑Wigner2Ville分布(SWVD)
SWVD x(t,f)=WVD x t f33G(t,f)(8)
这里
t f
33表示对时间和频率的二维卷积,G(t,f)是平滑滤波器.谱图可以看作是SWVD的特例,即SPEC x(t,f)=|STFT x(t,f)|2=∫∞-∞x(u)γ3(u-
　t)e-i2πfu d u∫∞-∞x3(s)γ(s-t)e i2πfs d s
=WVD x(t,f)
t f
33WVDγ(-t,f)(9)当核函数分别取以下形式:
CWD(τ,ν)=exp[-(2πτν)2
σ](10)
BJD(τ,ν)=sin(πτν)
(πτν)
(11)
MH D(τ,ν)=cos(πτν)(12)
RI D(τ,ν)=H(τν)(13)
CK D(τ,ν)=g(τ)・|τ|sin(πτν)
(πτν)
(14)依次得到Choi2Williams分布(CWD)、Born2Jordan分布(BJD)、Margenau2Hill分布(MHD)、减小交叉项分布(RID)和锥型核分布(CK D)[3].
交叉项是双线性时频分布固有的,它们来自多分量信号中不同分量之间的交叉作用.时频分布的信号项(自项)产生于信号的每个分量本身,它们与时频分布具有的有限支撑的物理性质是一致的,而交叉项是时频分布里的干扰产物,与原信号的物理性质相矛盾,它模糊了时频分布的分辨率,降低了时频分布的可读性,掩盖了信号的本来特征,阻碍了时频分析的在实际中的进一步应用[4].为了定量地说明交叉项的位置和结构特点,以两个Chirp信号为例,为推导方便,令两个信号是同一个Chirp的时移和频移,即令
2江南大学学报(自然科学版)第3卷　
x (t )
=
e
j 2π(f 0t +1/2αt 2
)
,x 1(t )=x (t -
t 1)e
j 2πf 1t
,
x 2(t )=x (t -t 2)e
j 2πf 2t
则
WVD x 1+x 2(t ,f )=δ(f -(f 1+f 0)-α(t -t 1))+
δ(f -(f 2+f 0)-α(t -t 2))+2δ(f -(f 1+f m )-α(t -t m ))+cos {[f d (t -t m )-t d (f -f m )+
f d t m ]}
(15)其中:t m =(t 1+t 2)/2,　f m =(f 1+f 2)/2,
　t d =t 1-t 2,　f d =f 1-f 2
由式(15)可见,WVD 的交叉项发生在两个信号的时间和频率的中点(几何中点处),在垂直于两个信号连接线的方向上振荡,振荡的频率正比于两信号的时间差与频率差,振荡的幅度是自项的两倍,对于含由N 个成分的信号,交叉项的个数是N (N 21)/2.对于该信号,谱图的表达式为
SPEC x 1+x 2(t ,f )=|STFT x 1+x 2(t ,f )|2=2|STFT x 1(t ,f )||STFT x 2(t ,f )|×
cos [πt (f 1-f 2)-πf (t 1-t 2)+π(f 1t 1-f 2t 2)+
(Ψx ,h (
t -t 12,f -f 12)-Ψx ,h (t -t 22,
f -f 2
2
))](16)
从式(16)可以看出,不象W VD 的交叉项总是发生
在两个自项的几何中点,谱图的交叉项发生在两个信号的短时傅立叶变换的重叠区域,如果两个信号的STFT 没有重叠,则谱图中不存在交叉项,交叉项的幅度的最大值是两个信号STFT 幅度乘积的两倍,交叉项被一个余弦函数所调制,这个余弦函数不仅与两个信号的中心时间和中心频率有关
,还与两个信号交叉的W VD 的相位有关.
2　仿真试验与交叉项抑制分析
以
2个或3个Chirp 信号为例,做出它们的几种常用的时频分布,
仅给出时频平面分布以说明交叉项的特点.图1(a )是两个平行的
Chirp 信号的W VD ,中间一条为交叉项,图1(
b )是两个交叉的Chirp 信号W VD ,其交叉项位于两条直线的几何中点,振荡的方向和频率如以上的理论推导一致.图1(
c )是相距较远的两个平行的Chirp 信号的谱图,没有交叉项存在,图1(
d )是两个相距较近的信号的谱图,仍然存在交叉项.图1(
e )是3个Chirp 信号CK D ,它能平滑掉大量的交叉项,但相距较近的信号成分之间仍存在少量的交叉项.图1(
f )是两个chirp 信号的MH D ,它对信号不适当的平滑和分割,产生了大量
的多余成分,所以MH D 不宜作Chirp 信号的时频分析工具.
(a )两个平行Chirp 信号W VD
(b )两个交叉Chirp 信号W VD
(c )两个相距较远Chirp 信号的谱图(不存在交叉项)
(d )两个相距较近Chirp 信号的谱图(存在交叉项)
(e )3个Chirp 信号CK D
3
　第1期于凤芹等:多Chirp 成分信号双线性时频分布的交叉项分析
(f)两个平行Chirp信号MH D
图1　几种双线性时频分布的交叉项Fig.1　The cross2terms of some bilinear time2frequency distributions
每一种时频分布的核函数的形状与待分析信号自项与交叉项的位置分布导致了各种时频分布对交叉项抑制程度的差异.固定的核函数决定了每一种分布可能对某一类信号很理想而对另一类信号却不适合[5].几种常用的时频分布的核函数的形状如图2所示.由图2可以看出:W VD的核函数在整个模糊平面处处为1,不作任何平滑,所以交叉项最严重;PW VD仅在(方向上平滑,所以它能抑制在该方向的交叉项,并使该方向的分辨率降低;谱图的核函数与所选用的窗函数的模糊函数有关,如果分析窗与某一个信号成分匹配,则相应的匹配滤波器对给定成分的信号有完美的表示,但对不匹配的信号成分,给出的是一个畸变的表示.
对于CW D,如果模糊函数的自项位于τ轴和v轴,与其核函数分布一致,则对于这样的信号表示性能好,而对于多成分的Chirp信号,其自项为过原点的直线,大量的能量既没有落在τ轴附近,也没有位于v轴周围,与CW D分布核函数的形状不匹配,显然对该类信号表示不合适.CK D在模糊平面的形状落在v轴上,同样道理,用CK D表示多成分Chirp信号也不合适.
3　结　语
通过理论推导和仿真试验结果分析,可以得到
图2　几种时频分布的核函数在模糊平面的形状Fig.2　The sh ape of kernel of some bilinear time2frequen2 cy distributions in ambiguity function dom ain
如下结论:作为双线性时频分布,W VD对单个分量Chirp信号的时频表示是最理想的,能量在时频平面的分布完全位于其瞬时频率曲线上;对于两个Chirp 信号,其交叉项位于自项的几何中点呈振荡的形式,振荡的幅度是自项的两倍,振荡的频率与两信号的时间差与频率差成正比;对含有多个Chirp成分的信号,各个成分之间可能平行也可能交叉,其两两之间的几何中点的位置和个数也在变化,交叉项的个数按N(N21)/2的规律增长,并且交叉项可能与信号的自项重叠,无法通过后续的平滑方法加以抑制.谱图可以抑制两个距离较远信号的交叉项,但相距较近的信号间的交叉项仍然存在. PW VD、SW VD、CW D及CK D这些分布对信号自项位于模糊平面的两个坐标轴附近、交叉项远离坐标原点的这样信号的时频分布效果好,而多Chirp成分的信号的自项位于模糊平面过原点的直线附近,所以,PW VD、SW VD、CW D及CK D等分布也不适合多Chirp成分的时频分布.实际应用中信号还有大量的噪声存在,会进一步加强交叉项的干扰作用,所以,必须寻找更适合多Chirp成分信号的时频分析工具.
参考文献:
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T rans Signal Processing,1993,41(3):1589-1601.(责任编辑:戴陵江,彭守敏) 4江南大学学报(自然科学版)第3卷　。