理科选修2-3(第1章答案)

参考答案与提示
第一章 计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（一）
一、选择题
1．C 2．260 3.C 4．A
提示：
2.分两步：第一步，从 26个英文字母中任选一个，第二步，从10个阿拉伯数字中任选一个，共有26×10=260种。

4.以1作分子，分母可以是2，4，6，8，10，5个，以5作分子，分母可以是8，10；一9作分子，分母可以是10，其中
10
521=，所以有（5+2+1）-1=7个。

二、填空题 5．375 6．15 7．5
提示：7.因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A 中有2个电键，电键组B 中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：
2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。

三、解答题
8． 因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是4+3-1=6（种）可能的专业选择。

9．由分步乘法计数原理可知，不同的直线有3×3=9（条）。

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）
一、选择题
1．B 2．B 3.A 4．B
提示：
3.每组的三个数都成等差数列的有：
当d =1时：123，456，789；
当d =2时：135，246，789；
123，468，579；
当d =3时：147，258，369；
当d =4时：159，234，678．共5种
故选A ．
二、填空题
5．2 6．200 7．36
提示：
三、解答题
8．分两步：第一步，高一年级有5种选法，第二步，因为两个年级要去不同的地方，所以高二年级有4种选法，由分步乘法计数原理可得不同选择方法有5×4=20种。

9．(Ⅰ)按a 的取值分类：1=a 时，b 有5个值，2=a 时，b 有4个值，3=a 时，b 有3个值，4=a 时，b 有2个值，5=a 时，b 有1个值．
用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：1512345=++++(个)．
(Ⅱ)先确定x 的取值，共有13个值，再确定y 的取值，共有15个值，用分步计数原理，
所有满足条件的点的坐标共有：1951513=⨯(个)．
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（三）
一、选择题
1．C 2．D 3.D 4．C
二、填空题
5．36 6．21，24. 7．90
提示：
5.分析个位数字，可分以下几类．
个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；
个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；
与上同样：
个位是7的有6个；
个位是6的有5个；
……
个位是2的只有1个．
由分类计数原理知，满足条件的两位数有
36828187654321=⨯+=
+++++++（个）． （6）n 棱锥的所有顶点所确定的直线共有(1)2
n n +条，其中异面直线的条数为()(2)f n n n =⋅-
三、解答题
8． 以任意一条直径为一边的直角三角形有4个，而这样的直径有3条，所以所求直角三角形的个数为4×3=12（个）。

9．(Ⅰ)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，以此类推，不同的报名结果共有：72936
=种．
(Ⅱ)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一项目的冠军，有6种结果，再决出第二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：21663=种．
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（四）
一、选择题 1．B 2．B 3.C 4．C
提示：1.解法1：让四人A ，B ，C ，D 依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A 先拿有3种，此时写被A 拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有91133=⨯⨯⨯种． ∴ 应选B ．
解法2：“树形图”
共有9种不同结果．
2. 注意到1不能为底数，1的对数为0，以2，3，4，7，9中任取两个不同数为真数、
底数，可有45⨯个值，但9log 3log 42=，
9log 4log 32=，4log 2log 93=，3log 2log 94=，所以对数值共有1714445=+-⨯（个）
4. 解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C
二、填空题
5．40 6．12 7．（1）100；（2）180；（3）175
提示：
5. 与正八边形有两个公共边的有8个，有一个公共边的有3284=⨯个，所以共有40个．
6. 方法1：把正方体的6个面记为上、下、左、右、前、后，那么从中选取3个面有两个不相邻者可分为3类：
第一类：选取的3个面不含前、后面，有4种不同的取法．
第二类：选取的3个面不含左、右面，也有4种不同的取法．
第三类：选取的3个面不含上、下面，同样有4种不同的取法．
应用加法原理，得不同取法数为N ＝4+4+4＝12.
方法2：还可以用另一种方法来进行分析．正方体中不相邻的两个面必然是相对的2个面，有且只有3种情形，即上下面，左右面和前后面．对每种情形，取剩下的4个面中任意1个与其构成3个面，便可得到合乎题意的3个面，可分为两步进行：第一步，从6个面中选出不相邻的2个面，共有3种取法；
第二步，再从剩下的4个面中取1个面，共有4种取法．
应用乘法原理，得所求得不同取法数为
N ＝3×4=12.
7. 解：(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；再选十位数字，由于数字不允许重复，因此只能从剩下的5个数字中选一个，有5种选法；最后选个位数字，由于百位数、十位数已经选去了2个数字，故只能从剩下的4个数字中选一个，因此有4种选法．由分步计数原理得，所求三位数共有100455=⨯⨯个．
(2)分三步：百位数字有5种选法；由于数字允许重复，故十位数字有6种选法；个位数字也有6种选法．因此所求三位数共有180665=⨯⨯个．
(3)分四类：千位数字为4,3之一时，有1203452=⨯⨯⨯个；千位数字为5，百位数字为3,2,1,0之一时，共有483441=⨯⨯⨯个；千位数字是5百位数字是4，十位数字是1,0之一时共有63211=⨯⨯⨯个；最后还有5420也满足条件．
所以所求四位数共有1751648120=+++个．
三、解答题
8．分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选出的数作为纵坐标，因此选法可分两类：(1)从A 中选出一数作为横坐标，从B 中选出一数作为纵坐标；(2)从B 中选出一数作为横坐标，从A 中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成．
解：选法分为两类：
(1)先从A 中选出一个数作为横坐标，有3种选法)3,1,2(-，再从B 中选出一个数作为横坐标，有2种选法)4,2(（因为纵坐标必须大于0），故共有623=⨯种选法．
(2)先从B 中选出一个数作为横坐标，有4种选法)4,2,4,5(--，再从A 中选出一个数作为纵坐标，有2种选法)3,1(，故共有824=⨯种选法．
根据分类计数原理，所有选法总数是1486=+种，也即位于第一、二象限内的点共有14个．
1.2.1排列（一）
一、选择题
1．C 2．D 3.C 4．D
二、填空题
5．120 6．9 7．120
三、解答题
8． 略
9．(1) 2101415215=⨯=A ；
(2) 720123456!666=⨯⨯⨯⨯⨯==A ;
(3)原式!
)1(1!)(]!)1(1[!)1(-⋅-⋅----=n m n m n n 1!)1(1!)(!)(!)1(=-⋅-⋅--=
n m n m n n ；
1.2.1排列（二）
一、选择题
1．D 2．A 3.A 4．A
提示： 2.可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有3
7A 种排法；第二步，剩
下的4人排在后排，有44A 种排法，故一共有774437A A A =⋅种排法．事实上排两排与排成一
排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是77A ，相当于7个人的全排列．
3. 解法1：分类计算．
将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有2
4A 个，另一类是4作个位数，也有24A 个．因此符合条件的偶数共有242424=+A A 个． 解法2：分步计算．
先排个位数字，有12A 种排法，再排十位和百位数字，有24A 种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有242
412=⋅A A 个．
解法3：按概率算．
用51-这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035=A 个，其中偶点其中的52．因此三位偶数共有245
260=⨯个．
二、填空题
5．48 6．252 7．240
提示：
7.240435=A 种
三、解答题
8． （1）先排歌唱节目有5
5A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞
蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有4
4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5
个歌唱节目放入。

所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A 55A ＝2880种方法。

1.2.1排列（三）
一、选择题
1．C 2．B 3. C 4．B
提示：
1.分二步：首尾必须播放公益广告的有A 22种；中间4个为不同的商业广告有A 44种，从而应当填 A 22·A 44＝48. 从而选C.
2. 从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B.
3.先安排甲、乙两人在后5天值班，有2
5A =20种排法，其余5人再进行排列，有55A =120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。